庫侖耦合雙量子點系統的熵產生率*

林智遠 申威 蘇山河 陳金燦

(廈門大學物理科學與技術學院,福建 361005)

本文基于庫侖耦合雙量子點復合系統,研究了自發非平衡過程中熵產生率與信息流的基本關系.從玻恩馬爾科夫近似下的量子運動主方程出發,獲得穩態時總系統和子系統的熵產生率.利用Schnakenberg網絡理論,揭示了各種熵產生率與基本環流的密切聯系,發現全局環流決定了雙量子點間的能量和信息交換,從而證明了化學勢差驅動電子流動以及子系統間能量和信息交換是子系統熵產生的關鍵要素,信息交換引起的熵產生保證了電子輸運的持續進行.結果表明在不違背熱力學第二定律的基本條件下,信息可作為驅動力使電子從低化學勢流向高化學勢.

1 引 言

物質的相互作用,伴隨著能量交換和信息交換[1,2].特別是在一些熱力學過程中,信息交換對全面理解整個系統的運行機制十分重要.研究表明信息認知和提取可輔助物理系統更有效地做功[3,4].Cottet等[5]利用超導電路觀察信息驅動熱機做功,實現熱力學量的自由控制和測量.Park等[6]提出雙原子分子模型,認為Szilard熱機可完全由量子互信息驅動.Paneru等[7]建立了一類無損信息引擎,它能結合無錯誤反饋機制將所有可用的信息轉換成機械能.國內學者Dong等[8]和Cai等[9]討論了量子推廣的Szilard熱機模型,發現在操作結束之后,系統與Maxwell妖之間存在糾纏,信息擦除的功耗使得熱力學第二定律不會被破壞.這些研究均利用一系列傳遞熱量并做功的熱力學過程組成完整的熱力學循環,需要利用外部輔助改變宏觀參量來驅動循環運轉,測量結果記錄在輔助物理系統中,測量信息將反饋到系統影響功率輸出[10?17].

然而,熱力學循環過程中,信息引起的熵變是一個靜態變量.自然界和人工合成的系統中,還存在各種自發的非平衡過程,如生物信號傳導[18?21]和半導體量子點系統的電熱輸運[22,23],其中信息交換以穩恒流動的形式存在,從實際出發建立有效理論研究信息穩定流動在熱力學系統變化過程中的作用就變得尤為重要.Horowitz和Esposito[24]首先從隨機熱力學出發統一描述了自發非平衡過程中信息如何產生并在系統內部傳遞.Barato等[25]利用條件熵表示在已知內部隨機變量的條件下外部隨機變量的不確定性,量化大腸桿菌感應網絡處理信息的效率.結合線性不可逆熱力學,Yamamoto等[26]發現Onsager互易性在信息驅動引擎中依然成立.Ptaszyński和 Esposito[27]又將隨機熱力學的研究成果推廣到了多熱源的自發非平衡量子開放系統,發現系統內部信息交換引起的能流是非平衡自由能的重要組成部分.Strasberg等[28]考慮系統與多熱源的反復相互作用,建立了量子與信息熱力學理論的統一框架,并討論如何在其所建立的框架內分析非平衡系統的熱力學特性.由量子點和生物感應系統構成的自發過程具有共同的非平衡特性,而非平衡系統的物質流、信息流和能量流與系統的熵產生率緊密相關.對于開放系統,熵產生率不僅包含系統本身熵的變化率還包含從系統到環境的熵流.開放系統熵的變化率可由馮諾依曼熵定義.開放系統與環境間物質和能量交換引起的熵變化則被稱為熱力學熵.總結文獻[24?28]的研究發現,信息的產生和交換依賴于內部子系統間的相互作用.

因此,基于庫侖耦合的雙量子點復合系統,本文將探討信息流如何驅動自發非平衡系統內電子的連續流動.首先,從系統的哈密頓量出發,利用玻恩馬爾科夫近似,推導約化密度算符所表示的運動主方程,根據系統的穩態解,獲得內部不同狀態躍遷所對應的電子流與熱力學熵的一般關系.為了度量子系統間的信息交換,研究將結合Schnakenberg圖論分析方法[29],引入基本環流,探討局域電子環流和全局環流所導致的能流、信息流與子系統熵產生率的關系.從子系統熵產生率中分解出粗粒化熵和信息熵,揭示信息流對應的熱力學力如何保證電子輸運的持續進行,并驅動電子從低化學勢流向高化學勢.

2 庫侖耦合雙量子點輸運模型

圖1 庫侖耦合雙量子點非平衡系統Fig.1.The nonequilibrium double quantum-dot system with Coulomb coupling.

