一種基于任務分區的軌道轉移飛行器軌跡重規劃方法

馬昊磊 陳 攀 徐 帆 李學鋒

1.北京航天自動控制研究所，北京 100854 2.宇航智能控制技術國家級重點實驗室，北京 100854 3.西昌衛星發射中心，西昌 615000

0 引言

軌道轉移飛行器又稱為上面級火箭，是一種由運載火箭基礎級發射送入近地軌道后，通過多次變軌將有效載荷送入預定工作軌道的獨立飛行器。我國自主研發的“遠征”系列軌道轉移飛行器已完成包括北斗導航系統組網在內的多次飛行任務[1]。面對未來航天任務多元化的發展趨勢，軌道轉移飛行器必須具備對故障的自主處理能力。當任務過程中出現飛行偏差時，軌道轉移飛行器通過軌跡重規劃設計，實時評估剩余入軌與控制能力，動態處理飛行過程約束，實現在線重規劃問題求解，從而最大限度地提高飛行任務的可靠性。

通常情況下，軌道轉移飛行器的發動機推力大小不可調節，重規劃問題主要對發動機工作時間與推力方向進行優化求解。近年來，軌跡重規劃問題多選用較為復雜的三維運動模型，優化算法需要考慮多路徑約束與多終端約束[2]，并設法解決實時性問題。現代計算機技術的發展，使得基于數值方法的軌跡規劃問題快速求解[3]成為可能。采用凸規劃的方法可以有效降低求解問題的復雜度，能夠在保證精度[4]的前提下實現快速規劃[5-6]。本文設計了一種任務分區方案，重構了優化問題的約束條件與性能指標，采用序列凸規劃[7]完成了不同情況下的優化問題求解，重新規劃出滿足條件的飛行軌跡。如果飛行故障或偏差較大導致無法進入目標軌道，則通過任務降級進入次優軌道。

1 問題描述與軌道參數

軌道轉移飛行器的軌跡重規劃問題可以轉換為非線性系統的最優控制問題，包括性能指標、狀態方程、約束條件(等式約束與不等式約束)三部分。最優控制問題要求在滿足狀態方程和約束條件下，使得性能指標達到極小值，標準形式可以寫為

(1)

其中，E[x(t),u(t),t]為等式約束條件，I[x(t),u(t),t]為不等式約束條件。

在地心慣性坐標系OE-XEYEZE中描述飛行器的質心運動方程，原點OE位于地球質心，OEXE在地球赤道平面內指向春分點，OEXEYE平面為赤道平面，OEZE為地球自轉軸，指向北極。軌道轉移飛行器高空飛行時可以忽略空氣動力的影響，根據牛頓第二定律，在地心慣性坐標系中建立飛行器的運動狀態方程

(2)

優化過程中的約束條件主要包括端點約束、控制約束以及過程約束。初始端點約束為

x(t0)=x0∈R7

(3)

其中，x0=[r0T,v0T,m0]T為飛行器軌跡重規劃的初始狀態。在飛行結束時需要到達某一個給定的目標狀態，終端的目標軌道約束為

r(tf)=rf∈R3,v(tf)=vf∈R3

(4)

其中，rf和vf分別是目標軌道的位移矢量與速度矢量。飛行器在中心引力場軌道上無動力運行時，存在保持不變的特征軌道參數，可以由此描述目標軌道的約束條件。綜合二體運動方程與矢量微分法則，可得飛行器在目標軌道上無動力運行時的動量矩[8]，即優化問題的終端動量矩約束

(5)

其中，i表示目標軌道的軌道傾角，Ω表示目標軌道的升交點赤經。

將二體運動方程與動量矩H進行叉乘運算可得

(6)

根據矢量三重叉乘法則可得

r×H=r×(r×v)=(r·v)r-
(r·r)v=rvr-r2v

(7)

將式(7)代入式(6)可得

(8)

對式(8)求積分可得

(9)

式中c為積分常矢量，由此可得飛行器在目標軌道上運行時的軌道常矢量

(10)

在圓軌道上運行時，目標軌道常矢量為0。

飛行器在目標軌道無動力運行時的能量可以表示為

(11)

其中，a表示目標軌道的半長軸(圓軌道為目標軌道半徑)。當在圓軌道上運行時，其能量方程滿足

r(tf)[v(tf)]2=μ

(12)

2 軌跡重規劃設計

2.1 任務分區

當飛行過程中出現異常狀況時，需要根據當前時刻的飛行狀態對軌跡進行預判，通過任務決策規劃確定下一步的行動目標。采用任務分區的方法，考慮飛行過程中軌道傾角偏差、遠地點高度偏差等因素，根據偏差范圍對任務決策進行分類。以判斷軌道傾角與遠地點高度偏差為例，在出現飛行偏差時的任務決策分區如圖1所示。

