“神來之筆”何處覓
———基于兩類多元最值問題“配湊法”的探究

◇ 山東 俎德鵬

縱觀高中數學各個模塊的內容，求最值是高中數學的重要內容，涉及的知識點廣，尤其與不等式知識的結合問題，其難度更是直線上升.在各地模擬考試試題及高考真題中，不乏有經典題型出現，常以壓軸題為主，其解答不僅精彩絕倫，而且在關鍵“配湊”處理上，更是“神來之筆”.本文就對兩類多元最值求解中的關鍵配湊法展開研究，希望能以點破面，對讀者有所啟發.

1 “極值型”配湊

問題分析“雙變量最值”問題，策略——消元，特點——齊次.

嘗試解答

疑問二次換元是否偶然，即t＝3是否另有深意，命題者命制該題的背景又是什么?

再解答疑問的解答，筆者認為應從消元說起，對于齊次，其實有諸多消元方法.

解法1

解法2

乍一看解法1 的“配湊”和解法2 公因式“x2－3”的提取如神來之筆，令人嘆為觀止，但仔細分析會發現其本質無非是函數極值點的巧妙應用罷了.因此函數“極值型”多變量最值問題，尋找極值點是關鍵，諸多的換元手法無非是讓函數便于研究，讓極值點顯化罷了!

2 “等地位”輪換配湊

問題分析“三元最值”問題，直接消元一般難以下手，三元到二元的轉變勢必還需要一個等式.但已知平方和為定值，求解的整式為變量積之和，可考慮“配湊”待定系數法，用均值不等式求解，再關注已知條件和求解結論的對稱式特性，就不難想到a，c 的“地位”等價性了.

嘗試解答

不妨設x，y，z＜1，則

疑問上述求解較為煩瑣，在配湊系數時能否有依據可循? 依據又是什么?

再解答筆者試著用拉格朗日數乘法，解釋系數配湊的內在聯系.

令

則

由①③得a＝c，代入②得

至此，解答可以優化，對系數的待定可以做到有的放矢.

將b2拆分成并非偶然，除了從拉格朗日數乘法的角度分析配比系數之間的關系外，我們也可以從式子的結構加以分析，條件a2＋b2＋c2＝1，結論ab＋bc＋2ac，已知和求解中的等式皆是關于變量a，c輪換對稱，a，c 的地位一致，故而均分b2，至此，這類問題配湊也迎刃而解.

變式已知x，y，z＞0，求的最小值.

因為x，y“地位”的一致性，可輪換，故而可均分z2，解答如下.

筆者認為數學學科核心素養中，邏輯推理能力是非常重要的一種能力，作為一線教師的我們，在繁忙的教學工作中，時常忽略了標準答案中解法所蘊含的“深層邏輯”，尤其是不等式配湊問題中，往往被其“神來之筆”的配湊所驚艷，繼而感嘆了之，而不對其內在邏輯進行深入思考.若是對其深究，我們往往可以發現問題的本源，以法破類，繼而促進我們的教學工作，以達到學而思、思而悟的目的.