循序漸進：運算教學思維展開的策略

王群　李嘯

摘要：蘇教版義務教育教科書數學三年級下冊“兩位數乘兩位數口算、估算”是小學數學運算教學的基礎課例，很多教師在執教本節課時發現，學生已經掌握了兩位數乘兩位數的口算方法，于是教師在教學時容易直接拋出計算方法便進入練習環節。此舉無法讓學生充分經歷算理的體驗過程，無法落實數學思維的培養。教師采用“漸進式”教學策略，通過層次性教學設計，引發、維持并促進學生思維的發展，從而較好地幫助學生理解算理、掌握算法，并學會靈活地運用新知。

關鍵詞：“漸進式”;運算教學;思維課堂

《義務教育數學課程標準（2011年版）》強調數學課程目標是培養學生的數學學科核心素養，讓學生具備數學基本特征的思維品質。由此可見，培養學生的數學思維是當前數學課堂教學的落腳點。由于數學思維的有序性及內隱性特征，教學活動須遵循數學思維的一般規律，由簡入繁，層層遞進地展開，體現出循序漸進的教學特點（以下簡稱“漸進式”）。本文以蘇教版《義務教育教科書·數學》三年級下冊“兩位數乘兩位數口算、估算”的教學為例，用“漸進式”教學策略說明在運算教學中如何發展學生的思維。

一、“漸進式”教學策略的基本內涵

“有序性”及“層次性”是思維活動的核心特征。以兒童思維為例，它具有獨特的年齡特征和認知規律，而數學學科又具備高度抽象性和邏輯性。因此，“漸進式”教學策略要求教師遵循兒童思維循序漸進的規律，精心設計、組織教學，旨在引導其經歷自主建構的學習過程，實現數學思維的優化和提升。

另一方面，“漸進式”也是一種學習方式。它是指學生作為學習主體，通過觀察操作、合作交流、歸納辨析等層次性活動來激活并提升思維的認知方式，有助于培養數學“四能”，形成積極樂觀的數學情感。

二、“漸進式”運算教學的實施途徑

（一）借助直觀模型，構筑運算的思維載體

一般來說，兒童思維具有直觀形象的特征，因此，數學教學要從他們的基本經驗出發，將舊知鋪墊與情境創設巧妙融合，借直觀模型，構筑運算思維的載體，在直觀思維的“生長點”處培育抽象思維。

【片段1】創設情境：熊大和熊二在森林里種了一些果樹。每行2棵，有10行，一共要種多少棵樹苗？

師設問：根據題中的已知條件和所求問題，你能列出怎樣的算式？（如圖1所示）

生回答：2×10=20（棵）

師追問：為什么用乘法？

生明確：表示2個十是多少，用乘法來計算。

師出示課件，將10棵樹苗圈成一圈。（如圖2所示）

師小結：求2個十是多少用乘法計算。

師：結合計數器來看，這一個珠子應該撥在哪一位上？（如圖3所示）創設情境：他們覺得蘋果真好吃，于是又種了一些，看！你還了解到什么？該怎么列式？（如圖4所示）

生：12×10。

師追問：為什么也用乘法？

生明確：求12個十是多少，也用乘法計算。

師揭題：今天我們的研究從12乘10開始，學習兩位數乘兩位數。

評析：理解算式意義是形成算理的根本前提。在學生掌握2×10的意義時，需從直觀形象出發逐步進行抽象概括。首先觀察情境圖，樹苗以10棵為單位呈現，學生初步形成10個“一”是一個整體的表象;接著借助計數器，這個整體被進一步抽象為1個“十”。課堂上通過對計數單位形成過程的重演，讓學生對計數單位的優化有直觀的感知，進而理解12×10表示12個十的內涵，為后續探索12×10的算理孕伏，促進抽象思維的孵化。

（二）創設探究空間，推進運算的思維優化

“漸進式”運算教學是以培養和優化學生思維為目的，這必然要求課堂有充分的“留白”供學生自由揮灑，這也要求教師能有條不紊地創設探究空間，使學生在自主操作中建構，讓思維在觀察辨析中優化，由淺入深地促進數學學科關鍵能力的提升。

【片段2】教師提出問題：12乘10等于多少？該怎么算？教師根據學生的算法，酌情板書：先算12乘1，再在末尾添0。

師啟發：為什么可以直接添0？

生明確：用一個圓點代替一棵樹，在點子圖上研究12乘10的計算道理，關注算法提醒。（如圖5所示）

學生獨立思考后交流，側重歸納如下計算思路。

生1 ：10×10=100，2×10=20，100+20=120（如圖6所示）。

教師結合點子圖引導：這一部分是幾個十？加上20是幾個十？

生2：把12分成6和6，6×10=60，60+60=120。

教師結合點子圖引導：幾個十是60，乘2還是幾個十？

生3：12乘10就表示12個十，是120。

板書：12×10? →12 個 十

對比分析：這些方法有什么共同的地方？

學生反饋小結：都轉化為12個十來計算。

比較優化：哪種方法能直接看出12個十？

生明確：1個十、1個十地圈，能將12乘10直接轉化為12個十來計算。

回顧研究過程：12乘10最終被轉化為12乘1個十，計數器的十位該撥幾個珠子？

生1：12個珠子，表示12個十。

生2：也就是120。

評析：“漸進式”運算教學的過程，是學生在自身需求發展中的自主建構過程。這就要求教師給予充分的空間，使學生在操作體驗中逐步完成思維的發展過程，在不露痕跡中理解算理，形成算法。在探索12×10的算理時，教師不應過早抽象出最優算法，而應讓學生先“退”回思維起點，用已有認知解決新問題，充分暴露學生的原生態思維。而后再組織學生在觀察、分析、比較、歸納、推理等教學活動中“進”到思維深處。在探究、優化過程中，學生體會到計數單位的結構化特征，實現抽象思維的銳化。

