“三個關鍵”攻破準確計數(shù)

盧 勇

兩個計數(shù)原理是同學們解決計數(shù)問題的最基本、最重要的方法．借助“分類”“分步”兩大武器，可以將復雜問題簡單化，綜合問題單一化，實際問題數(shù)學化．在求解過程中，同學們要合理運用轉化化歸、分類討論、特殊與一般、正難則反等數(shù)學思想方法，要能正確計數(shù)，需抓住“三個關鍵”．

關鍵一 對照原理，準確理解題意

運用兩個原理計數(shù)，首先要理解兩個原理中“完成一件事”的含義．具體來說，就是要弄清四個“什么”，即元素是什么？位置是什么？放置的規(guī)則是什么？放置的方式是什么？這是解決具體問題的第一個關鍵．

例1（1）五名學生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，報名方法的種數(shù)為多少？

（2）五名學生爭奪四項比賽的冠軍，獲得冠軍的可能性有多少種？

（3）書架第一層放有5 本不同的計算機書，第二層放有2 本不同的文藝書，第三層放有4 本不同的體育書．從書架中任取1 本書，有多少種取法？

（4）若從1,2,3,4,5 這5 個整數(shù)中同時取2 個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，有多少種不同取法？

思路剖析

表1

關鍵二 應用原理，合理規(guī)劃路徑

運用兩個原理計數(shù)，必須區(qū)分“分類”還是“分步”．也就是要研究“怎樣完成事情”，確定“分類”“分步”的標準，從而設計合理的計數(shù)路徑．當限制條件較多時，需對各個限制條件仔細梳理，通常都是優(yōu)先考慮特殊元素或者特殊位置，從而逐步減少限制條件，直至所有的特殊元素、特殊位置都普通化．在求解過程中，一般都是先分類后分步，同時要防止重復和遺漏，因此要做到分類標準“不重不漏”，分步過程“完整有序”．

例2如圖，用4 種不同的顏色對圖中5 個區(qū)域涂色，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色種數(shù)有________．

1 4 5 2 3

思路剖析

要對圖中5 個區(qū)域涂色，自然考慮分5 個步驟，每一步給一個區(qū)域涂色，但是相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，不相鄰的區(qū)域可以涂相同的顏色，而不相鄰的區(qū)域涂色是否相同對后繼步驟的方法數(shù)是有影響的．

因此需對不相鄰區(qū)域是否同色分類討論，或者通過設計涂色順序，避免分類討論，簡化計數(shù)．

表2

例32020年春節(jié)放假7 天，某單位安排7 名員工值班，每人值班一天，每天安排1 人。若甲不安排第一天，乙不安排第二天，且甲、丙在相鄰的兩天值班，則不同的安排方案有多少種？

思路剖析

本題要“完成的事情”是將7 個元素(7 名員工)放入7 個位置(7 天)，其中特殊元素是甲、乙、丙，特殊位置是第一天、第二天，限制條件有三個：甲不安排第一天，乙不安排第二天，甲、丙在相鄰的兩天值班．

表3

關鍵三 回歸原理，靈活轉化問題

有些創(chuàng)新性問題，看起來很難，其實只要主動將問題與兩個計數(shù)原理相聯(lián)系，就能順利轉化求解．

例4(2012年湖北卷)回文數(shù)是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)．如22，121，3443，94249 等．顯然2 位回文數(shù)有9 個：11，22，33，…，99．而3 位回文數(shù)有90 個：101，111，121，…，191，202，…，999．則：

（1）4 位回文數(shù)有______個；

思路剖析

回文數(shù)雖然是新概念，但從定義中發(fā)現(xiàn)回文數(shù)的左右位置上的數(shù)字相同，所以只需考慮中間數(shù)位之前的各數(shù)位上的數(shù)字有多少種不同的取法．4 位回文數(shù)的個數(shù)取決于前兩個數(shù)位上的數(shù)字個數(shù)，首位有9 個數(shù)字可以選用，第二位10 個數(shù)字可以選用，所以共組成9×10=90個數(shù)；位回文數(shù)的首位有9 個數(shù)字可以選用，從第二位到第n+1 位，每個數(shù)位上均有10 個數(shù)字可以選用，所以共有9 10×n個數(shù)．我們只要抓住問題的本質(zhì)，把握解決這類題的方法，就能實現(xiàn)熟能生巧．

（“小試牛刀”見第48 頁）