模型化方法及物理圖像在推導平面簡諧波波函數中的作用

譚興毅 賀葉露

[摘 要] 該文利用物理學中特有的模型化方法和物理圖像定性地給出了介質質元的振動頻率、振幅等于波源頻率、振幅，同時也說明了波源相位與介質質元相位間的關系，在此基礎上，利用時間落后法推導了平面簡諧波的波函數。

[關鍵詞] 模型化方法;物理圖像;平面簡諧波;波函數

[作者簡介] 譚興毅（1982—），男，博士，重慶三峽學院物理系副教授，主要從事物理教育與研究。

[中圖分類號] G451.2? ? [文獻標識碼] A? ? [文章編號] 1674-9324（2020）23-0261-02? ? [收稿日期] 2020-01-06

一、引言

波動是自然界最常見的一種運動，眼見的波動如可見光、水波，而耳聽的波動就是聲波，這是我們認知自然界最基本的兩種手段。所以，了解學習波動極其重要。大學物理中波動的學習是以平面簡諧波知識作為載體，而描述平面簡諧波的波動特征是平面簡諧波的波函數，顯然具有極其重要的地位[1-6]。實際上，平面簡諧波波函數不僅描述了平面波的各種特征，如振幅、圓頻率、波速和相位，還是后續知識如能量、能量密度、能流甚至波的干涉和衍射的基礎，所以能否理解、掌握平面簡諧波的物理意義，對后續的學習至關重要。現行的大學物理教材對平面簡諧波的波函數的推導主要有時間落后法、相位落后法、動力學法[7-10 ]。然而，現行教材中的時間落后法、相位落后法大都是直接認為波的頻率、振幅應該等于波源的頻率、振幅，并沒有相應地論述，致使學生在學習過程中很難理解;而動力學法雖然能給出二者間振幅和頻率的關系，但是對數學基礎要求較高，學生在學習大學物理時，并沒有學習數學物理方法，所以很難給出正確的解。本文利用物理學中特有的模型化方法和物理圖像定性地給出了介質質元的振動頻率、振幅等于波源頻率、振幅，同時也說明了波源相位與介質質元相位間的關系，然后利用時間落后法推導了平面簡諧波的波函數。

二、物理圖像與彈性介質模型

生活中，人們一提到“波”的概念，你可能馬上就想到一顆石子掉入水中激發的粼粼微波，或者會想到繩子抖動蛇狀向前的圖像，又或者是馬上會聯想到聽到的美妙音樂——聲波。無論是看到的水波、繩波，還是聽到的聲波，其實我們都在頭腦中構造了一幅圖像，從物理學的角度看，這就是物理圖像。

那么波的物理圖像是什么樣的呢？我們為了比較準確地給出波的物理圖像，還得借助一個理想化模型——彈性介質。所謂理想化模型方法，其實就是哲學里面的抓住主要矛盾，忽略次要矛盾。此處，我們以彈性細繩給出彈性介質模型。首先，我們把彈性細繩看作是很多微小的質量微元（質元，圖中黑色小球）組成，如圖1所示（以橫波為例），相鄰質元之間的作用力為彈性力，即可以認為中間用不計質量的輕彈簧（圖中箭頭短線）連接，T為簡諧振動周期。當第一個質元（可看作波源）向上運動時，第一個質元和第二個質元之間出現相對位移，中間不計質量的輕彈簧發生形變，第二個質元受到第一個質元對它的彈性力作用，在該彈性力的作用下，第二個質元也向上運動，就這樣，第二個質元帶動第三個質元，第三個質元帶動第四個質元……就和多米諾骨牌一樣，振動就從波源傳播出去，形成了波。我們對該圖像用物理語言稍加整理：（1）機械簡諧波，即波源的簡諧振動在彈性介質中的傳播。顯然，機械簡諧波的兩個條件：波源做簡諧振動和彈性介質，二者缺一不可。（2）彈性介質中的每個質元只將波源的振動沿著波的傳播方向進行傳播，形成波動圖像，所有質元只在自身平衡位置做簡諧振動，并不隨波發生整體位移。這樣看來，波動其實是波傳播方向上，介質質元的集體振動。由于每個質元都是由前一個質元帶動的，也即所有質元的運動原因都在于波源的振動，而波源是一個簡諧振動，所以每一個質元都在上一個質元的周期性的驅動力運動，故介質質元的集體振動時一種受迫振動。根據受迫振動運動規律，在穩態情形下，受迫振動的頻率等于周期性驅動力的頻率，所以波的頻率和波源的頻率相同;若波源和介質是同種物質，且不考慮能量損失情形下，則有介質質元的振幅等于波源簡諧振動的振幅。實際上，波源和介質一般不是同一種物質，這種情況下，我們可以把和波源接觸的第一個介質質元當作波源即可。（3）既然介質質元在波的傳播過程中做頻率相同，振幅相同的集體的受迫振動，那么它們之間的區別在于什么地方？由圖1看出，不同質元開始運動的時間不同，波源最先振動，然后沿著波的傳播方向，各質元依次振動。假定波在介質中傳播速度為u，某一質元距離波源為x，那么該質元振動落后波源振動的時間Δt=。

三、平面簡諧波波函數的推導

有前面的波的物理圖像做鋪墊，顯然利用時間落后法推導平面簡諧波的波函數比較簡單。設一平面簡諧波沿x軸正方向傳播，如圖2所示，波的傳播速度為u，波源（坐標原點O點處質元）的振動方程為：

y=Acos（ωt+φ）（1）

其中y為波源偏離平衡位置的位移，A為簡諧振動的振幅，ω是簡諧振動的頻率，t是時間變量，是波源的初相位。設P點的坐標為x，如前所述，波源處（O點）的振動狀態傳播到P點所需要的時間為

因波沿x軸正向傳播，因此P點的振動就落后于O點，即P點在t時刻的振動狀態是O點處于t-Δt=t-時刻的振動狀態，于是P點的振動方程可以寫成：

由于P點任意給定，即P點為x軸上的任意一點，則方程（3）就是平面簡諧波的波函數。

四、結論

本文利用彈性介質理想模型和波動的物理圖像，將波動看作是介質質元集體的受迫振動，故可定性地給出介質質元的振動頻率、振幅等于波源頻率、振幅，同時也說明波源相位與介質質元相位間的關系，在此基礎上，利用時間落后法推導了平面簡諧波的波函數。

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On the Effect of Modeling and Physical Image in Deducing the Plane Simple Harmonic Wave Function

TAN Xing-yi，HE Ye-lu

（Department of Physics，Three Gorges University，Chongqing 404100，China）

Abstract：This article qualitatively gives the vibration frequency and amplitude of the medium mass element equal to the wave source frequency and amplitude using the unique modeling method and physical image in physics，and also explains the relationship between the wave source phase and the medium mass element phase.On this basis，the time-lag method is used to derive the wave function of the plane simple harmonic.

Key words：modeling method;physical image;plane simple harmonic;wave function