圖1 飛行異常狀況下的任務分區

當軌道傾角與遠地點高度偏差較小時，飛行器通過自適應調整或重新規劃軌跡可以將載荷送入目標軌道。當超出臨界范圍，飛行器無法直接通過軌跡重規劃將載荷送入目標軌道，此時需要分析飛行任務的可達邊界范圍，采用任務降級方案規劃出次優軌道(救援軌道)。任務決策分類見表1。

表1 飛行異常狀況下的任務決策分類

任務分區需要綜合利用飛行器信息確定偏差范圍，根據飛行狀態確定任務決策，生成相應的制導和控制諸元。飛行器可以采取自適應調整入軌、軌跡重規劃入軌、任務降級重規劃等不同的任務策略。

當存在小范圍飛行偏差時(I區)，飛行器不需要重規劃設計，采用原有的制導和控制指令就可以將載荷送入目標軌道。

當超出總體給定的偏差，但超出偏差范圍不大時(II區)，采用軌跡重規劃設計，綜合考慮飛行器的實時狀態與任務約束條件，通過快速規劃算法得到滿足終端任務要求的轉移軌道，將載荷送入目標軌道。重規劃過程中先得到優化問題的收斂解，進而通過改進優化算法獲得更高精度的優化解。

當飛行超出的偏差范圍過大時，載荷不能進入目標軌道。在尚未造成致命性故障時(III區)，飛行器采用任務降級重規劃策略將載荷送入次優軌道。降級軌道任務設計需要考慮飛行任務的特點和需求，分析飛行器在給定初始狀態和能量約束條件下能夠到達的空間集合。任務降級策略可以根據任務需求、后續調整難度、可實現性等因素，在可達范圍內選擇合適的性能指標與終端約束條件。任務降級軌道的選取應盡可能保證靠近原目標軌道，在軌跡規劃設計中執行這一策略，令終端狀態與目標點狀態以等比例形式靠近。目標圓軌道選取最大半徑作為性能指標可以在一定程度上保證與原目標軌道盡可能小的轉移范圍，以便于航天器后續的軌道機動調整。

2.2 優化問題求解

最優控制問題以有限推力作用下的質心運動模型作為狀態方程，求解最優的發動機工作時間與推力矢量方向，在滿足運動狀態方程與約束條件下求解最優性能指標。航天器入軌任務中，由于圓軌道相位調整較為方便，目前絕大部分載荷的入軌目標軌道都是采用圓軌道[9]。以圓軌道作為目標軌道完成軌跡重規劃問題描述。圓軌道上的位移矢量與速度矢量相互垂直，因此有

rT(tf)v(tf)=0

(13)

在線軌跡重規劃任務II區的終端約束為滿足任務需求的圓軌道，即

r(tf)=rset

(14)

其中rset為設定的滿足任務需求的軌道半徑大小。

采用序列凸規劃完成優化問題實時在線求解，其核心思想是將原始問題轉化為具有線性性能指標、等式約束、不等式約束及控制邊界約束松弛的標準凸規劃問題，通過不斷迭代更新求解近似后的凸規劃問題，以此逼近原問題的局部最優解[10]。基于序列凸規劃的軌跡快速優化方法，可以將多約束下的軌跡優化問題轉化為一系列有限時間內的凸規劃問題，利用凸規劃工具[11]進行快速尋優，得到最優飛行軌跡，保證在高精度的前提下，快速實施軌跡優化。凸規劃求解需要處理模型中的非凸因素。

由于發動機推力為非凸約束，無法采用凸規劃方法求解。另外，動力學方程中存在不易于凸規劃求解的狀態方程，因此也要進行一定的處理，將其轉化為易于求解的形式。飛行器的推力加速度為

(15)

推力加速度的幅值為

(16)

采用變量代換設計，令

z(t)=ln[m(t)]

(17)

選擇飛行器的位移、速度、質量變換量作為狀態變量x=[rx,ry,rz,vx,vy,vz,z]T，推力加速度的分量與幅值作為控制變量u=[aTx,aTy,aTz,w]T，運動狀態方程(2)可以轉換為

(18)

在軌跡重規劃問題中，通常發動機的推力大小不可調節。推力加速度的幅值約束可以表示為

(19)

對Tconste-z(t)關于z0(t)進行Taylor展開并保留線性項可得

0≤w(t)≤Tconste-z(t)[1-z(t)+z0(t)]

(20)

式(20)滿足二階錐約束，可以使用凸規劃方法快速求解。由于飛行器的終端質量具有下限mlow，因此有

z(tf)≥ln(mlow)

(21)

為了提高序列凸規劃求解的迭代速度與收斂性，在控制變量約束中引入迭代過程變量VI。結合罰函數法的優化思想，在性能指標函數中加入迭代過程變量的懲罰系數，從而保證迭代求解結束時的過程變量為0。在軌跡自主規劃設計中執行這一策略，在飛行異常狀態處于任務II區時，選取燃料消耗最少(即終端狀態質量最大)作為重規劃入軌的性能指標函數。根據最優控制理論對這一問題進行求解，構造最優控制問題。

