2-SPU/2-RPS并聯機構運動分析

張 偉，周毅鈞，傅 敏，陳業富

(安徽理工大學 機械工程學院，安徽 蕪湖 241000)

并聯機構由于承載能力強、精度高、剛性好等特點一直受到國內外學者廣泛而深入的研究，其中最典型的是擁有3個自由度Delta[1]機器人。在日常生活中未見Delta機器人，只是工業生產中有所應用，它代替工人的高強度的勞作，大大提高了生產效率。因此，對自由度較少的并聯機構的研究非常具有價值。最早四自由度并聯機構出現在1999年，由Company和Pierrot共同研制出[2]。從1900年《螺旋理論》問世[3]，到螺旋理論被用作并聯機構分析，再到戴建生、楊廷力[4-5]等把螺旋理論用于復雜機構，螺旋理論才得以在研究機構自由度方面突破發展。黃真[6]等提出運用螺旋理論來確定并聯機構自由度。文獻[7-8]基于螺旋理論與雅克比矩陣分析了一種新型的并聯機構2T2R。文獻[9]提出了一種三自由度機構3-CPR，并通過Adams軟件進行了仿真。研究少自由度并聯機構的空間姿態來確定該機構具有重要意義，機構位姿進行正解與逆解是分析機構空間運動的重要理論支柱，逆解求解有空間坐標變換法、D-H矩陣法，正解求解有數值法、解析法[10-11]等，文獻[12-13]在螺旋理論基礎上，基于矢量封閉法，通過并聯機構逆解與正解，確定了機構工作空間位姿。

研究基于螺旋理論求解2-SPU/2-RPS機構自由度，并通過機構學理論建立了其正逆解模型。利用仿真軟件Adams對其正解與逆解進行了仿真，得到了機構的運動特性曲線，對理論模型進行了驗證。

1 機構描述與坐標系的建立

整個機構都采用三副兩桿的結構，并聯機構簡圖如圖1所示。該并聯機構由下面的定平臺、四條支鏈和上面的動平臺所組成，定平臺是每條邊長都為D的正方形，第一條支鏈S11球副與定平臺B1邊相鉸接，鉸接點為B1邊中心，通過移動副P12與動平臺相連接，與動平臺相鉸接的是虎克鉸U13；第二條支鏈構型為S21P22U23,與第一條支鏈構型一樣，對稱布置在定平臺的B2邊；第三條支鏈與定平臺連接的是轉動副R31，鉸接點在定平臺B3邊的中心處，通過移動副P32與動平臺相連接，與動平臺相鉸接的是球副S33；第四條支鏈R41P42S43與第三條支鏈對稱布置在定平臺的B4邊。四條支鏈構型分別為S11P12U13、S21P22U23、R31P32S33、R41P42S4，動平臺是一個半徑為r的圓，其中2r=D。由圖1可知，坐標系B-xyz是通過右旋定律在固定平臺上建立的，坐標系B-xyz的原點在固定平臺的正中心，A-uvw坐標系建立在移動平臺上，并且動坐標系的原點與圓r的中心重合。

2 2-SPU/2-RPS并聯機構的自由度分析

通過螺旋理論來建立機構的螺旋系，運用正反螺旋互易積為零的理論求解反螺旋得到機構的運動自由度。在物理意義上，互易積為零的兩個旋量，一個表示對象的運動，另一個表示對象所承受的力。但這個力在物體上沒有做功，此時反螺旋就是作用在物體上的約束力螺旋。

并聯機構簡圖如圖1所示。由圖1可知，從機構的整體運動來看，分別有兩組一樣支鏈呈對稱布置，所以只要研究這兩組支鏈中的各一條支鏈的運動螺旋系。把第一組支鏈1單獨拿出來，建立螺旋分解如圖2所示。

圖1 并聯機構簡圖 圖2 RPS分支螺旋坐標簡圖

根據支鏈螺旋分解示意圖看出機構構型為RPS，在支鏈1轉動副處建立如圖2所示的坐標系，得到運動副軸線的螺旋表達式：

(1)

