從構(gòu)圓求線段最值的教學(xué)談初中生的課堂學(xué)習(xí)

張偉

【摘 要】本文對于在什么情況可以構(gòu)造圓去解決一些最值問題，談?wù)劤踔袛?shù)學(xué)課堂上，教師能做些什么來提高初中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和水平。

【關(guān)鍵詞】構(gòu)造圓;最值;課堂

初中階段，我們會遇到很多線段求最值的問題，而其中有一些線段的最值問題可以通過構(gòu)造圓來解決，這類問題的解決不僅可以提高學(xué)生對圓的基本性質(zhì)的認(rèn)知和分析問題解決問題的能力，又可以大幅提高學(xué)生的思維水平、探究能力和學(xué)習(xí)興趣。尤其對于面臨中考的初三學(xué)生，能夠?qū)τ跇?gòu)造圓有個系統(tǒng)性的認(rèn)識。但是我們在教學(xué)中會發(fā)現(xiàn)這種類型的問題已經(jīng)講過很多次了，學(xué)生還是錯誤率很高，那么這是怎么回事呢？

一、錯因分析

（一）對于圓的概念不能清晰掌握

比如在做這樣一道題時：在△ABC中，AB=3，AC=3，當(dāng)∠B最大時，BC的長是.學(xué)生甲認(rèn)為，三角形不固定，無法畫出圖形幫助解題。而學(xué)生乙則說，線段AC、AB是定值，則可認(rèn)為C點的運動軌跡是以A為圓心，AC為半徑的圓，則可知當(dāng)∠B最大時，BC與圓相切，則求出答案是6。這個就是沒有想到我們講圓的運動定義，雖然圖形不固定，但軌跡是確定的，我們將看似不動的線段轉(zhuǎn)化成繞定點旋轉(zhuǎn)的線段，從而能構(gòu)造圓來解決問題。

（二）對于圓的一個基本結(jié)論沒有理解

有這樣一個結(jié)論：圓內(nèi)（外）一點到圓上各點的線段中，過圓心的線段取得最值。

比如做這樣一道題時：如圖在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上的一動點，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C長度的最小值是.

學(xué)生丙說，我發(fā)現(xiàn)了MA′=MA=MD，也就知道了點A′在以M為圓心、AD為直徑的圓上的弧AD上運動，可是這又跟A′C長度的最小值有什么聯(lián)系呢？而學(xué)生丁就快速地說出了上面的一個結(jié)論，他說通過結(jié)論知當(dāng)M、A′、C三點共線時，得出A′的位置，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出A′C的長即可.學(xué)生丙又問，為什么我總是不能記得這個結(jié)論呢？學(xué)生丁則很意外，說這個就是用兩邊之和大于第三邊或者說兩點之間線段最短得到的。

為什么學(xué)生的回答有很大差異？為什么這種有難度的題目有些學(xué)生能很快掌握，有些學(xué)生講了很多次都不理解呢？筆者認(rèn)為主要是在數(shù)學(xué)課堂上教師的教與學(xué)生的學(xué)并不能有效結(jié)合起來。

二、課堂教學(xué)

（一）注重概念的理解和分析

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)不是單純的給出定義，直接背誦，而是要對數(shù)學(xué)概念進(jìn)行剖析，讓學(xué)生理解。李士琦在《數(shù)學(xué)教育心理》中指出，學(xué)習(xí)一個數(shù)學(xué)概念、原理、法則，如果能夠在心理上組織起適當(dāng)?shù)挠行У卣J(rèn)知結(jié)構(gòu)，并使之成為個人內(nèi)部知識網(wǎng)絡(luò)的一部分，那么才說明是理解了。而數(shù)學(xué)的理解，既是對數(shù)學(xué)對象的理解，也是從數(shù)學(xué)的角度去理解現(xiàn)實。而我們在讓學(xué)生理解圓的定義的時候，它包含兩種：一是運動定義，二是集合定義，兩者相輔相成，缺一不可。在講解運動定義時，可以教師用一段繩長做定長，粉筆做定點進(jìn)行演示，也可讓一位同學(xué)綁住一根繩子做定點，另一位同學(xué)拉繩子繞走一圈進(jìn)行演示。再將演示抽象成數(shù)學(xué)符號語言的描述，并能夠與演示對應(yīng)起來，這樣我們就知道了圓的概念是從哪里來的。當(dāng)加入一位同學(xué)用同樣的繩長繞走一圈后，我們會發(fā)現(xiàn)軌跡相同，兩位同學(xué)抽象成的點在同一個圓上，于是學(xué)生能自己總結(jié)出圓的集合定義。這樣，我們就能從點的運動知道軌跡是圓，從軌跡是圓知道點的運動是什么，從感性認(rèn)識上升到了理性認(rèn)識。學(xué)生在積極主動的過程中理解了圓的概念，就可以知道概念的用途了。那么在讀完剛才的第一個題目，就能夠感受定長的線段實際上可以看成是運動的線段，知道軌跡是一個圓了。

（二）注重結(jié)論運用時的來龍去脈

我們對于數(shù)學(xué)的一些結(jié)論，在課堂教學(xué)中，要注意承接性和連續(xù)性，要說清楚結(jié)論的來龍去脈，因為學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解，尤其是對幾何的理解是非線性的，反反復(fù)復(fù)建構(gòu)組織的過程。如前面的一點與圓上一點之間的距離大小問題，本質(zhì)上其實就是兩點之間線段最短的這個基本原理。而在初一講這個基本原理時，需要讓學(xué)生動手計算或操作，從而從實際轉(zhuǎn)化成理論，但在初三理解這個結(jié)論時，需要讓學(xué)生將知識點遷移過來，讓學(xué)生有了原來如此的感受，才能深刻的理解結(jié)論，才能夠應(yīng)用起來。只有重視學(xué)生的原有知識體系和脈絡(luò)，才能讓學(xué)生能逐步深入的理解數(shù)學(xué)。

總之，德國教育家第斯多惠說：“一個壞教師給學(xué)生奉獻(xiàn)真理，一個好教師則教學(xué)生發(fā)現(xiàn)真理?！薄墩n程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》指出：在日常教學(xué)活動中，教師應(yīng)努力挖掘教學(xué)內(nèi)容中可能蘊涵的與知識技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度四個目標(biāo)有關(guān)的教育價值，通過長期的教學(xué)過程，逐漸實現(xiàn)課程的整體目標(biāo)。而我們也需要通過系列構(gòu)造圓的題目來積累數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思維方式，來提高學(xué)生的問題解決能力。當(dāng)學(xué)生的頭腦中儲存了合理、清晰的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)體系，就能在解決問題時能快速地將問題與相關(guān)知識形成聯(lián)系，通過選擇解題方法優(yōu)化解題方案。

參考文獻(xiàn)：

[1]鄧文忠.利用圓的一個結(jié)論求一類線段的最值[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2015⑷.

[2]張春光.中學(xué)生數(shù)學(xué)概念認(rèn)知理解過程研究[D].濟(jì)南：山東師范大學(xué)，2011.