結合數學建模實例的高等數學教學研究

陳博

[摘 要] 該文研究用數學建模思想使高等數學教學回歸實際問題的教學方法，闡述這種方法的意義，并探討其實現手段。

[關鍵詞] 數學建模;高等數學;教學研究;實例

[基金項目] 該文章由中國民航大學科研啟動基金（2017QD04S）資助

[作者簡介] 陳 博（1990—），男，數學博士，中國民航大學理學院講師，主要從事偏微分方程反問題的數值解法研究。

[中圖分類號] G642.0? ? [文獻標識碼] A? ? [文章編號] 1674-9324（2020）23-0287-02? ? [收稿日期] 2019-11-13

一、數學建模思想在高等數學教學中的意義和運用

數學是從現實問題中抽象出的一門學科，其抽象的特點在于：只保留了現實世界中的數量關系和空間形式，舍棄其他一切，并且隨著數學理論體系的建立和發展，其抽象性也一級一級逐步提高[1]。到了高等數學的部分，其內容的抽象程度已經達到了相當的高度，而高度的抽象性也成為了學生認知的一大障礙。在同濟大學數學系編著的《高等數學》教材[2]中，也盡量從容易認知的幾何圖形或者高中物理的知識引入，但和實際生活的聯系較弱，這就需要講授者運用更直觀的例子去引發學生的認知和興趣。

事實上，數學和現實生活中眾多問題密切相關，很多看似平常的生活細節，經過抽象之后都可以得到一個數學問題，這種抽象的過程就是數學建模。通過數學建模的思想，把實際問題和高等數學教學有機結合，不但能激發學生的學習興趣，也可以啟發學生用數學思維去看待世界，正如李大潛所提到的：“應該結合教學過程，使學生了解到他們現在所學的那些看來枯燥無味但又似乎是天經地義的概念、定理和公式，并不是無本之木、無源之水，并不是從天上掉下來的，也不是人們頭腦中所固有的，而是有其現實的來源與背景，有其物理原型或表現的。”[3]

在具體的教學過程中，應當從多個方面結合數學建模思想。首先，是數學概念的講解。高等數學中的概念有完整的理論體系，在其體系內部關系緊密，但似乎和現實生活缺少聯系，抽象程度也高。在講解嚴格的數學定義之余，若能給出直觀的解釋或對應實例，將會對學生的理解產生幫助促進作用。其次，是定理、公式的論述。一個數學結論，不是生硬的知識點，而是有其數學智慧包含在其中，給出對應的實際問題也很有意義。最后，是應用分析。高等數學教材中也多次提到知識點的應用，但更多關注的是在相關學科中的應用，其抽象性依然很強，事實上，很多簡單的生活事實中也包含高等數學的知識，更具體的案例能更好地體現知識點的應用性。

綜上，將數學建模的思想應用在高等數學的教學中，有著非常積極的作用，對于實現課程目標、鍛煉學生思維能力都有益處。在高等數學各個方面內容的教學中，都可以適當加入數學建模的實例，我們將通過幾個具體的例子，闡述如何將數學建模實例與高等數學教學相結合。

二、數學建模思想在高等數學教學中的應用舉例

我們結合高等數學的教學，引用同濟大學數學系編著的《高等數學》教材[2]中的幾點教學內容，給出相關的生活實例，并做具體的論述。

（一）重要極限與利滾利

在第一章第六節中，教材給出了一個重要極限

這樣的一個極限，可以借助利滾利的借貸方式進行認知。考慮借貸1萬元，年利率為1，以利滾利的方式，分別按年利、季利、月利和日利進行計算，一年之后還貸金額分別為多少？

（二）零點定理與椅子放穩問題

在第一章第十節中，教材給出了零點定理：設函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，且f（a）·f（b）<0，則在開區間（a，b）內至少有一點ξ，使f（ξ）=0。關于這個定理的說明，我們引用姜啟源給出了一個很有趣的例子：椅子放穩問題[4]。在連續但不平的地面上，有一把四只椅腳足夠細并且一樣長的正方形椅子，問能否通過挪動椅子把椅子放穩？

這個問題看似和數學毫無關系，但在必要的模型假設下，我們卻可以用零點定理給出此問題的解答。以椅子水平放置時的中心點為圓心，過四只椅腳作圓，選取一個半徑作為參考半徑（θ=0），在圓周上角度為θ的一點對應地面高度定義為h（θ）。選定椅子的某個椅腳，以該椅腳所在點的角度θ為椅子放置的角度，考慮椅子放置時四個椅腳所處的高度不一定相同，椅子放穩的條件是：對互為對角的椅腳所在的地面高度進行求和，當兩組對角的高度和值相等時，椅子就放穩了。用數學公式描述，即

（三）指數函數的增速與棋盤上的麥子

在第三章第二節中，教材在分析了極限

之后提到，當x→+∞時，指數函數增大的“速度”比冪函數快的多。關于指數增長速度的直觀認知，可以借助“棋盤上的麥子”這一故事給予說明。

舍罕王獎勵發明國際象棋的達依爾，允許他提出一個要求。達依爾說，請在第1個棋盤格放1粒麥子，在第2個棋盤格放2粒麥子，在第3個棋盤格放4粒麥三、總結

數學建模實例的運用，能夠很好地激發學生的學習興趣，并引導學生去思考現實問題的數學含義。當然，數學的邏輯思維之美自有其動人之處，不用過分強調每個知識點的現實對應，但在學生發現數學之美的道路上，一些具體的建模案例可以作為點綴，使數學的美有更多的層次，由淺入深，引人入勝。

參考文獻

[1]張順燕.數學的源與流[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]同濟大學數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2014.

[3]李大潛.將數學建模思想融入數學類主干課程[J].中國大學教學，2006，（1）：9-11.

[4]姜啟源.數學模型[M].北京：高等教育出版社，1993.

Teaching Research of Advanced Mathematics Combined with Examples in Mathematical Modeling

CHEN Bo

（College of Science，Civil Aviation University of China，Tianjin 300300，China）

Abstract：This paper is concerned with the method of mathematical modeling with the purpose to combine Advanced Mathematics with practical examples.The importance of this teaching method is expounded，and the implementation of the method is analyzed.

Key words：mathematical modeling;Advanced Mathematics;teaching research;practical example