依據螺旋理論旋量對偶原理，旋量坐標具有6個分量，反螺旋坐標表示為：

sr=(LMN;OPQ)。

(2)

求出式(1)螺旋系的反螺旋，由正反螺旋的性質，依據正反螺旋的互易積為零：

sj°sr=0,(j=1,2,3,4,5),

(3)

圖3 SPU分支螺旋坐標

得出此螺旋系的反螺旋為：

sr=(1 0 0;0f-e)。

(4)

第二組支鏈機構構型為SPU，拿出一條支鏈進行單獨螺旋運動分析，分支支鏈如圖3所示。在支鏈3球副處建立如圖3所示的坐標系，建立運動副軸線的螺旋表達式：

(5)

建立螺旋線系后，根據正反螺旋線互易積為零的原理，可以得出式(5)螺旋線系沒有反螺旋，也就沒有對動平臺施加約束力的作用。

分析支鏈4，同樣也依據螺旋理論列出了6個線性無關的螺旋方程。由于支鏈1與支鏈2機構構型完全一致，所以得出并聯機構支鏈2的約束螺旋與支鏈1的約束螺旋相似。

兩個相同分支的反螺旋就有兩個類似的約束力，根據兩個相同約束螺旋可以得到動平臺受到了兩個約束作用力，也就限制了動平臺的兩個自由度，即動平臺在x方向上的移動以及圍繞動平臺法線z方向的相對旋轉。依據修正的G-K公式計算：

(6)

3 2-SPU/2-RPS并聯機構位置逆解

并聯機構的位置逆解是在已知末端位姿下，通過已知末端執行機構的輸出量求解驅動桿關節輸入變化量。如圖1所示，動平臺任一相對坐標都可以通過旋轉變換矩陣變換到以定坐標為基準的絕對坐標，動坐標旋轉變換時的歐拉角分別為α、β、γ=0，旋轉矩陣R為：

(7)

構建矢量封閉方程，在參考坐標系B-xyz中，點A的位置向量r=(xyz)可以表示為：

r=bi+qiwi+ai,(i=1,2,3,4),

(8)

式中,ai、bi為Ai和Bi的位置矢量;wi為支鏈i的單位矢量;qi為支鏈長度矢量;ai=Rai0,ai0為ai在坐標系A-uvw的度量。

對于RPS支鏈，在式(8)的兩端同時點乘ci得：

(r+ai)Tci=0,(i=3,4),

(9)

式中,ci為轉動副軸線的單位矢量，c3=c4=(1 0 0)

同理對于SPU支鏈，由于沒有約束螺旋，在式兩邊點乘ci可得：

(r-bi)Tci=0,(i=1,2),

(10)

式中,c1=Rc10,c2=Rc20,c10=c20=(0 1 0)。

根據并聯機構的螺旋約束，RPS支鏈在x方向的移動被約束，因此可以得到等式：

Ux=0,

(11)

將式(9)、式(10)、式(11)整理可得：

γ=0,x=0,y=tanβ,

(12)

對于給定參考點A的位置矢量r=(xyz)T,可以通過等式確定相應的姿態角以及相應的動平臺相對于定平臺的旋轉矩陣R，并可以通過式(13)求出各支鏈的關節變化量：

qi=|r-bi+ai|,(i=1,2,3,4)。

(13)

4 2-SPU/2-RPS并聯機構位置正解

并聯機構由于結構復雜，位置正解求解的難易程度一般要高于位置逆解，主要是求解出一組非線性相關的方程，通常在求解正解時有數值法與封閉法。2-SPU/2-RPS并聯機構的位置正解是在確定4條支鏈輸入的條件下，求解出末端位置和姿態；動平臺是通過加載在4條支鏈上的關節變量來改變自身的平動與轉動。

(14)

(15)

在投影變化公式的兩邊同時乘以dt，ΔLi驅動桿的變化量，得到位姿變化分量公式：

(16)

得到動平臺各個參數的分量：

x=x0,y=y0+Δy,z=z0+Δz,α=α0+Δα,β=β0+Δβ,γ=γ0，

(17)

以上就是通過對并聯機構正解的求解最終求得動平臺相對于驅動桿給定的輸入，對它映射(x,y,z,α,β,γ)的位姿狀態。

5 2-SPU/2-RPS并聯機構運動仿真

5.1 并聯機構逆解仿真

并聯機構的運動仿真是研究機構空間運動的重要方法，通過運動仿真可以得到機構末端及支鏈速度、加速度、位移曲線圖，為分析機構的運動特征提供了很好的理論仿真依據。并聯機構逆解仿真就是在已經給出的末端位姿狀態，仿真得到機構支鏈變化量的運動。

前面已經通過螺旋理論求出機構為4自由度，再通過正逆解確定機構的末端位姿及支鏈桿的變化量，在Solidworks中創建并聯機構的模型，簡化其對仿真影響的部位，然后導入Adams。在Adams中并聯機構動平臺和定平臺與支鏈連接的鉸接部位添加相應的運動副，在定平臺上添加固定副來固定定平臺與地面的連接，在4根支鏈上添加4個移動副，在動平臺中心處添加一般點驅動如圖4所示。

圖4 并聯機構三維模型

設置驅動函數：

Trax=0.3*sin(0.25*time)

Tray=-0.4*sin(0.45*time)

Traz=0.5*sin(0.45*time)，

(18)

測量4根支鏈桿的位移、速度、加速度變化，在后處理模塊中生成變化曲線如圖5、圖6、圖7所示。4根支鏈桿采用相同機構構型對稱布置的方式，支鏈1與支鏈2對稱，支鏈3與支鏈4對稱。從圖5、圖6、圖7中可以看出支鏈1與支鏈2在空間三維坐標系中起始坐標一樣，支鏈3與支鏈4起始坐標也相同，但是它們的變化曲線不一樣；在給定驅動函數之后可以很好地確定出每條支鏈的位移變化幅度，支鏈1與支鏈3速度、加速度變化一樣，支鏈2與支鏈4變化幅度一樣，在運動6 s左右，4條支鏈此時的加速度相等。

5.2 并聯機構正解仿真

由于理論求解并聯機構正解難度較大，公式推導比較繁瑣，利用Adams進行并聯機構正解運動仿真可以很好地求解機構正解。在支鏈1、支鏈2、支鏈3、支鏈4移動副處添加驅動函數：

支鏈1：L1=-5*sin(0.5*time)

支鏈2：L2=-5*sin(0.5*time)

支鏈3：L3=-5*sin(0.5*time)

支鏈4：L4=5*sin(0.5*time)。

(19)

在仿真控制中設置終止時間為10 s，步數500，開始仿真，打開后處理模塊，生成移動板在x、y、z3個方向的位移、速度、加速度曲線圖如圖8、圖9、圖10所示。從圖8、圖9、圖10可以看出，移動板位移、速度、加速度在x、y方向變化呈周期對稱，變化幅度較小，在z軸方向即移動板法線方向變化幅度較大。

圖5 4條支鏈位移 圖6 4條支鏈速度

圖7 4條支鏈加速度 圖8 動平臺位移

圖9 動平臺速度圖 圖10 動平臺加速度

6 結論

基于螺旋理論建立并聯機構2-SPU/2-RPS螺旋系方程，通過求解反螺旋得出自由度數，確定了機構運動特性。已知空間機構自由度與運動特性，求解并聯機構逆解，得出支鏈桿運動變化量；得到驅動輸入量求解出末端位姿狀態，實現并聯機構的位置正解。用Adams軟件模擬了該機構的正解和逆解，仿真結果與原理分析基本一致，驗證了其在運動學方面的可行性，得出2-SPU/2-RPS并聯機構在工廠自動化生產中可以穩定的使用。