蘇教版高中數學教材數列內容的呈現特征與教學建議

許雪紅

隨著2017年版《普通高中數學課程標準》的發布，數學課程的育人目標轉向學科核心素養的培育。核心素養的落地，或者說課程育人的層級轉化離不開教師的教材理解與教學實踐。教材作為師生廣泛、高頻接觸的權威知識媒介，其呈現的特征往往潛移默化地影響著教師的實際教學。數列既是考試命題的重點，也是初等數學的核心知識。因此，筆者以蘇教版高中數學教材為例，分析其中數列部分的呈現特征，并據此結合多年的教學經驗，提出相應的教學建議。

一、拾階而上深化認知——蘇教版教材數列部分的呈現特征

（一）始于情境的感性認知

教材的編寫通常需要綜合學生的認知特點、知識的學科體系以及教師的使用情況等多個方面，但學生的認知應當是教材編寫考量的核心尺度。正如人們對于事物、概念或觀點的理解不可能憑空而來，而需要始于情境的初步感知一樣，學生的學習發展也是由事實走向認知、從感性走向理性的過程。因而蘇教版教材“數列的概念和簡單表示”“等差數列”與“等比數列”三部分內容均以情境為起始點，期望學生能夠從簡單了解、感性認知，到逐步向思維深處拓展。高中階段正處于學生數學思維形成的關鍵期，教材通過設計大量感性的、生活的情境去調動學生的學習情感，激發他們對數列知識的學習興趣與探究意識;并用大量的認知情境，充分調動學生的感性認知，啟發學生思考，促使他們由被動學習轉變為主動學習。

具體而言，首先在數列章節的導語環節，通過設置社會生活中常見的數列問題，引導學生主動思考，發現數學與現實之間的關聯，調動學生學習數列知識的積極情感。尤其是章頭圖中所呈現的圖案生動地展示了大千世界所蘊含的數學規律，既彰顯了自然規律與數列之間的關系，又讓學生在觀看、了解章頭圖的過程中，認知到“形象美不只體現在文學和藝術中，而且在數學中也隨處可見”。其次，在教材內容設置上遵循由淺到深、由簡單到復雜的原則，通過深入淺出的知識概括，讓學生對數列知識形成初步的認知。數學知識的學習過程是復雜的，蘇教版教材通過創設直觀形象、生動有趣的情境，引導學生自主探究數列的概念和簡單的表示方法，了解數列知識在實踐生活中的具體應用。最后，在學生評價的習題環節，通過“感受·理解”欄目，用生活中的實際問題檢驗所學知識。如此活潑的形式設計有效地拉近了與學生的距離，促進學生主體意識的滲透，讓他們積極參與課堂中的合作學習、成果交流。如習題中的“探究”環節，就能讓學生在獨立的空間內，充分應用學到的知識，在實踐體驗中開闊視野、體會知識的形成過程。

（二）技術輔助的具身體驗

隨著人工智能、信息時代的到來，在教材的編寫中如何有效構建學科知識體系、體現信息技術應用，成了增進學生對知識時代性的感受、整全自我發展的重要考量。此外，高中階段的數學知識具有體系的嚴密性與展示的抽象性，學生難以直接從情境中抽離知識，必須借助相關的探究活動才能完成。由此可見，信息技術與學科知識的融合、滲透絕不能以分裂的并線樣態進行，更不能用學生難以駕馭的認知與體會的方式編寫。教材的編寫必須以技術輔助解決學科問題為前提，以學生能夠進行具身化的自主探究為要求，進行相關知識的篩選、調適與融入。數列知識同樣如此，一方面學生自身難以從數理事實中直接抽離，另一方面其與函數、幾何知識等內容也有著密切的聯系。因此，蘇教版教材中呈現了一部分以技術輔助的具身體驗活動。例如，在等比數列教學中常規的引導模式學生不易理解，而利用“幾何畫板”工具則可以形象地展示等比數列的規律，并在具體的情境中涵育學生的數學直觀能力。此外，教材中還引入了圖形計算器對數列做特殊的函數處理，生成規律變化趨勢圖，通過活動體驗增強學生對知識的理解。

