線上教學提高學生自主學習能力的教學手段優化

郭淑妹 郭 杰 李新娜

(戰略支援部隊信息工程大學基礎部 河南·鄭州 450001)

0 引言

突如其來的疫情使開學延期，但是停學不停課，線上授課如火如荼開始了。本來數學類課程注重推導的嚴謹性，平常用板書較多，但是現在情況所逼，在科技發展的助力下，各類課程按期在網上開展。

本校根據學生專業情況，學生學習的高等代數課程，是線性代數內容和多項式，使用的教材是本校自編教材。課程內容抽象性強，邏輯推論嚴謹，方法多變。學生在學習的過程中常常感覺不得要領，在對課程內容的理解以及方法的領會和運用上只是停留在表面，抓不住課程內容和方法的關鍵和實質，不能做到知識的融會貫通與綜合運用，這不符合我們教學的本質。在線上教學過程中,學生與老師不能面對面交流，老師不能隨時掌握學生的學習效果和觀察學生的接受能力，進而督促學生學習。學生在家學習，學生的聽課情況、學生效果與學生自主學習能力直接相關，所以需要教師在課程內容的更新和教學設計等方面下功夫，提高學生的自主學習能力，使學生主動積極學習，保證教學效果。

1 課前制定學習導引，學生帶著問題去學習

由于線性代數是大學公共基礎課程，網上有很多優質資源。在開展教學之初，教師充分利用網上優質資源，引導學員去中國慕課上觀看線性代數慕課課程第一章的內容。在學生觀看慕課之前，把具體到每一小節知識的重難點發給學生，再針對重難點提出相對應的引導性問題，讓學生先按照布置的重難點和學習導引進行預習，在預習的時候標記自己不理解的地方，聽課的時候去關注這些問題，聽課之后能回答學習導引提出的問題。學習導引可以加強學生對知識點的理解，學生帶著問題去學習時，對知識點已經做了思考，聽課時就可以進一步加深理解，這樣就比直接依靠課堂獲得知識的效果好。

2 課堂中提出問題，及時歸納總結

高等代數課程概念繁多，公式性質較多，并且概念是比較離散的，缺乏連續性，學生不容易記憶，并且學習時容易混淆概念，比如行列式和矩陣分不清楚，運算時張冠李戴，行列式運算時是等號，在學習矩陣初等變換時就會有學生也出現等號的情況。如果這些概念在學習之初就搞不清楚，那后面的概念和性質更多就會出現更多的問題，更不要說對知識的綜合運用，融會貫通。

在第二章學習矩陣的概念之后，引導學生對行列式和矩陣的特點進行比較和歸納，加深對矩陣的理解和行列式的記憶。行列式計算的題目比較多，計算量也比較大，并且題目題型都比較多，學員碰到行列式的計算，常常覺得無從下手。引導學員對行列式的計算方法進行總結，每種計算方法再舉一個例題，總結過這些計算方法之后，學生對行列式的計算就有了清晰的認識，碰到各種各樣的高階行列式就不會再手足無措，無從著手。

第二章學完矩陣之后，讓學生總結矩陣可逆的充要條件有哪些，矩陣可逆的充要條件就有：（1） ；（2）為方陣，為單位陣；（3）為單位陣；（4）為初等矩陣；（5）為非奇異矩陣；（6）為滿秩矩陣。這幾條矩陣可逆的充要條件，從行列式、矩陣的乘法、初等變換、矩陣的秩等角度刻畫了矩陣可逆的性質，一定程度上能加深學生對逆矩陣、初等變換和矩陣的秩的理解，并且能系統地理解知識點。

3 更新教學設計，加深學生對知識的理解

高等代數教學抽象性強，學生對于很多定理和和概念并不能很好理解，并且線上教學也不方便對所有定理和性質進行推導，所以根據線上教學的特點，在高等代數教學中引入幾何圖形，對代數與幾何做到有效整合，使抽象思維與形象思維結合起來。借助幾何圖形可以將高等代數中抽象的概念、定理、性

在行列式的教學中，一上來就引入了二、三階行列式，學生不易理解，這時從幾何的角度對其進行解釋，即二階行列式可表示為平行四邊形的面積，三階行列式表示可表示為平行六面體的體積。在學生學習行列式的性質時就可以利用平行四邊形的面積來形象表示。最常用到的行列式性質：某一行（列）乘以一個非零的數加到另外一行（列），行列式的值不變。利用圖形表示這一性質就是：向量確定的平行四邊形面積等于和確定的平行四邊形面積，兩個平行四邊形的面積很容易看出相等，行列式的這條性質就不需要再進行證明。

矩陣的秩是重要的概念，矩陣的秩在判定線性方程組解的情況、判定向量的線性表示、判定向量組線性相關性等都有應用。在解線性方程組中系數矩陣的秩表示有效方程的個數，學生比較容易理解，而在線性變換中矩陣的秩理解為經過線性變換后不丟失有效信息的最小計量，這里就比較抽象，學生接觸的也不多，并且這個內容如果理解清楚，對于后面線性空間的學習也比較有幫助。利用線性變換的圖像表示可以幫助學生更好理解矩陣的秩。當方陣為滿秩，比如對當前空間的坐標進行旋轉變換，不會進行維度的升高和降低。當方陣是降秩矩陣，是把向量進行維度的壓縮，三階方陣秩為二，就從三維壓縮到一個平面，如果秩是一的話就是擠壓成一條線比如投影變換。

