基于DE和LDU分解的結構體系可靠性分析

2020-07-21 03:59:52田宗睿李永華石姍姍

大連交通大學學報 2020年4期

田宗睿，李永華，石姍姍

(大連交通大學機車車輛工程學院，遼寧大連 116028)*

在結構可靠性分析與設計中，可靠性一直是衡量結構功能效用的重要依據，貫穿于結構產品的全壽命周期過程中.但是，由于結構自身設計的影響及在工作狀態下隨時遇到的不確定因素，在實際工程設計中，結構體系出現破壞的情況時有發生.為了提高結構體系的可靠性與安全性，使其滿足實際工程要求，有必要對結構體系進行可靠性分析.

一般的可靠性分析方法只針對一個失效模式的情況，但結構體系的失效模式卻很多，對其可靠性的研究較為困難，由此產生的問題一直是可靠性領域研究關注的熱點.結構體系傳統的可靠性分析方法有一階界限法、二階界限法、概率網絡估算法和蒙特卡洛法［1］等.近年很多學者對此有了新的研究成果，李正良［2］等提出了一種基于自適應點估計和最大熵原理的結構體系多構件可靠度分析方法，該法所得結果精度滿足工程要求.Marco N.Coccon等［3］提出了一種海上結構體系可靠性分析方法，此法充分考慮部件和失效模式之間的統計相關性，適用于海上結構的風險評估.Ruixing Wang等［4］針對線性結構系統，提出了一種基于體積比理論的非概率可靠度計算方法，能夠有效減少計算量和公式推導的步驟.彭偉等［5］通過構造Copula函數來分析兩部件系統的失效相關性，能夠更好地描述所有部件的失效特性.李洪偉［6］等利用近似數值分析法建立共因失效的結構系統可靠性模型，在保證計算精度的前提下提高了求解效率.周金宇［7］等利用阿基米德族的Clayton Copula函數建立串并聯結構系統的疲勞可靠性模型，為疲勞壽命預測與可靠性設計提供新方法.安宗文［8］等考慮齒輪的兩種失效模式，將二元正態分布函數引入到可靠度求解過程中，為齒輪可靠性的研究方法提供了新途徑.涂宏茂［9］等提出了基于一次二階矩法近似的系統可靠性分析方法，能夠獲得效率較高且較準確的計算結果.

為了進一步提高結構體系可靠度的計算精度與效率，本文提出了基于DE算法和LDU分解的結構體系可靠性分析方法.此法將DE算法和LDU分解相結合，充分DE算法不易陷入局部最優和LDU分解計算準確的特點，使計算結果更精確.通過實際算例驗證方法的可行性與有效性.

1 DE算法與LDU分解的基本原理

1.1 可靠性指標的幾何意義及優化模型

結構的極限狀態是結構在達到破壞前的臨界狀態，用 Z=g(X1，X2，…，Xn) 表示［10］，其中 X1，X2，…，Xn是結構中的n個任意分布的獨立隨機變量.對于非正態隨機變量利用R-F法(Reckwitz-Fiessler法)將其當量正態化［11］，能夠得到當量正態化后變量的均值μ′Xi與方差σ′Xi.

可靠性指標的幾何意義旨在標準正態空間中坐標原點到極限狀態超曲面的最短距離.由此建立最優化數學模型，其表達式為:

式中，可靠性指標為β，功能函數為Z，極限狀態超曲面上的點為，隨機變量為Xi，隨機變量上限為，下限為.利用罰函數法，將式(1)轉換為無約束優化模型:

式中，M為懲罰因子，對應的項為懲罰項.

1.2 DE算法基本原理

DE算法［12-13］是Storn等人于1995年提出，此法能求解具有高度非線性特征的連續函數的極小值.DE算法的原理雖與遺傳算法相似，但其能夠在變異操作中使用差分策略，避免了遺傳算法中變異操作的不足，具有較好逼近效果.

DE算法的基本思想是:首先由當前個體通過變異操作生成新一代個體，成為變異個體;再將當前個體與新一代個體進行混合交叉操作，生成試驗個體;然后通過選擇操作，將試驗個體與當前個體進行比較，選擇最優個體實現進化.該法主要包括種群初始化、變異、交叉和選擇操作［13］.

1.3 LDU分解的基本原理

LDU分解作為矩陣三角分解的一種，對于常系數線性方程組的求解較為適用［14］，廣泛應用于動態無功優化、潮流計算等電力系統計算方面［15］.LDU分解能夠將具有相關性的變量轉換為相互獨立的變量，對于處理具有相關性的函數和變量具有較大優勢.在結構體系可靠度的計算過程中，主要用于處理相關失效模式間的相關系數矩陣，使各失效模式具有相互獨立的特征.