數學知識與現代信息技術的整合是現代教育發展的趨勢，也是數學教材編寫的重要原則。數列章節由于涉及諸多計算問題、圖表問題，因此其需要借助多媒體設備完成。相比于其他版本的數學教材，蘇教版數學教材對于多媒體設備的引入更加突出，諸多例題都應用了多媒體技術輔助，為學生創設了有趣的學習情境，改變了枯燥地講授數列知識的弊端，精準地揭示了問題的本質。比如，教材P57呈現了Excel的財務函數功能對有關投資或貸款等問題的數據計算，從而引導學生體驗技術輔助的效用。

（三）歸于實踐的例題應用

任何知識的構成并不限于單維、淺層的表象，還包含了多維、深層的學科思想、情感態度與實踐應用，知識的意義往往在實踐中方能得到高度凸顯。因而，教材的編寫既需要做到知識的淺層展示，也需要達成知識本質的巧妙滲透。綜觀蘇教版高中數學教材中的學生評價部分，不難發現數列方面的測驗試題基本上來源于生活情境。“數列”章節的這些試題呈現出“高起點、低落點”的實踐特性，一方面題目的背景來源于現實生活的問題情境、跨學科的融通滲透等;另一方面從試題的解析過程來看，充分應用案例形象語言的數學化歸，能夠讓學生依據形象的描述、精致的講解，逐步抽離出數列的模型，從而有效培養理性思維與數學直觀能力。總之，蘇教版高中數學教材呈現出歸于實踐的例題應用這一實然樣態。

詳細來說，教材的例題中出現了如彗星接近地球能夠被觀測、放射性物質的衰變，以及奧運會每四年舉辦一次等問題。這樣的知識應用情境既體現了數學作為科學認知的工具在物理、體育等學科中起到的重要作用，又通過簡單的實踐案例加深學生對事實的感知。如“汽車折舊率”“衛生紙厚度”等問題，可以使學生在概念辨析中建構以數列知識為基礎的模型。這類歸于實踐的例題應用，激發了學生的學習興趣，體現出對知識融合性、默會性與實踐性的滲透，并通過對問題的情境化教學實踐，提升學生的知識遷移與應用能力。最后，教材“鏈接”環節通過“現值”“終值”等知識的拓展，引導學生思考“復利”概念，并延伸出實際生活中的貸款問題，助力學生理性思維、問題解決能力的培養。

除了上述三點主要特征外，注重數學文化的滲透也是蘇教版數學教材數列部分的特征之一。無論是彰顯中華傳統文化的楊輝三角，還是凸顯西方形式美學螺旋線的斐波那契數列，或是展現古印度文明的正方形篩子等，教材的編寫均呈現了數學理性與人文歷史、形式美學相交融的又一樣態。

二、變式應用能力訓練——蘇教版教材數列部分的教學建議

（一）以情境試題增進學生感性認識

在實際的數列課堂教學開始之前，教師必須對教材有深入的了解，尤其要對編寫的思路與特征進行研讀。蘇教版高中數列教材呈現出循序漸進的特征，并以情境促進學生感性認識。而以情境調動學生主動學習恰恰是新一輪課程改革的方向，也是課堂教學的核心所在，數學學科核心素養的培育正是在情境化的創設、鋪陳與測評中實現的。由此可見，實際教學中教師一定要立足于現實生活，以情境試題的創設吸引學生的注意力，調動他們的學習興趣，增進其對數列知識的感性認識。

數列章節體現了以現實問題為背景，以解決實際問題為導向的原則，因此教師一方面要圍繞學生可感知的現實生活下功夫，用數學文化、數學史、跨學科知識等作為試題編制的切入點，將數列的相關內容融入其中;另一方面要把握數列知識的難點，根據歷年高考試題學生的易錯點，按照“問題情境、教學活動、意義構建、數學理論、數學應用以及回顧反思”的順序鋪展教學。例如，在實際情境化試題編制中可以引入當下抖音、快手等短視頻平臺上比較火的折紙問題。

將一張厚度為0.05 mm的報紙不斷對折50次后，報紙的厚度是多少？這時報紙的厚度可以在地球和月球之間建一座橋嗎？（已知地球與月球的距離約為4×108米）實際中你能夠這樣操作嗎？

