構(gòu)建幾何模型，突破平面向量難點(diǎn)問題

◇ 福建 林良斌

高中的向量問題兼具了數(shù)與形的兩個(gè)特征，數(shù)是通過代數(shù)運(yùn)算求解，形則更需幾何觀察.本文將從形的角度出發(fā)，通過構(gòu)建幾何模型，實(shí)現(xiàn)多思少算，提高向量問題的解題效率.

1 構(gòu)造向量減法的三角形模型

從同一點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)向量a，b，它們的差a－b是向量b 的終點(diǎn)指向向量a 的終點(diǎn)的向量，通過向量減法的幾何意義，我們可以把一些相關(guān)問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決，使代數(shù)問題幾何化，解題更加直觀和簡(jiǎn)單.

如圖1所示構(gòu)造三角形，由于(a－b)⊥b，則該三角形為直角三角形，又因|a|＝2|b|，所以a 與b 的夾角為.

圖1

對(duì)比代數(shù)方法的解答過程，通過構(gòu)建向量減法的幾何模型，只需作圖觀察，問題的解決變得一目了然，省去了代數(shù)計(jì)算的煩瑣.

如圖2 所示，對(duì)任意的實(shí)數(shù)λ，當(dāng)|a－λb|取到最小值時(shí)，(a－λb)⊥λb，此時(shí)，|a|＝2，|a－λb|＝，所以|λb|＝1.又因?yàn)閨b|＝1，所以λ＝±1.

圖2

在減法模型的基礎(chǔ)上加上變量λ，使向量aλb 的起點(diǎn)在向量b 所在直線上滑動(dòng)，形成一個(gè)動(dòng)態(tài)模型，由于垂線段的長度最短，所以能輕易破解題目的難點(diǎn)，減少了構(gòu)造函數(shù)求最值的過程.

2 構(gòu)造圓的模型

圓的定義就是到定點(diǎn)距離等于定長的所有點(diǎn)的集合，若一個(gè)向量a 的模|a|為定值，并且固定其起點(diǎn)，那么終點(diǎn)的軌跡就是一個(gè)圓.

圖3

在減法模型的基礎(chǔ)上，這里向量差的模是一個(gè)定值，如圖3，向量m 的終點(diǎn)軌跡構(gòu)成了一個(gè)圓，利用圓上的動(dòng)點(diǎn)到圓外一點(diǎn)的距離最大值結(jié)論來解決問題.

3 構(gòu)造平行四邊形對(duì)角線模型

向量的加減運(yùn)算包含很多平面圖形的性質(zhì)，把向量a，b 的和與差求平方和，會(huì)得到這兩個(gè)向量模的平方和的2倍，即|a＋b|2＋|a－b|2＝2|a|2＋2|b|2，利用這一性質(zhì)可以把問題幾何化，使問題更加直觀.

由于|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b；|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b，所以|a＋b|2＋|a－b|2＝2|a|2＋2|b|2＝10.

圖4

令x＝|a＋b|，y＝|a－b|，所以x2＋y2＝10(x，y≥1)，其圖象為一段圓弧MN，如圖5所示，令z＝x ＋y，則y＝－x＋z，所以當(dāng)直線y＝－x＋z 過M，N兩點(diǎn)時(shí)，z 取最小值是4.當(dāng)直線y＝－x＋z 與圓弧MN 相 切時(shí)，z 最大.

圖5

平行四邊形的對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和，這個(gè)幾何模型的運(yùn)用將原來的問題轉(zhuǎn)化成了線性規(guī)劃問題來解決，更為簡(jiǎn)便.

4 構(gòu)建向量數(shù)量積的幾何模型

兩個(gè)向量a，b 的數(shù)量積a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉，其中|b|cos〈a，b〉就是向量b 在向量a 方向上的投影，利用這個(gè)模型可以將一些復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化.

圖6

所以

利用向量數(shù)量積的幾何模型，特別是在直角三角形中，如圖7，直角△ABC中有成立，通過這樣的模型轉(zhuǎn)化，把復(fù)雜的數(shù)量積運(yùn)算過程變得很簡(jiǎn)單.

圖7

如圖9所示，延長AO交圓O 于點(diǎn)D，連接BD，CD，所 以 ∠ABD ＝∠ACD＝90°.

圖8

圖9

所以

本題如果從代數(shù)角度考慮將難以入手，這里考慮幾何模型，延長半徑構(gòu)造出以圓的直徑為斜邊的兩個(gè)直角三角形，從而構(gòu)造出數(shù)量積的幾何模型.

綜上所述，向量的綜合題往往難度比較大，學(xué)生往往習(xí)慣用代數(shù)方法和幾何方法進(jìn)行求解.代數(shù)法，由于計(jì)算復(fù)雜，很多學(xué)生都陷入無休止的計(jì)算中.掌握幾種常見的向量幾何模型，既能有效幫助學(xué)生掌握幾種基本的方法，擺脫煩瑣的計(jì)算，又能使他們?cè)谶@幾種模型的處理方法上舉一反三、觸類旁通，在解決問題時(shí)有另一種思路或者選擇.