淺析函數極限的算法

高媛

摘 要 函數極限是高等數學中的一個重要概念，也是研究微積分的一個重要工具。極限的思想和極限的方法貫穿整個高等數學學習的始終。函數極限是高等數學最最基礎的知識，函數連續、微分、積分都是在函數極限的基礎上，所以學好極限非常重要，文章由簡到難依次介紹了幾種常見的極限的解題方法，便于理解和求解極限問題。也為學好高等數學打下基礎。

關鍵詞 極限 直接代入 等價代換 兩個重要極限

中圖分類號：O174文獻標識碼：A

函數極限是高等數學最基本的概念之一，導數、微積分等概念都是在函數極限的基礎上完成的。學好函數極限對學好高等數學至關重要。函數極限難點在于函數極限的算法，極限的算法多種多樣，但是如果沒有找對算法就會直接出錯或越做越難，所以學會函數極限的算法非常重要。

下面我們從簡單到難總結了一些求函數極限的方法：

1直接代入法

直接代入法顧名思義就是直接代入函數求極限。根據初等函數的連續性我們可以知道只要是初等函數就是連續的（我們常見的函數大部分都是初等函數）。所以一般情況下求極限的問題能直接代入的我們都是直接代入。例如：

，

直接代入法是函數求極限的最簡單，最基礎的方法。幾乎所有的求函數的方法最后都需要用到直接代入法。掌握直接代入法能計算一些簡單的函數求極限和高中教學中的極限問題。

2 “型”除以最高次項法

直接代入法是一種簡單且容易掌握的方法，但是也會出現代入后不知道結果的，例如代入之后出現結果為，這時候我們沒有辦法做，現在我們把這種類型叫做“型”。

“型”一般是分式形式的，而且（或，），這個時候我們一般只需要分子分母同時除以分子和分母中最高次項就可以了。例如：

上述三個例子分別體現了“型”求函數極限中最高次項的三種情況：

（1）分子分母最高次項相同，函數極限為分子分母最高次項系數之比;

（2）分母的最高次項大，函數極限為0;

（3）分子的最高次項大，函數極限為。

綜合來說“型”是需要除以最高次項來計算函數的極限，是函數極限中一種較為針對性的方法，針對（或，）的類型。

3 “型”能約分，先約分再代入

“型”即直接代入之后會發現分子和分母都為0，這個時候按照直接代入法就沒有辦法繼續進行，所以我們要學習其他的求極限方法。首先我們可以先觀察看看能不能約分，如果可以約分的話我們可以先約去零因式后再代入進行計算。例如

先約分再代入的方法是函數求極限中一種較為簡單的方法，相對于直接代入稍難，需要學生有基礎的因式分解能力，應用較為普遍。

4等價代換

我們知道“型”有的可以約分但是也有一些不能約分，這個時候我們需要用一些其他的方法，例如等價無窮小的代換。由等價的定義我們可以知道一些常見的等價：當時有

等價無窮小的代換即在函數極限的計算中可以用等價無窮小量來替換（注意只針對乘法除法可以用，加減運算不能用）。例如：

（這個是第一個重要極限），

等價無窮小的代換可以將較為復雜的極限問題轉換為容易的函數極限問題，是求函數極限中的一個方便快捷的方法，但是它具有一定的局限性，必須是 “型”的，而且常見的等價無窮小要熟記。

本篇文章由簡到難依次介紹了直接代入、“型”、“型”、等價代換、兩個重要極限等求解極限的最基本方法，這些都是求極限最常見的方法，一般的極限問題都可以解決。但是我們知道求極限的方法多種多樣，我們也可能會遇到千奇百怪的極限問題，所以僅僅這些還不夠，其他復雜的方法大家可以自己查詢。

參考文獻

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[2]李廣全，林漪，胡桂容.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2017.

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