設A=(aij)是n階矩陣，如果A可分解成A=LDU，其中L為單位下三角矩陣，D為對角矩陣，D=diag(d1，d2，…，dn)，di＞ 0(i=1，2，…，n)，U為L的轉置，則稱A可作LDU分解.

LDU分解的充要條件是當且僅當A的順序主子式 Δk≠ 0(k=1，2，…，n-1 )時，A可唯一地分解為LDU.LDU分解表達式為:

式中，三個矩陣均為n階方陣，i為行數，j為列數，lij為矩陣中的數值元素，dn為D中對角線上的數值元素.

2 結構體系失效概率的求解

結構體系可分為串聯、并聯和混聯體系.混聯體系可轉換為全串聯或全并聯體系.無論該結構屬于哪種結構體系，在可靠度的求解過程中均需要計算多失效模式的聯合失效概率，其表達式為:

式中，β為可靠性指標矩陣，ρ為相關系數矩陣，Zi為功能函數.

由式(5)可知，可靠性指標和相關系數矩陣共同影響結構體系失效概率.相關系數矩陣表示為:

式中，gk(X)為功能函數，σ為其標準差，Cov( gi( X )，gj( X ) )為失效模式間的協方差矩陣，α為靈敏度系數矩陣，表示標準正態空間內的驗算點矩陣.

根據可靠性指標與相關系數矩陣的計算結果，可將多失效模式的聯合失效概率的求解轉化為多維正態積分的計算，進而計算體系可靠度.利用LDU分解的思想，將相關的標準正態隨機變量轉換為互不相關的正態隨機變量.根據文獻［16］的證明思路，對自變量x連續進行兩次線性變換，將積分上限值β代入，最終可得β″=D-1/2L-1β.利用LDU分解，通過對自變量進行兩次線性變換后，多維標準正態分布函數的Φ(β，ρ)可表示為:

式中，β″= (β″1，β″2，…，β″n)T，Φ(·)為標準正態分布函數.

綜上所述，基于DE和LDU分解的結構體系可靠性分析流程如圖1所示.

圖1 基于DE和LDU分解的結構體系可靠性分析流程

3 算例分析

3.1 算例1

假設某串聯體系包含兩個失效模式，對應的功能函數分別為:

式中，x1與x2均服從標準正態分布N(0，1)，且相互獨立.

根據式(2)和式(3)，分別建立各功能函數對應的優化模型:

通過求解兩個優化模型，失效模式對應的可靠性指標結果見表1.

表1 可靠性指標值

根據式(6)和式(7)，兩個失效模式的功能函數間的相關系數為ρ=0.959 3，根據式(8)可得多失效模式的聯合失效概率表達式為:

式中，Pf1，2為兩失效模式的聯合失效概率.

該串聯結構體系的可靠度計算表達式為:

式中，Pr為可靠度.

分別利用本文方法和100 000次蒙特卡洛仿真計算該結構體系的可靠度，結果見表2.

表2 可靠度結果

結果分析對比表明，此法與蒙特卡洛法結果相近，但速度快于蒙特卡洛法，證明了該法的有效性.

3.2 算例2

由于抗側滾扭桿長期承受較大扭矩，其結構安全與否對行車安全有著重大影響［17］.為進一步驗證此法的有效性，以某動車組的抗側滾扭桿為研究對象，對其進行可靠性分析.抗側滾扭桿安裝在轉向架的構架上，由扭桿軸、扭轉臂和連桿構成，其中扭桿軸與扭轉臂的連接方式為過盈配合，連桿與扭轉臂采用螺栓連接.抗側滾扭桿的幾何模型如圖2所示.

圖2 抗側滾扭桿幾何模型

圖3 抗側滾扭桿的受力示意圖

車體通過連桿上的橡膠節點將力由連桿，經過扭轉臂傳遞到扭桿軸，進而在扭桿軸上產生扭矩.由于扭桿軸具有良好的回彈特性，能夠有效抵消車體上傳來的扭轉作用，以滿足抗側滾要求.抗側滾扭桿的受力示意圖如圖3所示.

抗側滾扭桿可能存在的失效模式有彎曲強度失效、扭轉強度失效和彎扭組合失效，這些失效模式共同影響，抗側滾扭桿結構體系的可靠性.扭桿軸材料的許用剪切應力[τ]為700 MPa，抗拉極限[ σb]為1 450 MPa，屈服極限[σs]為 1300MPa，載荷P(N)服從正態分布N(35 000，50)，扭桿軸直徑d(mm)服從正態分布N(35，3)，并且P與d相互獨立.現求解該抗側滾扭桿的可靠度.

當結構發生扭轉失效時，其功能函數表達式為: