從恩格斯的無限小量的概念看經(jīng)典微積分存在的問題

【摘 要】 目前在微積分領(lǐng)域有經(jīng)典微積分的潛無窮，還有美國著名數(shù)學(xué)家魯濱遜的實無窮理論。魯濱遜使用數(shù)理邏輯的方法證明了無限小數(shù)的存在。那么是潛無窮的觀點對，還是實無窮的觀點對？無窮的本質(zhì)到底是什么？對于這些問題，恩格斯的無限小量的概念都可以給出明確的回答，非常遺憾的是，長期以來，恩格斯的無限小量的概念完全沒有被注意到。因此有必要把恩格斯的無限小量的概念加以介紹。本文的目的就是根據(jù)個人的理解來介紹恩格斯的無限小量的概念，并且根據(jù)恩格斯的無限小量的概念來看一下經(jīng)典微積分存在的問題。

【關(guān)鍵詞】 恩格斯的無限小量概念;表明;經(jīng)典微積分;存在;問題

一、恩格斯的無限小量的概念

在我的論文“康托集合論存在的矛盾”和“超實集合論”中提出了超實變量和無限小量的概念。現(xiàn)在把超實變量和無限小量的定義引述如下：如果有實變量x，就有超實變量X=x+dx，與超實變量對應(yīng)的數(shù)為超實數(shù)，對應(yīng)的點為超實數(shù)點，對應(yīng)的函數(shù)為超實函數(shù)。對于超實變量X=x+dx，其中實變量x表示超實變量對應(yīng)的點到原點的距離，dx為無限小量，它表示超實變量X對應(yīng)的點的無限小長度。無限小量dx對應(yīng)的無限小數(shù)是實數(shù)之外的新數(shù)，它小于任何正實數(shù)，但是不等于0，并且遵守算術(shù)公理。這里要注意的是，無限小量dx和經(jīng)典微積分的微分dx有本質(zhì)的區(qū)別。

這里還有一點需要注意，即在上述定義中，超實變量、超實數(shù)、超實數(shù)點和超實函數(shù)是客觀實際存在的變量、數(shù)、點和函數(shù)，為了和現(xiàn)在人們稱呼的實變量、實數(shù)、實數(shù)點和實函數(shù)互相區(qū)別而稱呼為超實變量、超實數(shù)、超實數(shù)點和超實函數(shù)。

我們把恩格斯的無限小量的概念引述如下，恩格斯在他的“自然辯證法”一書中有如下一段札記：“同一和差異在微分學(xué)已經(jīng)存在的辯證關(guān)系，在那里dx是無限小量，然而是起作用的，并且是無所不能的。”

首先，恩格斯所說的微分學(xué)指的是萊布尼茨的微分學(xué)，所說的無限小量指的也是萊布尼茨微積分的無限小量，并且它是實無窮概念下的無限小量。而在經(jīng)典微積分里，極限理論被看作是微積分的理論基礎(chǔ)，只有極限理論才是無所不能的，而且經(jīng)典微積分的無窮小，只是潛無窮。由此可見，恩格斯關(guān)于無限小量的論述一方面是對萊布尼茨微積分的肯定，另一方面是對萊布尼茨微積分中的無限小量給出一個辯證法的解釋。

關(guān)于恩格斯上述的無限小量的概念為什么是對萊布尼茨微積分中的無限小量給出了一個辯證法的解釋，根據(jù)我個人的理解做如下說明，如果有不當(dāng)之處，請批評指正。

首先，對于任何一個具體事物，根據(jù)唯物辯證法都具有同一和差異的辯證統(tǒng)一的關(guān)系，而且這個辯證統(tǒng)一的關(guān)系與具體事物的質(zhì)和量的辯證統(tǒng)一的關(guān)系密切相關(guān)。例如水具有特定的性質(zhì)，但是它又為特定的量，即溫度所規(guī)定。當(dāng)溫度在0o～100°以內(nèi)，水的基本性質(zhì)保持不變，這就體現(xiàn)了水的同一性。在實際生活中，我們會體會到，5℃、40℃和90℃的水是不同的，這就是水的差異性。任何事物都是這種同一和差異的辯證統(tǒng)一，或者稱之為同一和差異的辯證法。

