自適應觸發下一類神經網絡的安全同步控制

劉 延，劉清怡

（南京財經大學應用數學學院，江蘇南京210023）

神經網絡是一種非線性動態系統，在參數選取得當的情況下，可以表現出很大的復雜動態特性.由于近年來成功地應用在信號處理、模式識別、全局優化等[1]領域，神經網絡的研究受到了廣泛的關注.同時，由于同步控制的潛在應用，如信息處理、機器人陣列、安全通信等，同步控制[2-4]研究引起了更多學者們的注意. 在這些同步問題中，驅動-響應同步是一個流行的話題. 驅動響應同步的基本原理是，驅動系統向響應系統發送信號，然后響應系統通過使用該信號來使自身與驅動系統達到同步. 換句話說，響應系統受驅動系統行為的影響，但驅動系統與響應系統無關. 然而，對于具有時變時滯的非線性神經網絡系統的驅動響應同步控制還沒有得到充分的研究，這是本文的第一個動機.

值得注意的是，由于網絡帶寬的限制，網絡控制系統和現代通信技術的發展常常帶來一些挑戰. 由于任何通信網絡單位時間內只能攜帶有限的數據，因此，如何減輕網絡的負擔，提高網絡傳輸的效率，已經成為人們研究的熱點[5-7]. 作為傳統周期控制模式的一種替代方案，事件觸發方案在網絡化控制系統中得到了廣泛的關注. 差異在于事件觸發方案設置一個觸發條件來確定是否應該發送采樣數據，這樣可以減少網絡帶寬的負擔和功耗. 但是，傳統的事件觸發所設置的觸發閾值幾乎都是常數，節約的資源有限. 因此，具有動態閾值的自適應觸發機制[8-10]被設計出來并得到廣泛運用.

眾所周知，在某些實際系統中可以發現非線性. 由于物理上的限制、技術上的限制或其他內部因素的影響，作為一種缺少測量的現象，飽和非線性經常存在于許多網絡控制系統中. 近年來，輸入飽和的研究成為熱點，網絡系統中的一些研究成果[11-13]也層出不窮.但是，對于具有控制輸入飽和的神經網絡系統，在開放式文獻中幾乎沒有基于驅動響應同步的控制結果. 在理論和實踐中，這個問題都是很重要和具有挑戰性的. 在此基礎上，本文研究了具有輸入飽和的神經網絡驅動響應同步控制問題，這是本文的第二個動機.

在實際工程應用中，由于控制元件（如傳感器、控制器、執行器等）都是通過共享通信網絡連接，來實現有效的遠程控制，故容易受到惡意攻擊（包括DoS 攻擊、欺騙攻擊、隱身攻擊等[14-17]），因此安全問題是研究與發展的一個重要課題. 值得指出的是，關于神經網絡的驅動響應同步問題，開放文獻中對于網絡安全方面的研究較少，基于此，在驅動響應同步基礎上，提出網絡攻擊環境下一種基于自適應觸發的具有輸入飽和的輸出反饋控制方法，這是本文的第三個動機.

基于上述觀點，本文對網絡攻擊和輸入飽和環境下時滯神經網絡的自適應同步控制問題進行了研究. 利用李雅普諾夫穩定性理論與線性矩陣不等式提出了一套新的時滯相關穩定性準則，通過自適應事件觸發采樣來實現神經網絡驅動響應系統的同步. 基于這種穩定條件，提出一種神經網絡自適應事件觸發輸出反饋同步控制器的設計方法，并給出數值算例，以說明該方法的有效性.

1 問題陳述與建模

考慮如下時滯神經網絡作為驅動系統：

其中x(t)=(x1(t),x2(t),…,xn(t))T∈?n是表示n個神經元的狀態向量，D、A、B和E是已知的系數矩陣，τ(t)∈[0,τ]是時變的有界時滯，J表示輸入偏差.f(x(t)) 表示神經元激活函數且滿足f(0)=0.

根據驅動系統，給出相應的響應系統模型：

其中^(t)表示響應系統的狀態，u(t)是控制輸入.

定義e(t)=(t)-x(t)作為同步誤差的狀態，則誤差系統模型如下：

實際操作中，周期性采樣方法會降低數據傳輸效率，浪費網絡帶寬. 為了節省網絡資源，在傳感器和控制器之間引入了一種自適應事件觸發方案，用于確定是否應將輸出誤差發送給控制器. 定義作為將傳輸給響應系統控制器的采樣測量誤差.

假定網絡通信中的時變延遲為dk∈[0,d](k=1,2,…,∞)且采樣周期為h. 考慮到時延的影響，采樣測 量將分別在t1h+d1,t2h+d2,t3h+d3,…時刻到達控制器，則自適應觸發規則為：

其中Ω是一個正定矩陣，且λ(t)滿足如下條件：

當前采樣數據yˉ(tkh+jh)能被傳輸當且僅當當前采樣數據yˉ(tkh+jh)與上一傳輸數據yˉ(tkh)違反不等式（4）.

為了技術方便，類似于文獻[12]，定義d(t)和ek(t)如下：

并且0≤d(t)＜dM，其中dM=h+d是d(t)的上界.

根據上面d(t)和ek(t)的定義，式（4）和式（5）可以重新寫為

因此，基于事件觸發機制與網絡延遲效應，控制器的實際輸入如下：

其中k是相應的控制器增益矩陣.

在此，引入飽和函數的定義如下：

其中

基于文獻[18]的結果，飽和后的實際輸入以下列形式表示：

其中φ(u^(t))是一個非線性函數，且滿足如下不等式

其中0＜ε＜1.