（三）促進認知沖突，理清運算的思維邏輯

根據皮亞杰心理發展理論，學生形成的認知結構具有一定的穩定性，但教師引入的情境若已超出學生的原認知系統，且學生間認知水平存在差異，這必然會導致一系列認知沖突的產生。因此，“漸進式”運算教學要求學生不斷與外界充分交互，吸納新圖式;而教師則需充分放大認知沖突，提供支架，幫助學生在“憤悱”間理清運算的思維邏輯，聚焦思維的裂變和升華。

【片段3】導入新情境：摘好的蘋果都裝在同樣大的筐里，足足有60 筐，熊大邀請了200多名小動物參加派對，如果每個小動物分一個蘋果夠不夠分？還需要知道什么？

生1：每筐蘋果的個數，然后乘以60。

生2：每筐蘋果的個數可能不一樣。

師追問：那該怎么辦？

生3：數一數每筐的個數，然后相加。

生4：那太麻煩了。其實，每筐里的蘋果數都差不多，有的比30多一點，有的比30少一點，我們可以把每筐蘋果的個數看作 30 個來估算。

教師組織學生獨立解答，并酌情板書：60×30=1800（個）。生明確：雖然估算的總個數與實際情況有差異，但能反映蘋果個數的大致情況。

評析：教學時，教師先出示不完整的問題情境，圍繞“夠不夠分”展開。由于學生的思維存在定勢，他們必然會想到用每筐個數乘60筐來求總數。之后，教師再引導學生聯系生活經驗推想：由于每筐蘋果的個數可能不一樣，所以要把結果逐一相加，但這樣很麻煩。于是，認知沖突自然產生。通過認知沖突和教師引導，學生對估算價值及策略有了更深層次的理解，也讓思維層次更加清晰明朗，提升了思維的邏輯性。

（四）設立練習層次，深化運算的思維實踐

根據加涅的信息加工學習理論，技能的學習是建立在認知基礎之上的累積過程。學生在接收外界信息時，需要伴隨感知各種刺激元，讓知識和技能的存儲由表及里地逐步滲透。因此，“漸進式”運算教學在設計練習環節時，也應當考慮將各種刺激元進行有層次的排列組合，從而幫助學生在充分理解算理的基礎上掌握算法，并學會靈活運用。而這一過程，恰是將內隱的思維通過外顯的實踐方式推進至縱深處。

【片段4】1.觀察對比，融“理”通“法”。

師：（出示幾組算式，讓學生說算理，師借機板書）

15×10? ? ?15乘1個十是150。

24×10? ? ?24乘1個十是240。

□□×10

生明確：在末尾直接添0來算，表示幾十幾個十。

13×20? ? ?13乘2個十是260。

14×20? ? ?14乘2個十是280。

□□×□0

提示：觀察這些算式，發現了什么？

明確算理：兩位數乘整十數都轉化為幾十幾個十來算。

掌握算法：把0前面的數先乘，有幾個0就在積的末尾添幾個0。

2.題組訓練，鞏固算法。

32×10? ?10×55? ?30×80

70×20? ?30×70? ?60×90

20×50? ?20×90? ?50×90

3.游戲感知，完善建構。

摘蘋果游戲：選出乘積末尾有兩個0的算式，男、女生各派一名代表上臺PK，最后同桌相互進行游戲。

4.生活應用。

創設情境：（出示一篇文章）如果每分鐘讀150個字，3分鐘能讀完嗎？

評析：此環節的練習設計充分體現了“漸進式”運算教學的層次藝術?？v觀整體設計，前兩道練習題主要鞏固算理，掌握運算技能;后兩題主要將口算和估算技能運用到實踐中，加強知識結構化。就每道練習題設計而言，也具備層次性特征。先借題組分析歸納，幫助學生建立清晰的靜態表象，再通過游戲活動將知識外化為技能，從而形成穩定的動態表象，最后進行綜合運用。這樣的設計，由“扶”到“放”，讓學生的思維在循序漸進的實踐中逐步走向深化。

三、“漸進式”思維課堂的形成與發展

綜上所述，“漸進式”運算教學不僅要引導運算思維的發生，還需維持思維發展并促其深化。而以“漸進”為特征的思維課堂，不僅需要教師層次分明的設計，更需要學生充分的思維投入。在“漸進式”課堂中，循序漸進不僅是教學推手，更是發展學生思維，培育其核心素養的關鍵策略。

更進一步地，“漸進式”思維課堂是以尊重生命規律為基，精心設計遞進式認知活動的數學課堂。經過循序漸進式教學的熏陶和浸潤，學生在潛移默化中掌握知識技能，學生的思維在無痕處延展漫溯。而“漸進式”的教學過程不僅僅是引領建模的過程，也是利用模型深入探究的過程，更是緊扣原始經驗自我建構的過程。在這個過程中，教師充當組織者和引導者，學生成為課堂的主人，學生的思維引領課堂教學的流程與節奏。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]徐斌.數學無痕教育的實踐特征[J].江蘇教育研究，2019（5）.

（責任編輯：韓曉潔）