萬有引力與宇宙航行知識薈萃

◇ 山東 呂治華

萬有引力與航天涉及行星運動、宇宙航行等問題，與人類的生產、生活密不可分.本文系統總結了萬有引力及宇宙航行的相關定律及實際應用，把開普勒定律、萬有引力定律以及衛星變軌與追及等問題進行統一，讓學生體驗“探尋表象—找出規律—理論提升”這一學習過程.

1 開普勒定律

1)開普勒定律內容(如表1所示)

表1

2)核心要點

a)行星繞太陽的運動通常按圓軌道處理.b)開普勒行星運動定律也適用于其他天體，例如月球、衛星繞地球的運動.c)在開普勒第三定律＝k中，k值 只與中心天體質量有關，不同的中心天體k值不同.

2 萬有引力定律

1)內容

自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質量m1和m2的乘積成正比，與它們之間距離r的二次方成反比.

2)表達式

3)適用條件

a)公式適用于質點間的相互作用.當兩個物體間的距離遠大于物體本身的大小時，物體可視為質點.b)質量分布均勻的球體可視為質點，r是兩球心的距離.

4)要點突破

a)萬有引力與重力的關系.地球對物體的萬有引力F表現為兩個效果：一是重力mg，二是提供物體隨地球自轉的向心力F向，如圖1所示.

①在赤道上：＝mg1＋mω2R；

圖1

③在一般位置：萬有引力等 于重力mg與向心力F向的矢量和.

越靠近南北兩極g值越大，由于物體隨地球自轉所需的向心力較小，常認為萬有引力近似等于重力，即

b)天體上空的重力加速度g′.天體上空距離天體中 心r＝R＋h處 的 重 力 加 速 度 為g′，mg′＝，得，所以

3 萬有引力理論的成就

應用萬有引力計算天體質量和密度的方法如表2.

表2

4 宇宙航行

4.1 宇宙速度

1)第一宇宙速度(環繞速度)

a)推導：已知地球質量m地和半徑R，物體繞地球的運動可視為勻速圓周運動，萬有引力提供物體運動所需的向心力，即，可 得v ＝；或已知地面附近的重力加速度g 和地球半徑R，由，其數值為7.9km·s－1.

b)第一宇宙速度是人造衛星在地面附近環繞地球做勻速圓周運動時具有的速度.

c)第一宇宙速度是人造衛星最小的發射速度，也是人造衛星的最大環繞速度.

2)第二宇宙速度(脫離速度)

使物體掙脫地球引力束縛的最小發射速度，其數值為11.2km·s－1.

3)第三宇宙速度(逃逸速度)

使物體掙脫太陽引力束縛的最小發射速度，其數值為16.7km·s－1.

4)要點突破

a)第一宇宙速度是發射人造地球衛星的最小速度，也是人造地球衛星的最大環繞速度，此時它的運行周期最短，

b)宇宙速度與運動軌跡的關系.當v發＝7.9km·s－1時，衛星繞地球做勻速圓周運動；當7.9km·s－1＜v發＜11.2km·s－1時，衛星繞地球運動的軌跡為橢圓；當11.2km·s－1≤v發＜16.7km·s－1時，衛星繞太陽做橢圓運動；當v發≥16.7km·s－1時，衛星將掙脫太陽引力的束縛，飛到太陽系以外的空間.

4.2 人造地球衛星

衛星的軌道平面可以在赤道平面內(如同步軌道)，可以通過兩極上空(極地軌道)，也可以和赤道平面成任意角度，如圖2所示.因為地球對衛星的萬有引力提供了衛星繞地球做圓周運動的向心力，所以地心必定是衛星圓軌道的圓心，且衛星的各物理量隨軌道半徑變化而變化.

圖2

1)極地衛星和近地衛星

a)極地衛星.極地衛星運行時每圈都經過南北兩極，由于地球自轉，極地衛星可以實現全球覆蓋.

b)近地衛星.近地衛星是在地球表面附近環繞地球做勻速圓周運動的衛星，其運行的軌道半徑可近似認為等于地球半徑，其運行線速度v1＝7.9km·s－1，周期，分別是人造地球衛星做勻速圓周運動的最大線速度和最小周期.

2)同步衛星

a)“同步”的含義就是和地面保持相對靜止，所以其周期等于地球自轉周期.

b)同步衛星的6個“一定”

同步衛星的特點如圖3所示.

圖3

4.3 衛星變軌與追及問題

1)衛星發射及變軌過程概述

人造衛星的發射過程要經過多次變軌方可到達預定軌道.如圖4所示，發射衛星的過程大致有以下幾個步驟：a)為了節省能量，在赤道上順著地球自轉方向發射衛星到圓軌道Ⅰ上；b)在A 處點火加速，由于速度變大，進入橢圓軌道Ⅱ；c)在B 處(遠地點)再次點火加速進入圓形軌道Ⅲ.

2)衛星變軌的實質

圖4

4.4 雙星或多星問題

1)雙星模型

如圖5所示，宇宙中有相距較近、質量相差不大的兩個天體，它們離其他天體都較遠，其他天體對它們的萬有引力可以忽略不計.在這種情況下，它們將圍繞其連線上的某一固定點做周期相同的勻速圓周運動，通常，我們把這樣的兩個天體稱為“雙星”.

圖5

雙星系統具有以下特點：a)兩星圍繞它們之間連線上的某一點做勻速圓周運動，兩星的運行周期、角速度相同；b)兩星的向心力大小相等，由二者之間的萬有引力提供；c)兩星的軌道半徑之和等于兩星之間的距離，即r1＋r2＝L，軌道半徑與兩星質量成反比.雙星間的萬有引力提供了它們做圓周運動的向心力，即有

2)多星系統

在宇宙中存在類似于“雙星”的系統，如“三星”“四星”等多星系統，在多星系統中：a)各個天體做圓周運動的周期、角速度相同；b)某一天體做圓周運動的向心力是由其他天體對它引力的合力提供的.

5 知識網絡

萬有引力與宇宙航行的知識網絡如圖6所示.

圖6