而在恩格斯關(guān)于無限小量的概念中，同一和差異的辯證法，當(dāng)然指的是量存在的同一和差異的辯證法。這又如何解釋呢？根據(jù)質(zhì)和量的辯證統(tǒng)一的關(guān)系，量也具有質(zhì)的方面。例如根據(jù)辯證法，陰和陽是辯證統(tǒng)一的關(guān)系，因此陰中有陽，陽中有陰;所以量也具有質(zhì)的方面，并且這個質(zhì)的方面也必然為與它所對應(yīng)的量所規(guī)定，顯然，規(guī)定量所具有的質(zhì)的方面的量就是超實變量X=x+dx中的無限小量dx。當(dāng)無限小量dx在一定的范圍內(nèi)變化時，超實變量X就存在，它的基本性質(zhì)也就保持不變，這就是超實變量的同一性。在等式X=x+dx中，當(dāng)X在一個特定的點上，無限小量dx是變量，實變量x是常量，因此X也是變量。也就是說，由于無限小量dx的變化，超實變量X在任何一個特定的點上也存在差異，這個差異就是兩個不同的無限小量的值的差，這個差仍然是一個無限小量。這也就是說，超實變量或者客觀實際存在的變量自身存在差異，而這個差異就是一個無限小量，這就是量的同一與差異的辯證法。這里恩格斯所強(qiáng)調(diào)的是客觀實際存在的變量既是同一的，也是自身存在差異的，而這個差異本身就是一個無限小量。也正如恩格斯所說：“同一和差異在微分學(xué)中已經(jīng)存在的辯證關(guān)系，dx是無限小量，然而是起作用的，并且是無所不能的。”

現(xiàn)在還有一點要說明，就是德國著名的唯心主義哲學(xué)家黑格爾在200多年前也給出了無限小的定義，這個定義是：無限小量就是量的質(zhì)的量的規(guī)定性，它的含義前面已經(jīng)作了簡短的敘述，關(guān)于黑格爾的無限小量定義，我將在另文中給出詳細(xì)的論述。這里要指出的是，黑格爾的無限小量的定義是從量和質(zhì)的辯證統(tǒng)一的關(guān)系中得到的，是和恩格斯的無限小量的概念一致的，并且是互相補(bǔ)充的。他們都是根據(jù)辯證法的原理，從對量的本質(zhì)的分析中得到無限小量的定義或者概念。這也就表明了，在黑格爾和恩格斯看來，微積分的真正基礎(chǔ)是無限小量的理論，我們將根據(jù)這個觀點來認(rèn)識經(jīng)典微積分存在的問題，并且根據(jù)這個觀點來認(rèn)識萊布尼茨的微積分理論，同時也要根據(jù)這個觀點來建立新的微積分理論。

二、根據(jù)恩格斯的無限小量的概念試評價萊布尼茨微積分

面對人們對萊布尼茨的無限小量的批評，萊布尼茨指出：“然而一個過度的狀態(tài)或者一個消失的狀態(tài)是可以設(shè)想的，其中實際上仍然沒有出現(xiàn)完全的相等或者靜止而是進(jìn)入這樣一種狀態(tài)，即差小于任何指定的量，在這種狀態(tài)中還剩余一些差、一些速度、一些角度，但是它們每個都是無限小。”

在上述的萊布尼茨關(guān)于無限小量的概念中指出了，變量自身存在的差異就是無限小量本身，這一觀點和恩格斯的無限小量的概念是一致的，萊布尼茨根據(jù)這個觀點給出了微積分的理論。萊布尼茨的無限小量的理論也是實無窮的理論。因此對于萊布尼茨的微積分應(yīng)該給以肯定，他創(chuàng)造了微積分的輝煌時代，他的微積分理論的方向是正確的。當(dāng)然，萊布尼茨微積分也有它的缺陷，萊布尼茨沒有指出為什么變量自身會存在差異，而這個差異就是無限小量。也就是說，對于無限小量的概念，萊布尼茨解決了是什么的問題，同時也解決了應(yīng)用的問題，但是沒有解決為什么的問題。再有，萊布尼茨的微積分仍然使用實數(shù)來表示變量，因為實數(shù)本身是不存在差異的，例如5-5=0。因此，人們認(rèn)為萊布尼茨微積分存在所謂的貝克來悖論而被否定了。

三、從恩格斯的無限小量的概念來看經(jīng)典微積分存在的問題

首先，經(jīng)典微積分僅僅根據(jù)貝克來悖論就完全的否定了萊布尼茨微積分是片面的和錯誤的，萊布尼茨微積分存在的缺點我們一定要丟掉，但是萊布尼茨關(guān)于變量自身存在差異，并且認(rèn)為這個差異就是無限小量，并且根據(jù)這個無限小量的概念給出了微積分的理論，它體現(xiàn)了微積分理論發(fā)展的正確方向，這一點必須給以肯定。

再有，根據(jù)超實變量的理論完全可以給出微積分的理論（對于這個工作，在我的論文超實函數(shù)理論與微積分新理論的創(chuàng)新中就已經(jīng)基本完成了），沒有必要使用極限的概念。而對于經(jīng)典微積分的潛無窮的概念，根據(jù)黑格爾的無限小量的定義和恩格斯的無限小量的概念，無限小量是客觀實際存在，是實實在在的實無窮;所以經(jīng)典微積分的潛無窮的概念是違背客觀事實的錯誤思想。因此，根據(jù)黑格爾的無限小量的定義和恩格斯的無限小量的概念，經(jīng)典微積分存在原則性的錯誤，至少是存在問題的。

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