折紙藝術(shù)在機械工程中的應(yīng)用

陳心蔚

摘? 要：本文是對機械工程中折紙藝術(shù)最新的研究綜述。主要介紹了折紙中常用的基本概念和定義，包括重要數(shù)字折紙研究的背景。本文不僅概述了折紙在機械工程中的應(yīng)用，還介紹了基于折紙的設(shè)計過程和當(dāng)前可用于設(shè)計的軟件的基礎(chǔ)。本文的目的是向可能不熟悉這個領(lǐng)域的機械工程師介紹這個主題，并鼓勵他們基于折紙在機械工程中的設(shè)計和應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：機械工程;設(shè)計;復(fù)雜系統(tǒng);包裝;設(shè)計研究

1前言

盡管折紙藝術(shù)具有豐富的美學(xué)歷史，但絕大多數(shù)實際應(yīng)用已經(jīng)出現(xiàn)在過去的50年內(nèi)。計算機科學(xué)，數(shù)論和計算幾何學(xué)的進(jìn)步為強大的新分析和設(shè)計技術(shù)鋪平了道路，如今這些技術(shù)已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了藝術(shù)本身1。盡管機械工程一直與部件之間可以發(fā)生相對運動的設(shè)備有關(guān)，從某種意義上講，這種運動可以折疊，但機械工程的折紙領(lǐng)域卻是最近才開始發(fā)展，它正在帶來新的有用的結(jié)果。現(xiàn)在可以使用折紙概念有效地設(shè)計和分析一維折疊鏈接，二維平面形狀和三維多面體。本文概述了折紙在機械工程中的研究現(xiàn)狀。它簡述了數(shù)學(xué)和計算機折紙，大多數(shù)工程學(xué)所依賴的學(xué)科，并概述了已開發(fā)的主要應(yīng)用程序2。

2折紙的數(shù)學(xué)背景

盡管折紙的數(shù)學(xué)方法已經(jīng)做了大量的工作，但我們僅涉及與本綜述相關(guān)的一些重要的幾何，拓?fù)浜蛢?yōu)化方面。雖然目前尚不存在本節(jié)中的數(shù)學(xué)主題與應(yīng)用程序之間的緊密聯(lián)系，但本次審查的目的之一是提出最相關(guān)的數(shù)學(xué)主題，以幫助促進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展。數(shù)學(xué)理論與機械工程應(yīng)用之間的緊密聯(lián)系。

多面體是由多邊形組成的任何3D曲面，它們是邊緣為直線的2D平表面。折紙可用于通過折疊從平整的紙上創(chuàng)建任何多面體。證明這涉及將一張紙折疊成一個細(xì)長的矩形。接下來，必須對要建模的多面體的多邊形面進(jìn)行三角剖分。這樣可以覆蓋多面體表面上的每個結(jié)果三角形。使用鋸齒形路徑，與下一個三角形的共享邊成對角線并從對角開始，用于多面體上的每個三角形。旋轉(zhuǎn)小工具可用來創(chuàng)建路徑，該小工具將條帶通過山形折痕折疊到其自身上，并以所需的角度將背層折疊起來。

平面折疊性是設(shè)計的屬性，可以將其折疊到一個平面中，厚度由材料確定。對多頂點折疊的全局平坦折疊性進(jìn)行歸納是一個NP難題，并且仍然存在，但是單頂點情況已廣為人知。從一個頂點發(fā)出的折痕圖案由折痕之間的n個角度定義，對于一張整張紙，折痕之和為360°。

3 折紙在機械工程中的應(yīng)用

3.1應(yīng)用于工程的折紙

紙在大多數(shù)數(shù)學(xué)研究中都被認(rèn)為是二維的，而不是絕大多數(shù)工程應(yīng)用中使用的材料。但是，重要的是研究和理解折紙在折痕之間如何折疊，以便將這些結(jié)果外推到工程中使用的材料上3。以前，我們假設(shè)紙張的面在折疊過程中保持筆直。但是，這不一定是正確的，因為紙張是柔性的。

為了解釋表面如何折疊，將高斯曲率定義為3D曲面上任一點的最小和最大曲率的乘積。鞍形為負(fù)，凸圓錐形為正，本征平面為零。總的高斯曲率在折疊過程中不會改變。折疊一張紙將始終形成曲率為零的形式，并且最小曲率在每個點處局部為零。這就解釋了如何通過壓下外殼的中間部分使比薩餅片具有一定的彎曲度并支撐比薩餅的長度，從而有效地處理比薩餅，比薩餅的長度現(xiàn)已受到限制。

