推廣的（G′/G）展開法求含色散長波方程組的精確解

曾 嬌，崔澤建

（1.宜賓學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，四川宜賓644007；2.西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川南充637009）

含色散長波方程組是由描寫均勻不可壓縮流體運(yùn)動(dòng)的淺水（或長波）方程組變形而來，在淺水（或長波）方程組的第一個(gè)方程左端加上色散項(xiàng)，則為Boussinesq 方程組，同時(shí)在第二個(gè)方程左端也加上色散項(xiàng)，則可得到含色散長波方程組：

其中：β為色散系數(shù).

眾多學(xué)者對求解非線性發(fā)展方程的精確解進(jìn)行了不懈的努力，采用了齊次平衡法[1]、雙曲函數(shù)法[2]、Jacobi 橢圓函數(shù)展開法[3]等方法. 尤其值得關(guān)注的是2008 年由Wang 等成功創(chuàng)立的展開法[4]，并在此之后，很多學(xué)者對展開法進(jìn)行改進(jìn)和推廣，衍生出展開法[7]等方法.之前已有學(xué)者對含色散長波方程組進(jìn)行求解[8]，但所得的解形式局限，因此本文擬用推廣的展開法求解含色散長波方程組的精確解，以期豐富含色散長波方程組的解系.

假設(shè)含兩個(gè)獨(dú)立變量x、t的非線性偏微分方程（PDE）一般形式為：

其中F為含有u和u的各階導(dǎo)數(shù)的多項(xiàng)式，u=u(x,t)是未知函數(shù)，引入行波變換

將（3）代入（2）得到關(guān)于u=u(ξ)的常微分方程：

這里“′”表示

其中G=G(ξ)滿足二階線性微分方程：

式（5）中的a0,a1,a2,…,an和式（3）中的c均為待定常數(shù)，整數(shù)n由（4）中的非線性項(xiàng)和最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)平衡來確定.

由于已知方程（6）的解，將上面所得的結(jié)果帶回（5）式，即得非線性偏微分方程（2）的精確行波解.

2 含色散長波方程組的精確解

用行波變換（3）代入含色散長波方程組（1），得到關(guān)于u=u(ξ)的常微分方程組：

方程(7a)對ξ積分可得：

其中c0為積分常數(shù).

將（8）式代入方程(7a)可得：

其中k=2(c0-c2).

利用MATLAB求解上述方程組可得到兩組解.第一組解：

第二組解：

（ⅰ）情形1：λ2-4μ＞0

其中：C1,C2是任意常數(shù).

對應(yīng)方程（1）的兩組雙曲函數(shù)通解u1(ξ),v1(ξ)與u2(ξ),v2(ξ)分別為：

其中：C1,C2是任意常數(shù).

對應(yīng)方程（1）的兩組三角函數(shù)通解u3(ξ),v3(ξ)與u4(ξ),v4(ξ)分別為：

3 總結(jié)