(22)

其中狀態方程可由式(18)確定，等式約束由中心引力場特征軌道參數及目標圓軌道幾何特性確定。

在飛行異常狀態處于任務III區時，構造任務降級軌道，選取終端狀態軌道半徑最大作為重規劃入軌的性能指標函數。即移除式(22)中的目標軌道半徑rset約束，并將式(22)中的性能指標函數調整為

minJ=-r(tf)+ηVI(tf)

(23)

根據上述最優控制問題描述，對性能指標、狀態方程與約束條件進行離散化、歸一化處理，選用初始狀態量作為序列凸規劃的迭代初值，采用原始-對偶內點法[12]完成軌跡重規劃問題求解。

3 仿真分析

以軌道轉移飛行器入軌任務為例，當飛行過程中出現異常偏差時，采用軌跡重規劃方案確定任務目標軌道的約束條件，并采取相應的執行策略。當飛行偏差較小，處于任務I區時，軌道轉移飛行器可以通過自適應調整實現入軌，調整后的飛行控制諸元保持不變，此時無需重新規劃飛行軌跡。因此主要考慮飛行偏差處于II區和III區情況下的重規劃方案。

3.1 仿真案例1

軌道轉移飛行器的發動機參數為：總質量10600kg，燃料質量5600kg，真空推力13000N。

選取軌道轉移飛行器第1次點火作為問題的初始狀態點。當t=0s時，飛行器由于故障導致推力出現偏差，無法按照原定計劃完成任務。假設推力偏差情況下發動機仍能正常關機與二次點火，且發動機比沖保持不變，剩余燃料能夠充分燃燒。依據飛行器的入軌能力評估，重新規劃任務軌跡(任務II區)，結合當前的剩余燃料和目標軌道根數要求，考慮飛行約束情況，通過軌跡重規劃實現飛行任務，如圖2所示。

圖2 軌跡重規劃入軌-任務II區

軌道轉移飛行器的重規劃轉移軌道與原任務轉移軌道半長軸、推力加速度、飛行速度對比如圖3～5所示，其中虛線為原轉移軌道的變化情況，實線為重規劃轉移軌道的變化情況。

圖3 任務II區重規劃-半長軸對比

圖4 任務II區重規劃-推力加速度對比

圖5 任務II區重規劃-飛行速度對比

仿真案例1采用軌跡重規劃設計，軌道轉移飛行器能夠在到達原定的任務目標軌道，終端軌道參數為：半長軸44971.0km，偏心率0，軌道傾角10.6°，升交點赤經21.2°。

3.2 仿真案例2

選取與仿真案例1相同的飛行器參數。當二次點火飛行偏差較大時，飛行器無法到達目標軌道。若第2次點火時，飛行器的遠地點高度偏差為500km，軌道傾角偏差為1°，考慮飛行約束情況，采取任務降級入軌模式(任務III區)。通過軌跡重規劃實現降級入軌，如圖6所示。

圖6 軌跡重規劃任務降級-任務III區

軌道轉移飛行器的降級規劃轉移軌道與原任務轉移軌道半長軸、軌道傾角、推力加速度、飛行速度對比如圖7～10所示，其中虛線為原轉移軌道的變化情況，實線為重規劃轉移軌道的變化情況。

圖7 任務III區重規劃-半長軸對比

圖8 任務III區重規劃-軌道傾角對比

圖9 任務III區重規劃-推力加速度對比

圖10 任務III區重規劃-飛行速度對比

仿真案例2對原定目標軌道進行了任務降級，并重新規劃了入軌飛行軌跡。軌道轉移飛行器能夠到達與原目標軌道共面的次優軌道，終端軌道參數為：半長軸44563.4km，偏心率0，軌道傾角10.6°，升交點赤經21.2°。

4 結論

針對軌道轉移飛行器的異常偏差問題，提出了一種基于任務分區的軌跡重規劃方法。將軌跡重規劃問題轉化為最優控制問題。根據軌道傾角與遠地點高度偏差，確定不同情況下的任務策略與目標軌道參數，構造相應的性能指標與約束條件。采用序列凸規劃實現入軌軌跡的快速重構，實現了不同偏差狀況時的軌跡重規劃設計。以航天發射中常用的圓形目標軌道任務為例，當偏差較小時，采用自適應調整或軌跡重規劃設計可以保證飛行器順利進入原目標軌道；當偏差較大時，采用任務降級重規劃設計，盡可能保證飛行器進入與原目標軌道共面的次優軌道。仿真結果表明本文提出的方法能夠適應不同的飛行異常狀況，快速規劃出滿足任務要求的入軌軌跡，實現可達任務剖面的最大化。