如圖1所示,系統由兩個單能級量子點X和Y通過庫侖耦合力U相互作用組成.量子點X(Y)可與左右兩個電子熱庫XL和XR(YL和YR)交換電子.Tv和μv分別表示電子熱庫v(v=XL,XR,YR和YL) 的溫度和化學勢.是量子點與熱庫之間電子的隧穿幾率.系統的哈密頓量為

其中tkαχ是在能級為εkαχ的量子點α與熱庫χ的耦合強度.系統的態空間可表示成各個量子點系統的本征態的張量積.用下標0和1表示其中一個量子點位置有無被電子占據(0表示沒有占據,1表示有占據),則系統可分解出四種狀態(記為集合z).因此,雙量子點系統的能量本征態為其中,分別表示量子點X和Y的本征態.圖2給出了各種狀態之間的躍遷關系,頂點(即節點)代表四種狀態,雙向邊緣線代表任意兩個狀態的向前和向后躍遷.用表示由熱庫v引起的狀態z′=(x′,y′)到狀態z=(x,y)的躍遷速率,用有方向的邊表示.假設圖中規定了所有邊的正方向,則可定義集合因為系統包含兩部分,每一條邊代表量子點X或Y的狀態改變.表示X的狀態變化,Y的狀態不變.而(y′=y)表示Y的狀態變化,X的狀態不變.因此,集合ξ可歸納成兩個子集

圖2 庫侖耦合雙量子點系統的狀態點和躍遷模式Fig.2.The states and transition modes of the double quantum-dot system with Coulomb coupling.

和

設p(z,t) 為t時刻狀態z出現的概率,在玻恩-馬爾科夫近似下[30,31],狀態z隨時間的變化可用如下運動主方程表示:

假設兩個量子點子不能同時改變各自的狀態,則躍遷速率等效于

各躍遷速率取值如下[26,30,31]:

3 熱力學第二定律和信息流

系統的熵S可用香農熵表示[32,33]:

(9)式對時間求導,在穩態時可得

其中

表示系統單位時間的總熵產生率,

是單位時間系統與熱庫進行電子和能量交換引起的熵的變化.利用對數求和不等式,對于任意的ai?0和可證明,滿足熱力學第二定律,即熵產生率必須是非負的.(9)式—(12)式給出了雙量子點作為總系統的各種熵流和熵產生率,但并未明確給出子系統之間的能量和信息交換以及各子系統的熵產生率.因此,需要結合 (7)式,(8)式和 (12)式,可將總熵產生率分解成子系統X和Y的熵產生率之和,即

其中

對于包含四個狀態的系統,可通過研究其中的環流,使問題變得清晰.可選定一組基本循環,使圖中所有的環都可表示成這組基的線性組合[34].下面根據求解需要選定了一組完備的基本循環:

圖3 四態模型的有向圖及其基本循環Fig.3.The directed graph of the four-state model and its cycle basis.

因此,(11)式中的總熵產生率可改寫為

更一般地,可定義函數 Ξ 為[29]

流Je可表示為與躍遷e相關的所有環流的代數和,且

所以,熵產生率可進一步改寫為

根據(7)式和(21)式,基本循環對應的環流為:

因此,利用(14)式和(15)式,穩態時子系統X和Y的熵產生率可分解成三部分:

其中

其 中 ?μX=μXR? μXL,?μY=μYR? μYL,(i=X,Y)表示化學勢差驅動子系統與電子熱庫交換電子引起的熵產生率,只與局域的環流CX和CY有關.為兩個量子點間庫侖力產生耦合能量導致的熵產生率.值得注意的是,表示子系統間信息交換所引起的熵增加.

是X和Y信息交換所對應的熱力學力,在這里簡稱信息力.和都與全局循環CG緊密相關,全局循環決定系統內部的能量交換和信息交換.

利用(23)式,從XL到XR的粒子流為

而從YL到YR的粒子流為

則總熵產生率為

結合 (24)式,(25)式和 (29)式,可發現信息熵只有在子系統X,Y的熵產生率中起作用,而對總熵的效果為0.這是因為信息熵是由于兩個子系統的相互作用而產生的,當研究其中一個子系統時,信息熵的影響就體現出來,而對于總系統,這一對信息熵所對應的信息力就好比是一對“作用力”與“反作用力”,互相制約.考慮信息熵后,子系統的熵產生率大于零,符合熵增加原理的基本規律.

4 結果與討論

為了討論方便且不失一般性,引進參數δ和?,并令各隧穿速率為

1) 總熵產生率和各部分的熵變

2) 粗粒化熵產生率和信息熵

系統間存在信息流,說明X,Y兩個子系統并不是獨立變化的.(24)式和(25)式可進一步整理成兩部分

(30)式右邊第一項表示量子點X的粗粒化熵產生率

圖4 (a) 熵產生率 , 和 及 (b) 電子流 JX 和 JY 隨庫侖耦合強度的變化曲線.其中 β ?μX=2 ,β ?μY=1 ,δ=?=1 ,Fig.4.(a) The entropy production rates , ,and ,and (b) the curves of the electron flows JX and JY varying with the Coulomb coupling strength,where

圖5 部分熵產生率 , 和 隨庫侖耦合強度的變化曲線.Fig.5.The curves of the partial entropy production rates , ,and varying with the Coulomb coupling strength.

圖6 粗粒化熵產生率 σi(i=X,Y) 隨庫侖耦合強度變化曲線Fig.6.The curves of the coarse-grained entropy production rates σi(i=X,Y) varying with the Coulomb coupling strength.

5 總 結

本文基于庫侖耦合的雙量子點復合系統,結合量子開系統理論和圖論的分析方法,研究了自發非平衡系統物質流、能量流與信息流間的協同關系.根據狀態變化所經歷的不同閉合路徑,區分全局循環和局域循環,從各子系統熵產生率中分解出基本循環對應的熱力學流與熱力學力.發現子系統間的能量和信息交換依賴于全局環流,相互作用可能以信息或能量交換為主導,由庫侖耦合強度決定.最終揭示了信息驅動引起的熵產生保證了電子輸運的持續進行.