大學生空間思維能力培養模式研究

曾涵柔 賈震 葉韜

[摘 要] 圖示思維和空間表達能力是學生學習畫法幾何課程的重要瓶頸。為更好地突破學習屏障，該文例舉半球—圓錐相貫線特殊點的求解證明來探索有效培養空間思維能力的方法，論述了此教學方法對大學生空間思維能力的遞進式培養過程，并通過對學生畫法幾何課程的期末考核情況驗證此教學方法的可行性及有效性。

[關鍵詞] 相貫線;空間思維;極值點;輔助平面法

[作者簡介] 曾涵柔，沈陽航空航天大學航空制造工藝數字化國防重點學科實驗室;賈 震，博士，沈陽航空航天大學航空宇航學院講師（通信作者），主要從事航空宇航制造以及機械圖學類課程教學與研究。

[中圖分類號] G642.0? ? [文獻標識碼] A? ? [文章編號] 1674-9324（2020）23-0334-03? ? [收稿日期] 2019-11-19

一、問題背景

（一）畫法幾何學

畫法幾何是數學中集合的一個分支，專門研究論證如何利用平面二維圖形圖示空間三維立體以及圖解空間幾何問題，是一種極具典型的思維技術。詞典定義：“幾何學是通過一定的空間假設性質，以其定義條件來進行空間內點、線、角度、參數等性質的推理。”正因它內含的空間思維技術性、科學性和確定性，對培養和發展大學生空間推理、圖示思維以及空間幾何分析能力發揮至關重要的作用。正如奧地利學者FHohenberg（Graz）觀點：畫法幾何教會了人們該如何領會、如何想象、如何設計以及如何準確畫出幾何形體。法國著名數學家蒙日（Gaspard Monge，1746—1818年）在《畫法幾何學》緒言中闡述：“因為它適用于鍛煉一個偉大民族的聰明才智，從而能為全人類的進步作出貢獻。”由此可知，學習研究畫法幾何極有利于大學生有效構建空間邏輯、提升思維技術。

（二）問題的由來

求相貫線的問題歷來都是畫法幾何教學中的重難點，大多教材例舉了不少正交相貫兩回轉體圖解法求相貫線的題。然而對于相貫線極值點的位置卻言之不詳，有的教材雖指出了求取的具體步驟，但并未闡明其中緣由，也沒有給予證明，以致大多學生似懂非懂、疑惑頗多。本文使用輔助球面法及解析立體幾何精確證明相貫線、極值點的空間位置，方便學生快速牢固掌握相貫線的求解。證明過程能幫助學生熟悉二維平面與三維立體之間的轉換思維，發展良好空間思維能力。

（三）教學思路

首先，畫幾基礎知識的掌握尤為重要。課上，借助直觀3D軟件、實體教具等手段有意識地幫學生有效建立空間意識，讓學生真正理解相貫線、極值點的含義。明白相關概念后，綜合運用圖示法、圖解法求出極值點證明其存在。在此過程中學生親手繪制投影圖，找出極值點，激發了學生的探索能力并培養空間邏輯。但僅知道圖解極值點的方法步驟是不夠的，知其然，更要知其所以然。用立體解析幾何求解極值點得精確空間位置，一方面證明了圖解法所得極值點的正確性，消除學生疑慮。另一方面，立體圖形的解析證明對學生空間思維能力要求頗高，因此能有效提升學生的立體幾何分析能力，強化空間思維技術。總而言之，將相貫線極值點的求解過程明朗化將極有利于培養大學生的空間思維能力。

二、教學過程

（一）認識相貫線及特殊點，建立空間意識

相貫線是兩回轉體表面相交產生的交線。作為立體表面交線中最重要的知識點，相貫線及相關內容的掌握無疑能提升學生的空間建構能力、空間表達能力。目前常用求取相貫線的幾大方法包括：輔助球面法，輔助平面法及表面取點法。不論何種方法，特殊點位置的求取都至關重要。教科書《畫法幾何學》定義：特殊點是決定相貫線投影范圍及可見性的點，大多存在于外形輪廓線上。因此，研究特殊點不僅能使學生迅速掌握相關知識，從長遠來看，關鍵在于能有效培養和鍛煉學生的空間意識和思維，強化空間推理能力。