從理論折紙向工程學(xué)過渡的一個主要挑戰(zhàn)是在材料中增加一些有限的厚度。在已開發(fā)的大多數(shù)數(shù)學(xué)結(jié)果中，都假定厚度為零的2D表面。已經(jīng)提出了幾種增加厚度的方法，它們都涉及鉸鏈或折痕的一些調(diào)整。本質(zhì)上，任何折疊設(shè)計中的邊緣都可以在谷形折痕處鉸接在一起。主要問題是在一個頂點上有幾條折線。不再有并發(fā)邊緣，并且邊緣變得過度約束。有多種方法可以在每個頂點使用對稱性并實現(xiàn)可行的設(shè)計。也有可滑動的鉸鏈，允許邊緣沿連接面板的表面滑動。

解決過度約束問題的一種方法是修整山谷兩側(cè)的邊緣體積，而不是將鉸鏈移動到山谷褶皺。這樣可以使頂點以不與邊緣相交的方式變角。圖1顯示了這些方法的示例。在許多折紙工程應(yīng)用中，另一個障礙是折疊的成本和時間，這對可能引入折疊的應(yīng)用構(gòu)成了障礙。另外，必須達(dá)到耐用性，因為工程應(yīng)用可能需要反復(fù)折疊和展開。以下是折紙機械工程應(yīng)用的一些主要領(lǐng)域。

3.2折紙在運輸、包裝和儲存中的應(yīng)用

折疊可用于提高在有限空間內(nèi)運行的設(shè)備的性能。因此，該區(qū)域中的設(shè)備通常以折疊狀態(tài)或未折疊狀態(tài)存在，并且在任何一個方向上都不顯示最終運動。大多數(shù)工程應(yīng)用使用的材料不如紙柔韌性好，并且近似于剛性。數(shù)學(xué)解決方案可以在許多不同的工程應(yīng)用中實現(xiàn)。消費品包裝提供了廣泛的剛性折紙示例，包括自動包裝折疊過程和設(shè)計最有效的包裝。

折紙制造包裝中的一個折紙的最新例子是扁平折疊式剛性購物袋。該解決方案可使紙箱底部保持剛性，并可應(yīng)用于各種尺寸比率和厚度的購物袋。新的折痕圖案是用于折疊袋的傳統(tǒng)圖案的變體，但上部和下部被圍繞袋的水平折痕分隔開。相對容易地顯示出包括基部的下部是可剛性折疊的。為了實現(xiàn)工作設(shè)計，將袋子分成四個相同的部分，每個部分居中，并且由于對稱性，只分析了一個部分。基于矢量的方法通過證明結(jié)構(gòu)中的每個面板保持平面并在整個折疊過程中與相鄰面板連接，從而確保袋子可剛性折疊。唯一的設(shè)計變量是角度的選擇，該角度決定了袋子側(cè)面相對于水平方向的折痕。此變量具有最大和最小允許值，該值由高度相對于整個袋子深度的比率確定。設(shè)計中的唯一其他限制是為袋子提供足夠的寬度，以確保在折疊運動過程中袋子的頂角不相交。由于導(dǎo)致剛性可折疊性的條件的高度非線性特性，因此可以找到數(shù)值解。

空容器的運輸在航運業(yè)中是不可避免的，并且已經(jīng)進(jìn)行了多次嘗試來制造可折疊的運輸容器。展開和折疊容器時必須具有簡單性和耐用性，并且應(yīng)使用輕質(zhì)材料來降低皮重。盡管折紙驅(qū)動通常用于工程折紙，但是在這種情況下，手動展開和折疊可能更為合適，以降低成本并保持設(shè)計的堅固性。考慮到該解決方案對各種尺寸比例的魯棒性，與剛性和扁平折疊購物袋中使用的折痕樣式相似的折痕樣式可能會對該應(yīng)用有所幫助。迄今為止，已經(jīng)向市場推出了兩個主要的可折疊容器，但它們都沒有在商業(yè)上獲得成功，因為它們具有更高的皮重，并且比標(biāo)準(zhǔn)容器貴得多。

結(jié)論

折紙是一種藝術(shù)形式，目前正在發(fā)現(xiàn)許多工程應(yīng)用。這項調(diào)查描述了折紙在機械工程中的主要應(yīng)用。盡管將折紙數(shù)學(xué)直接應(yīng)用于工程的情況仍然很少見，但最近領(lǐng)域的擴展已導(dǎo)致可用于定義折疊和展開極限的算法，并為基礎(chǔ)概念提供了基礎(chǔ)，例如剛性折疊性。已經(jīng)在航空航天，生物醫(yī)學(xué)設(shè)備，包裝，存儲，制造，機器人技術(shù)，機制，自折疊設(shè)備，核心結(jié)構(gòu)和體系結(jié)構(gòu)等領(lǐng)域探索了應(yīng)用程序。

參考文獻(xiàn)

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[3]? Jianguo，C.; Xiaowei，D.; Jian，F(xiàn). J. S. m.;structures，Morphology analysis of a foldable kirigami structure based on Miura origami. 2014，23（9），094011.