數學建模競賽與高等數學課堂教學

李亞利 繆 清

（云南民族大學數學與計算機科學學院 云南·昆明 650500）

0 引言

數學建模旨在用數學知識和和方法來解決實際問題，在數學建模的過程中，首先通過分析問題，把實際問題轉化為數學語言，從而描述成大家較熟悉的數學問題。然后借助數學理論、計算機理論等工具對這些數學問題進行求解，最終獲得相對應實際問題的解決方案或者對相應實際問題有更深入和更詳細的了解。隨著科學技術的發展日益迅猛，數學建模已經被廣泛應用在生物、化學、醫學、工程技術、航天科技等眾多領域。因此數學建模也越來越受到社會的普遍重視，并成為現代科學技術工作者必備的重要能力之一。很多高等院校也把每年的全國大學生數學建模成績作為衡量教學水平的一個重要指標。

1 數學建模競賽與學生

數學建模競賽對學生的學習有極大的促進作用，也是檢驗學生學習成果的一種手段。以下我們分三點來闡述數學建模競賽對學生的積極影響。

1.1 激發學生學習興趣

不了解數學的人們都說，數學的學習是枯燥無用的。事實上，如果學生只是去死板的證明課本上的數學定理、驗證數學公式，那么當然會覺得枯燥無味。但是如果學生可以自己動手利用所學的課本數學知識去解決了一些實際問題，那么他們就會看到數學知識的重要，就會激發學習興趣，學習效果就會事半功倍。而每年的數學建模競賽的試題往往比較靈活，并且涉及到的領域可能是學生平時接觸不到的。當學生拿到競賽試題，首先需要將實際應用問題用數學語言描述，也就是我們說的建模過程。這就會讓學生認識到平時的基礎課、專業課的理論學習不是無用的，在現實生活中、現代科技中都是非常重要的，從而就促進了學生對數學基礎知識的興趣培養。此外，很多高校也對數學建模競賽成績好的學生有政策上的獎勵機制，比如綜合測評加分、推免優先等獎勵制度，也都激勵了學生去參加數學建模競賽，大大提高了學生學習數學的積極性。

1.2 提高學生解決問題的能力和創新能力

數學建模競賽和其他單個學科競賽不同。例如數學競賽、物理競賽、計算機設計大賽等，這些競賽平臺只涉及到一門學科或一門課程的相關知識，而數學建模競賽可以涉及到數學、物理、化學、計算機等其他學科的相關知識。僅僅數學學科就包含高等數學、線性代數、概率論與數理統計、計算方法、運籌學、數學軟件等課程的相關知識。因此學生要想在數學建模競賽中取得好成績，必須學會綜合運用各科知識，去發現和搜尋信息、整合材料，尋求解決問題的方法，這個過程對學生來說是一個挑戰。事實上，數學建模試題也沒有標準答案，試卷的評分標準看的就是學生解決問題的能力和創新能力。

1.3 培養學生堅韌不拔和團隊合作的精神

數學建模競賽要求3名隊員在3天時間內完成數學建模的全過程，包含論文寫作。這3天內，需要參賽隊員分析問題、查閱文獻，甚至學習新的知識等。在這個過程中，不能認為競賽題目有困難就退縮。數學建模的全過程會讓學生認識到做任何事情都要有挑戰困難、迎難而上的信心，要有堅持不懈、堅韌不拔的決心和精神。事實上，不少參加競賽的學生也的確面臨各種困難，甚至有熬夜查閱資料的現象，但最終能夠不畏困難、堅持不懈的學生也取得了較好的成績。另外，參加競賽的隊員往往是由不同專業背景的學生所組成，那么在面臨新問題的時候，就須要他們各自發揮自己的專業優勢，結合實際情況，綜合分析問題。因此整個競賽過程就需要隊員之間有強烈的團隊合作的精神，精誠協作才能最終解決問題。而團隊精神也是學生走向工作崗位所必備的一種能力。

2 數學建模競賽與教師

數學建模競賽是一種對學生綜合能力的考察，因此對于指導數學建模競賽的教師來說，也會面臨不小的壓力。因為大多數指導教師只是精通于一門學科，在面臨不太熟悉領域里的新問題的時候，也會顯得力不從心。于是這就迫使教師在平時的教學過程中，必須充分思考，把數學建模的思想滲透到平時的課堂教學中去。同時要擴展教師自身的綜合知識，提升自身的學術水平。