（二）證明相貫線極值點存在，激發空間邏輯

半球、圓錐如圖1正交相貫，綜合運用圖示法、圖解法求解極值點。過程中投影圖的繪制直接刺激學生實際感官，激發出學習興趣，充分發揮主觀能動性。幫助學生習慣于對空間形體的想象，并且逐漸熟練掌握該種思維方式，建立起二維平面與三維空間之間的對應關系。

圖解步驟如下：如圖2，此時相貫線上存在兩個極值點，關于平面XOZ對稱。用輔助球面法，以半球、圓錐兩回轉體軸線交點O為輔助球面球心，以R為（三）求解極值點空間位置，強化空間思維技術能力

為使學生深刻體會畫法幾何內含的準確性和科學性，同時提升學生空間幾何分析能力，運用解析法證明極值點所處空間位置，并求出精確坐標。由于兩極值點關于XOZ平面對稱，故取其中一個進行分析。

空間定位能力的強弱直接關聯到學生解析立體幾何的難易程度。因此，為方便學生腦中清晰呈現三維布局，首先要構建空間直角坐標系。如圖1，以兩回轉體軸線交點O為坐標原點，兩軸線所確定平面作為垂面XOZ。并對圖中各量作出假設，圓錐頂點A到原點O距離為h，頂角2α，半球球心距原點O長為a，其半徑為R三、結束語

相貫線極值點求取證明全過程，基于培養大學生空間思維能力著手，讓學生通過親自作圖求解及解析證明來探索發現并解決問題。讓學生作為知識意義的主動構建者，主動獲取知識，充分發揮學習者的主體作用。因此，結合具體例題的求解證明教授畫幾中的重難點知識，不僅能幫助學生快速牢固地掌握好相關知識，更是教師有效培養學生空間思維能力的強有力教學手段。該手段在教學中取得明顯效果。學生們對相貫線、特殊點等基礎知識，對空間點的定位能力，對平面與立體間的對應轉化以及對圖示圖解的運用都已基本掌握。例如，學生所參加的2018-2019級畫法幾何期末考試：第三題，主要考察點線面綜合問題，學生得分率為89%;第五題，考察學生組合立體的基礎問題，得分率為76%;第七題，要求學生對平面立體與曲面立體相交特性有較高的掌握，得分率為84%。由此看來，結合例題證明的教學方法的確是培養學生空間思維的有效途徑。

通過本文例舉半球—圓錐相貫線極值點求解證明的例子可知，空間思維能力的培養是一個從學習二維平面上點、線、面等直觀的顯性知識到研究三維空間內幾何元素定位、度量等問題的過程，是幫助學生從單一形象思維過渡到形象與抽象思維綜合運用的轉換過程。對大學生，空間思維能力的提高以及抽象思維方式的掌握是邏輯推理、想象力、實踐等重要能力的全面提升，是今后學習工作中不可或缺的典型思維技術。而剛邁入大學的新生大多以平面思維習慣為主，需要從無到有、由弱到強地培養學生的空間思維能力。

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Research on the Training Model of Spatial Thinking Ability of College Students：Taking the Proof of Solving the Extreme Point of Hemisphere-cone Intersection Line as an Example

ZENG Han-roua，JIA Zhenb，YE Taoc

（a.Key Laboratory of Fundamental Science for National Defense of Aeronautical Digital Manufacturing Process;b.School of Aeronautics and Astronautics;c.School of Mechanics Engineering，Shenyang Aerospace University，Shenyang，Liaoning 110136，China）

Abstract：The ability of graphic thinking and spatial expression is an important bottleneck for students to learn descriptive geometry.In order to break through the learning barrier better，this paper explores the effective ways to train spatial thinking ability by illustrating the proof of solving the special points of the hemisphere-cone intersection line，and expounds the progressive training process of this teaching method for college students' spatial thinking ability.The feasibility and validity of this kind of teaching method are proved by students' performance in the final examination of the Descriptive Geometry course.

Key words：intersection line;spatial thinking;extreme points;auxiliary plane method