具體解題過程中，教師可以讓學生自主思考，并完成作答。實際教學中，部分學生誤以為對折50次后是等比數列的前n項和，其實報紙的厚度應理解為等比數列的第n項。對折一次厚度增加為原來的一倍，所以每次對折的厚度可以構成一個等比數列{an}，則數列{an}是以a1=0.05×10-3米為首項，公比為2的等比數列。對折50次后紙的厚度是此等比數列的第51項，利用等比數列的通項公式得a51=0.05×10-3×250=5.63×1010，而地球和月球間的距離值4×108米小于5.63×1010米，故可建一座橋。試題的情境來源于網絡短視頻部分主播的測評實驗，該教學過程一方面調動了學生的認知，溝通了學生的最近發展區，另一方面讓學生從中感受到數列迭代累乘的無窮魅力。

此外，教師教學中還可對情境試題的創設進行跨學科滲透，或與中華傳統文化相結合。例如，“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數學方法計算出半音比例，為這個理論的發展做出了重要貢獻。

十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比值都等于。若第一個單音的頻率為f，則第八個單音頻率是多少？

教學中，教師可以和學生一起分析該題目。從第二個單音起，每一個單音的頻率與前一個單音的頻率的比值都等于。由等比數列的定義可知，這十三個單音的頻率構成一個首項f，公式為的等比數列，因此第八個單音頻率應該為f。該試題從學生感興趣的音律入手創設情境，既拉近與學生的距離，又展示了數列的廣泛應用，因而比較容易吸引學生的注意力。該教學過程正是以具體情境激發學生解決問題的動力，充分體現了數學知識來源于生活、服務解決實際問題的理念。

（二）以變式訓練提升推理分析能力

從對蘇教版教材的分析來看，多樣化的技術體驗為學生全面、深入理解數列知識提供了保障。技術的輔助、數形結合的展示、數據的模擬體驗均以不同的形式幫助學生加深對知識的理解，而這些與中國數學教育的傳統特色——變式訓練有異曲同工之效。著名數學教育家顧泠沅先生曾強調要重視數學教育中變式訓練重要類型——過程變式，教材中的技術輔助實則正是以不同方式助力學生理性思維、推理能力的發展。

推理分析能力是數學學科核心素養的重要組成和提升學生思維品質的重要目標，數列章節的教學同樣如此，教師在教學中應當以變式訓練引導學生對問題進行分析、推理。具體而言，一方面教師需要在實際教學中以數形結合、知識關聯等形式設計教學，讓學生沿著不同的思維路徑處理問題;另一方面教師要善于啟發學生思路，開闊解題方法，以一題多解、創新思考訓練學生邏輯思維能力。

例如，在讓學生深化對數列的認識時，教師可以先利用貝殼螺旋線的模式圖讓學生自己測量每一圈的半徑大小，解析圖像，看看是否能將其轉化為數列形式。之后，教師再讓學生依據測量出來的大小分別將其定位于平面直角坐標器上，并將每個點進行連線。此外，讓學生以小組合作的形式用計算器計算展示。最后，教師可以播放關于數學家解析對數螺旋線，進行不同軟件數據模擬的Flash。除此以外，教師可以給出DNA結構、牽牛花藤以及向日葵花盤中隱藏的螺線結構，從而激發學生探究生活中有數列特點的生命現象。該教學過程以學生的親身體驗為起點，讓數形結合與技術模擬的多元知識表征內化于心，培養了學生推理分析能力，并通過對數學家的計算模擬與生命現象的廣泛存在的呈現，讓學生進一步體會到數列知識的魅力，涵養其數學認知、數學探究與數學應用的基本素養。

除了新授課的教學，在解決部分模擬試題時同樣可以采用變式訓練的方式，去培養學生對數列知識的靈活應用能力。如以下試題讓學生用不同的方法求解：

已知各項均為正數的無窮數列an的前n項和為Sn，且滿足a1=a（其中a為常數），nSn+1=（n+1）Sn

+n（n+1）（n∈N *）。證明：數列{an}是等差數列，并求出{an}的通項公式。

此題目可以采用兩種不同的解法，解法一可采用

錯位相減，即①式nSn+1=（n+1）Sn+n（n+1），②式

（n+1）Sn+2=（n+2）Sn+1+（n+1）（n+2）。由②-①得

（n+1）Sn+2=（2n+2）Sn+1-（n+1）Sn+2（n+1），后再經一系列演算即可得到an=2n-2+a。而解法二可采用等式相除后的轉化變形，即由于nSn+1=（n+1）Sn+n（n+1），