首先，我們以數學學科中高等數學和線性代數課程為例，來具體的分析和探討數學建模思想在課程教學中的應用。

來看這樣一個實例。設足球門寬度為4米，一球員在球門右側沿垂直于底線的方向帶球向底線上距離球門右門柱6米的點處跑去。問題：這個球員在距離底線多遠處可以獲得最大的射門張角？通過分析問題，我們可以知道，這個看上去對女生來說不太熟悉的實際問題即是求這個球員在距離底線多遠處與兩門柱連線的夾角最大？因此這樣一來，我們就把這個實際問題轉化為了數學問題，也就是數學建模問題。事實上，如果設球員在距離底線 米的地方開始射門，則射門的夾角 可以表達為 的函數：

于是這個問題就轉化為求(1)式中函數 的最大值。也即求一元函數的極值或者最值問題，這就是高等數學中的基礎問題。只要求出函數 的穩定點，再參照一元函數求極值的步驟即可。事實上，函數(1)的穩定點是唯一的，因此根據實際情況（ >0），這個穩定點一定是函數(1)的最大值點。

我們知道，運籌學模型是數學模型的一種常見模型。在這里，我們以線性規劃模型和運輸問題方面的運籌學應用模型為例，來說明數學建模思想對線性代數課程教學的促進作用。

從線性規劃模型的一般標準形式：[1]

可以看到，模型中的約束條件是用線性方程組來表示。因此，教師在講授線性方程組相關知識的的時候，應該讓學生同時認識到線性方程組的理論內容和實踐應用都是非常重要的。除了講授線性方程組的概念、線性方程組解的情況等理論知識外，還需讓學生根據實際問題自己動手去建立一些線性方程組。這樣做也可以激發學生的學習興趣，提高他們學習的積極性。此外，線性規劃模型單純形法求解以及運輸問題表上作業法求解也是線性代數課程中矩陣理論、向量線性相關理論的重要體現。因此教師在講授這些理論的時候，要逐步驗證，讓學生看到數學建模思想和基礎課程事實上是密不可分的。

其次，隨著建模競賽的普遍深入，也需要教師改變傳統的教學模式，并且積極探索適應課程的多種教學手段。下面我們以“數學建模”課程為例分析探討數學建模競賽對教師教學模式的影響。面對市場上名目繁多的數學建模教材以及參考資料，教師如何選擇適合本校學生水平的教材是一個需要探索、反復實踐的過程。那么最好的解決方案就是經過實踐，根據實際情況編制自己的教學材料。并且在現在的課程教學中，由于諸多原因的限制，大多數老師只能采取“滿堂灌”的教學模式來完成教學任務，也就是將知識單純機械的輸入給學生，這樣的做法不能發揮學生的學習主動性，會讓學生失去學習的興趣。因此，針對數學建模課程，教師應該特別注意教學互動，發揮學生在學習過程中的主體地位和主觀能動作用。例如，在上課之前，教師充分準備好上課材料，把本節課的內容分為若干小節。上課時先由教師講授理論內容，這大約占到課堂時間的三分之一。然后把分配好的若干小節內容以小組為單位分發給學生，讓學生分別討論各部分的內容。最后讓每個小組根據自己的分析，在課堂上匯報自己小組的解題大綱。這樣可以促進學生之間知識的融匯、思想的交鋒。

另外，隨著信息技術的發展，教師應該充分借助多媒體教學手段，提高課堂效率。如現在的微課程、慕課、雨課堂等新型教學模式都是充分借助于互聯網技術，學生們在手機上就可以隨時聽老師授課，也可以在手機上完成作業的提交等。

最后，關于數學建模競賽，筆者根據自己的體會，并借助于文獻[2-3]中作者的經驗，給予以下兩點思考與讀者進行探討。一方面，我們前面提到，數學建模競賽的指導教師應該首先提升自身學術水平。那么除了教師自己要不斷擴展知識，接觸新模型新方法外，還需要學校給予一定的支持，如組建一支穩定的、具有較高業務水平和奉獻精神的指導教師隊伍。并且每年都吸收青年教師加入，因為青年教師思想觀念新、精力充沛，會給學生帶來生機和活力，更能夠激勵學生克服困難。另一方面，由于競賽過程中，按照規定學生不能和指導教師討論競賽試題，因此組織學生進行賽前訓練和強化是非常重要的。例如學?？梢匝埦哂胸S富參賽經驗的專家或者老師開展數學建模講座，和其他高校進行交流；組織賽前強化訓練班，讓學生改變思想認識，端正競賽態度。然后就是集中訓練競賽中可能用到的數學知識和計算機軟件相關知識。最后是研讀歷屆數學建模競賽優秀論文，增加學生參賽經驗。

3 結語

本文針對數學建模競賽，分析和探討了競賽平臺對學生和教師的積極影響。一方面可以提升學生的綜合素養，另一方面也促進了教師課堂教學內容和教學模式的創新?？傊瑹o論對于學生的學習，還是對于教師的講授，都應該將數學建模思想融入到平時的課堂中去，最終培養出適應時代需求的優秀人才。