4 突出高等代數的應用特色、提高學生綜合素質能力

在高等代數的教學中最常提出的是以解線性方程組為主線，學生聽到方程組會直觀覺得比較繁瑣，抽象。在高等代數課程中，矩陣的思想方法貫穿于整個課程，所以在這次線上授課中突出矩陣的中心地位，強化矩陣思想在課程內容與方法上的主導作用，培養和提高應用矩陣思想方法解決問題的能力。

矩陣在大數據時代是最基礎的語言，矩陣的運用處處可見，如圖像識別，機器學習等。在教學中，介紹矩陣應用的實例，通過教學過程潛移默化地培養學生成為創新性應用型人才，提高學生的整體綜合素質。

矩陣常見的一個作用是在密碼學中的應用，給學生介紹密碼學中幾種常見密碼：棋盤密碼、愷撒密碼、維吉尼亞密碼、普萊費爾密碼、希爾密碼，通過介紹這幾種密碼可以發現密碼初期的發展其實就是矩陣運算的發展過程。引導學生利用矩陣的運算自己設計一種密碼，使學生熟悉矩陣運算并且加強對專業學習的興趣。

計算機在對某一個圖像進行處理的方法和技術上，矩陣具有重要的應用。首先要對彩色圖像進行描述，黑色（0,0,0）白色（255,255,255）紅色（255,0,0）藍色（0,0,255）綠色（0,255,0）其他任意顏色都可用立方體中的三基色組成表示出來。顏色空間的變換其實就是由紅、綠、藍三種基本色，向另一種顏色空間的映射，用數學語言描述這種轉換其實就是矩陣乘法。公式如下：質形象化，幫助學生對知識的理解。

除了矩陣在實際中的應用，在理論上中也處處凸顯矩陣的應用，在矩陣的初等變換與初等矩陣這一節，首先給出一個線性方程組的引例，利用學生中學已知的消元法求解方程組的解，然后對學生提出問題：怎樣利用我們所學的矩陣知識把消元過程描述出來？如果可逆的話，，消元法我們也能得到方程組的解，這兩種解法之間具有怎樣的聯系呢，通過矩陣怎樣進行描述呢？這樣就把矩陣的演算描述成邏輯的推理，抽象的問題具體化，學生對矩陣的運算有更深層次的理解。

5 注重教學課堂的延伸、提高學生數學思維能力

在對知識理解程度不夠的情況下，學生就會抓不住問題的本質，而是停留在問題的表面，不利于形成全面的數學思維，這里通過教學設計引導學生從多個角度去思考問題，拋出問題引導學生去深入剖析問題。

在數學課程的教學中，注重一題多解可以培養學生的發散思維，激發學生的潛能，開發學生的腦力，也是數學教育者非常重視的一種思維形式?！按鷶祷径ɡ怼焙汀岸位シ绰伞备咚狗謩e發現八種證明，高斯曾經說：“假如別人和我一樣深刻和持久地思考數學真理，他也會做出同樣的發現?！?/p>

高等代數一題多解的題目很多，比如求行列式、求逆矩陣、判定線性方程組的解、線性相關性的證明等，在教學中適量布置一些題目一題多解，讓學生從多個角度去解決問題，可以增強學生思維的開拓性、靈活性，形成對知識點深入全面的認識。比如題目：設階單位陣，是非零 維列向量，的轉置。證明：（1充要條件是時是不可逆矩陣。這個題目中（1）可以從矩陣和向量的運算規則進行計算即可，（2）的證法很多，有反證法、方程組有非零解的充要條件、矩陣的秩和跡、矩陣的特征值等五種方法證明。學生用多種不同方法解答同一道題,對鞏固知識,增強解題能力,提高學習成績和培養創造性思維很有益處。

在高等代數教學中，適當舉反例可以使學生深刻掌握概念和定理,讓學生從多層面、多角度觀察思考問題,促進學生思考能力的培養。在線上教學中，繁瑣的定理證明講解，會降低學生的學習效率，但是抽象的概念和定理學生并不容易理解，實踐證明在定理和概念教學中運用反例進行證明比較直觀，易于接受。在矩陣運算中，矩陣的乘法運算滿足結合律、分配律，但是不滿足交換律、消元律，并且存在非零的零因子；這是與以往數的運算律不一樣的地方，也是矩陣運算很重要的性質，并且學生由于思維慣性，經常出現運算錯誤，通過反例加深學生的印象，提升學生對知識的理解，預防和糾正學生會犯的錯誤，具有十分重要的作用。

線上教學任重道遠，學生自主學習能力的提高也是我們一直追求的目標，但是并不是一件容易實現的事情，這需要教師不斷實踐、不斷探索。當前正在開展的線上教學，為學生提供了一個提高自主學習能力的階梯，教師也需要改變以往教學理念與教學手段，引導學生利用線上教學的優勢，提高學生的自主學習能力，逐步培養學生成為適應時代發展的終身學習者。