所以=+1，又S1=a1=a，則數列是以a為首項，

1為公差的等差數列，從而逐步推斷出：對任意n∈N *，都有an+1-an=2，即數列{an}是以2為公差的等差數列。該教學過程就是讓學生在數列問題解算過程中嘗試不同的解算方法，由于學生對數列問題思考角度不同，因此解題的思路也就不同。如果學生不能靈活地掌握數列知識，熟練應用相關公式，就難以對實際情境中的數列問題有清晰的解題思路。因而，教師在教學中應當逐步引導學生學會“舉一反三”，以提升推理分析能力。

（三）以模型建構培養實踐應用

數學的應用已滲透到現代社會及人們日常生活的各個方面，數列知識在實踐生活中具有廣泛的應用價值。例如，人口增長問題、糧食增長、貸款以及時間推算等問題都需要應用數列知識。而數學建模正是對現實問題進行數學抽象，它以簡潔的數字組合構建了現實存在的模型，訴說著這個世界的科學法則。因此，教師應當以模型建構提升學生實踐能力，培養學生的數據分析、現實應用與實踐決策能力，讓學生依據數列原理解決現實問題。如下列的貸款問題，可以讓學生建構數學模型。

某白領為了改善住房條件，決定購房。該居民了解相關政策后，選擇采取個人公積金貸款20萬元的方式，月利息3.375‰，按復利計算，每月等額還貸一次，并從貸款后的次月初開始還貸。如果10年還清，那么每月應還貸多少元？

為解決上述問題，教師可以在黑板中予以圖像展示。先設某商品一次性付款的金額為a元，以分期付款的形式等額地分成n次付清，每期期末所付款是x元，則分期付款方式如下圖1所示。根據上述條件應用等比數列求和公式得出：x=。設每月應還貸x元，

共付款12×10=120次，最后可化簡計算得出約為2029.66元。該教學過程緊密圍繞問題解決，以算式的推演逐步得出了分期付款的數學模型。如此將現實生活問題建構數學模型后，促進了學生對數列知識的掌握，提升了學生的數據分析與實踐應用能力。

而在利用數列建模進行決策方面，教師可以讓學生考慮設備購置的最優方案。

若購置這些設備，需一次付款25萬元;若租賃這些設備，每年初付租金3.3萬元。已知一年期存款的年利率為2.55%，試討論哪種方案更好（設備壽命為10年）。

該題目由教師引導學生通過不同角度進行自主解答，并選擇幾名同學予以上臺展示。

方案一，從終值來考慮。若購置設備，則25萬元10年后的價值為25（1+2.55%）10≈32.159（萬元）。若租賃設備，每年初付租金3.3萬元，10年后的總價值為S=3.3（1+2.55%）10+3.3（1+2.55%）9+3.3（1+2.55%）8

+…+3.3（1+2.55%）≈38.00（萬元）。

方案二，如果從現值來考慮，可以得出每年初付租金3.3萬元的10年現值之和為Q=3.3++

+…+≈29.54（萬元），比購置設

備一次付款25萬元多，故購置設備的方案較好。該教學過程將變式訓練融入數學建模的過程，讓學生由數據分析推理，逐步建構模型應用于實踐決策。

課程改革進入核心素養時代的今天，“用教科書教”的教育理念不言自明。蘇教版高中數列板塊是整個高中數學體系的重要組成部分，在強調學生數學學科核心素養培育的當下，我們必須加強對教材的研讀，從學科體系、邏輯與應用上把握教材的整體思路、分析其呈現特征。通過樹立以學生為本的教學理念，營造溫潤的教學環境，以多變的教學方式激發數學學習的興趣，提升學生理解遷移、實踐應用等關鍵能力，從而實現課程改革中強調數學學科育人價值深化的初衷。