在網絡系統的實際應用中，惡意網絡攻擊或干擾可能經常發生. 本文假設攻擊信號是一種隨機干擾，可以用一個與網絡節點動態行為有關的非線性函數h(·)來描述.則網絡攻擊環境下，實際輸入為：

其中α(t)表示滿足伯努利分布的網絡攻擊概率，取值介于0 和1 之間，并假設P{α(t)=1}=α，P{α(t)=0}=1-α，則攻擊概率的期望為E{α(t)}=α，方差為ρ2=α(1-α).

結合（6）-（11）式，最終誤差系統模型如下：

為證明主要結果之前，引入下面的假設和引理.

假設1神經元激活函數f(·)和網絡攻擊信號函數h(·)為連續非線性函數，且滿足如下Lipschitz條件：

其中Λ1和Λ2是常數矩陣，且分別表示f(·)和h(·)的上界.

引理1[19]給定常數m，若函數d(t) 滿足d(t)∈(0,m]，則對于存在矩陣R＞0，使得如下矩陣不等式成立：

引理2[20]（Schur 補引理） 對于給定矩陣S=其中如下條件是等價的：

2 主要結果

這個部分給出相應定理來分析閉環誤差系統（12）.利用李雅普諾夫泛函方法，首先給出了漸近穩定的充分條件. 然后，應用線性矩陣不等式方法，求解非線性項并給出響應系統（2）的輸出反饋控制器設計.

2.1 穩定性分析

定理1對于一些給定的正標量參數τ,dM,σ,γ,α,ε,ε1和ε2，系統（12）在輸出反饋控制器K下是漸進穩定的，如果存在合適維度的矩陣P＞0,Qi＞0,Ri＞0,(i=1,2),Λs(s=1,2,3),Ω＞0，使得如下不等式成立：

其中

證明：建立如下形式的李雅普諾夫泛函

其中

其中P＞0,Qi＞0,Ri＞0,(i=1,2)是待定的對稱矩陣.

對V(t)關于t求導求期望可得：

結合（6）式與（17）式，可以推出

E{V˙4(t)}≤

因此，可以推得

根據假設1，可以得到如下不等式：

結合（14）-（22）及引理1，可以得到不等式：

其中

運用引理2，即可推得式（23）等價于ξT(t)Γξ(t)，由Γ＜0 可知E{V˙(t)}＜0，因此得證系統（12）是漸進穩定的.

由于定理1 中矩陣不等式中非線性項的存在，不等式（13）不能直接用MATLAB 的LMI 工具箱求解.可在下面的定理2中解決此問題并設計控制器.

2.2 控制器設計

定理2對于一些給定的正標量參數τ,dM,σ,γ,α,ε,ε1,ε2，系統（12）在輸出反饋控制器K=P-1V下是漸進穩定的，如果存在合適維度的矩陣P＞0,Qi＞0,Ri＞0,(i=1,2),Λs(s=1,2,3),Ω＞0 和V，使得不等式（24）成立：

其中

其他參數在定理1中已定義.

證明：令K=P-1V. 對（13）式先左乘右乘矩陣再左乘右乘矩陣diag{I,P,P,I,I,I,P}，則可以得到：

再考慮如下不等式

由此，可以從（25）式推導出（24）式，完成證明.

3 數值仿真

參考文獻[21]，考慮神經網絡的系統參數如下：

參考文獻[22]，假設神經元激活函數f(x)和網絡攻擊函數h(x)分別為：

且輸入偏差J=0.

基于假設1，經過簡單的計算，可得：

然后，令參數τ=0.1,dM=0.1,α=0.5,ε=0.4,ε1=2,ε2=3,γ=15，事件觸發參數σ=0.2. 根據定理2 運用線性矩陣不等式方法求得下列可行解：

控制器增益矩陣和事件觸發矩陣如下：

基于上述結果，設定采樣周期h=0.1 并選取初始值x(0)=[-0.3 0.3]T，x^(0)=[0 0]T，自適應初始觸發值λ(0)=0.3. 可以得到仿真結果如圖1-4 所示（注：每個圖的橫坐標表示時刻，單位為秒. 圖1、3、4的縱坐標表示相應的狀態. 圖2 的縱坐標表示觸發間隔，單位為秒）. 圖1 顯示了在控制器下，同步誤差快速趨于0，這表明最終系統是同步且穩定的. 圖2顯示了自適應事件觸發的觸發時刻與間隔，很明顯看到其有效節約了網絡資源，避免不必要的信號傳輸. 圖3 顯示了觸發閾值隨時間在發生變化. 圖4 展示了網絡攻擊的變化情況. 綜合上述仿真結果可見，本文的方法是可行且有效的.

圖1 同步誤差e(t)的值與時間t的關系

圖2 自適應事件觸發的觸發時刻與間隔

圖3 自適應觸發閾值λ(t)與時間t的關系

圖4 網絡攻擊信號h( Δ( (t)) )與時間t之間的關系

4 總結

本文研究了網絡攻擊和輸入飽和環境下，時滯神經網絡的自適應事件觸發驅動-響應同步控制問題. 采用基于輸出誤差反饋的自適應事件觸發機制，減少控制器更新次數，避免不必要的網絡資源浪費，并充分考慮網絡攻擊和輸入飽和的影響，通過李雅普諾夫泛函得到了使同步誤差系統漸近穩定的充分條件，然后利用線性矩陣不等式技術同時得到控制器的增益矩陣和事件觸發參數矩陣. 最后，給出了一個仿真例子來說明最終結果的有效性.