巧借平面幾何知識，快速解答高考試題

◇ 河南 申治國

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版)》頒布以來就成為命題的依據(jù)，2020年取消考試大綱，而高考考查的內(nèi)容也不再僅限于高中課本知識，故本文通過幾個有平面幾何背景的高考題，說明巧借平面幾何知識，可以快速解答部分高考試題.

1 平面向量背景

具有平面向量背景的高考題，有時借助平面幾何知識可以實現(xiàn)快速解答.

圖1

快速解法1如圖2，過點D 作DF∥CE 交AB 于點F.由D 是BC 的中點，可知F是BE 的中點.由BE＝2EA，可得AE＝EF，故AO＝OD，下同常規(guī)解法.

圖2

快速解法2由梅涅勞斯(Menelaus)定理可知，由已知可得，故AO＝OD，下同常規(guī)解法.

快速解法1通過構(gòu)造輔助線借助平面幾何結(jié)論推理，使問題順利解答.快速解法2借助梅涅勞斯定理，避免了構(gòu)造輔助線.

2 解析幾何背景

在解析幾何背景的高考題中如果涉及平面幾何圖形，借助平面幾何知識往往可以快速解題.

常規(guī)解法由，可知BF1⊥BF2，連接OA，則由可知點A 是BF1的中點，又O 是F1F2的中點，故OA∥BF2.雙曲線的漸近線方程是，故可知

設(shè)|BF1|＝bt，|BF2|＝at，由

又b2＋a2＝c2，故t＝2.在△BF1F2中，可知B的縱坐標為，則橫坐標為，由kBF2＝，故c2＝4a2，雙曲線的離心率

快速解法如圖3，由OA 為△BF1F2的中位線且OA ⊥BF1，所 以O(shè)B ＝OF1，因 此∠F1OA ＝∠BOA.根據(jù)兩漸近線關(guān)于y 軸對稱，故∠F1OA ＝∠F2OB，所以∠F2OB＝60°，則

圖3

根據(jù)圖形直接可得雙曲線的一條漸近線的傾斜角是60°，使問題的解答顯得更加自然流暢.

常規(guī)解法由題意|OM|＝|OF|＝c＝2，設(shè)右焦點為F′，P(x，y)，則|PF′|＝2|OM|＝4，(x－2)2＋y2＝16與方程聯(lián)立，可解得(舍)，點P 在橢圓上且在x 軸的上方，故求得所以利用兩點的斜率公式可求得直線PF 的斜率是.

快速解法設(shè)右焦點為F′，利用橢圓定義可得|PF′|＝|FF′|＝4，|PF|＝2，在等腰△PFF′中，利用勾股定理可得底邊PF 上的高是，而tan∠PFF′＝即為所求直線PF 的斜率.

通過轉(zhuǎn)化為求等腰三角形底角的正切，避免了相對復(fù)雜的解方程組運算.

3 解三角形背景

解三角形問題，可以利用正弦定理、余弦定理和三角變換公式等高中知識解答，但若充分借助平面幾何知識，有時可以更快地使問題獲解.

常規(guī)解法由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，可得c＝，a＝.由面積公式S＝2acsinB，可得S＝.

快速解法如圖4，根據(jù)已知條件，聯(lián)想初中平面幾何中最常見的直角三角形(一副三角板中的一個)，利用圖形的唯一性可知b＝6＝，故c＝，則所求面積

經(jīng)濟全球化的發(fā)展，出國旅游也變得越來越普遍，代購行業(yè)也越來越繁榮。在此背景下，提高英語能力尤其是口語能力口語更好地滿足社會發(fā)展的需求，因此，在高職院校的英語教學(xué)中，需要正視自己與本科院校學(xué)生英語水平的差距，高職院校英語綜合能力較弱，在表達能力上更是有所不足，因此，在這個大背景下，高職院校學(xué)生英語能力無法滿足社會日益發(fā)展的需求矛盾，傳統(tǒng)的教學(xué)模式重視教師的主導(dǎo)作用側(cè)重于教，現(xiàn)代化教學(xué)模式側(cè)重學(xué)生的主體地位，而混合式教學(xué)的新鮮元素的應(yīng)用在課堂上，可以打破限制英語口語能力的發(fā)展的因素，積極引導(dǎo)學(xué)生英語課堂的參與積極性，促進英語口語交流的可能性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)英語的自主性與積極性。

直覺推理和邏輯推理同樣重要，本題通過聯(lián)想平面幾何基本圖形，實現(xiàn)了問題的更快解答.

圖4

4 三角函數(shù)背景

不論是初中以直角三角形為背景定義的銳角三角函數(shù)，還是高中借助坐標系和單位圓定義的任意角的三角函數(shù)，借助平面幾何知識都可以使有些三角函數(shù)問題快速獲解.

A.4β＋4cosβ B.4β＋4sinβ

C.2β＋2cosβ D.2β＋2sinβ

圖5

常規(guī)解法設(shè)圓心為O，根據(jù)∠APB＝β，可知AB 所對圓心角∠AOB＝2β，故扇形AOB 的面積為，由題意，要使陰影部分面積最大，則P 到AB 的距離最大，此時PO 與AB 垂直，故陰影部分面積最大值S＝4β－S△AOB＋S△PAB，而S△AOB＝4sinβcosβ，S△PAB＝4sinβ＋4sinβcosβ，故陰影部分面積最大值S＝4β＋4sinβ，故選B.

快速解法按照極限思想，若，則陰影區(qū)域為半圓加等腰直角三角形時面積最大，可求得面積是2π＋4，可以排除A，C和D，只有B符合條件.

借助極限位置和平面幾何知識排除錯誤選項，實現(xiàn)了出奇制勝.

綜上所述，扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是實現(xiàn)高考題快速解答的前提，因此，在備戰(zhàn)高考時，全面復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)知識是十分必要的，其中包括初中的數(shù)學(xué)知識，巧用初中知識，可以快速解答部分高考題.