注重直觀想象引領深化溯源解法探究落實數學運算素養

◇ 江西 章建榮 劉 臻

史寧中教授曾經說過：“數學教育的最終目標是讓學習者會用數學眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界.”用簡潔的三句話深刻闡述了數學抽象、直觀想象、邏輯推理、數學運算、數學建模、數據分析六大素養.史寧中教授還提出數學基本思想歸結于三大類：抽象思想、推理思想與模型思想.

《普通高中數學課程標準(2017年版)》明確指出著力發展核心素養，其中數學運算就是六大核心素養之一.數學運算素養是指在明晰運算對象的基礎上，依據算法法則準確地解決數學問題的素養.從運算求解能力到數學運算素養是對數學運算的進一步完善與升華.

考試大綱對數學運算能力進行了明確的闡述，運算能力是思維能力和運算技能的結合.運算包括對數字的計算、估值和近似計算，對式子的組合變形與分解變形，對幾何圖形各幾何量的計算求解等.運算能力包括分析運算條件、探究運算方向、選擇運算公式、確定運算程序等一系列過程中的思維能力，也包括在實施運算過程中遇到障礙再調整運算的能力.

解析幾何的考查中，要求學生建立標準方程，運用代數方法進一步認識圓錐曲線的性質以及直線與圓錐曲線的位置關系；借助幾何圖形的特點，形成解決問題的思路，通過直觀想象和代數運算得到結果，并給出幾何解釋，解決問題.考查內容聚焦學生對重要數學概念、定理、方法、思想的理解和應用，強調基礎性、綜合性，注重數學本質、通性通法，淡化解題技巧，融入數學文化.

解析幾何是數學的重要分支，解析幾何問題常常涉及多個知識點，對學生能力要求較高，很多學生在考試中得分不理想.筆者結合一道典型例題的根源與解法探究，談談如何引導學生理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路、選擇運算方法、設計運算程序、求得運算結果，著力培養學生的數學運算素養.

1 問題呈現

題目已知橢圓的右焦點為F，焦距為4，過點F 的直線l與橢圓E 相交于A，B 兩點，點A 關于原點O 的對稱點為C，當l 的斜率存在時，直線AB 和BC 的斜率之積為.

(1)求橢圓E 的方程；

(2)求△OBC 的面積的最大值.

命題意圖本題主要考查橢圓的“第三定義”、橢圓的對稱性、直線與橢圓的位置關系、焦點弦、二次方程的根與系數的關系，考查數形結合思想、化歸與轉化思想，考查邏輯推理和數學運算等核心素養.

2 回歸教材

教材是高考試題命制的出發點和根源，命題人匠心獨具的重要體現就是最終以教材為命題的依歸，所以該試題的命制也依托于教材.

1)北師大版高中數學《選修2－1》70頁第8題和91頁圓的壓縮

△ABC 的兩個頂點A，B 的坐標分別為(－6，0)，(6，0)，邊AC，BC 所在直線的斜率之積為，求頂點C 的軌跡方程，并畫出草圖.

2)人教A 版《選修2－1》第41頁例2以及第50頁B 組第1題

在圓x2＋y2＝4上任取一點P，過點P 作x 軸的垂線段PD，D 為垂足，當點P 在圓上運動時，線段PD 的中點M 的軌跡是什么? 為什么?

通過對上述教材中的問題進行分析與探究，發現可以將橢圓通過仿射變換得到圓.由于圓具有許多優美又簡潔的性質，體現了數學的簡單美、嚴謹美、對稱美、和諧美，故橢圓中也具有類似的性質.換句話說，與橢圓相關的問題由仿射變換可以將橢圓轉化為圓，結合圓的性質求解問題可以大大降低運算量，節省運算時間，也在一定程度上拓寬了研究問題的視野.

3 尋根探源

“前車之鑒，后事之師.”借鑒歷年真題可以給予我們很多啟迪.高考試題來源于教材且高于教材，很多高考試題的背后，都凝聚了命題者的艱辛與心智.調研考試試題命制的靈感就是在歷年真題的體會和研究中產生的.

題目(2015 年全國卷Ⅱ理20)已知橢圓C：9x2＋y2＝m2(m＞0)，直線l不過原點O 且不平行于坐標軸，l與C 有兩個不同的交點A，B，線段AB 的中點為M.

(1)證明：直線OM 的斜率與直線l 的斜率的乘積為定值；

命題意圖本題主要考查與橢圓弦的中點有關的結論、定值、橢圓的性質和直線與橢圓的位置關系，考查數形結合、分類討論思想，考查邏輯推理和數學運算等核心素養.試題的第(2)問是個開放問題，考查學生的創新能力和解決開放性問題的策略與經驗.

如圖1，通過幾何畫板探究，發現直線OM 的斜率與直線AB 的斜率的乘積為定值.

圖1

設A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，則x1＋x2＝2xM，y1＋y2＝2yM，對于橢圓而言，由于A，B 兩點在橢圓上，則即，可以推導出

圖2

設直線l：y＝kx＋b(k ≠0，b ≠0)，A(x1，y1)，B (x2，y2)，M(xM，yM)，仿 照 上 述 推 導過程易知kABkOM＝－9.

圖3

4 解法探究

圖4

解法1令B(x1，y1)，C(x2，y2)，則A(－x2，－y2)，

當直線AB 的斜率存在時，設直線BC：y＝kx＋m(k≠0)，由得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，所以x1＋x2＝所以，所以

又因為點(0，0)到直線y＝kx＋m 的距離為d＝

解法2令A(x1，y1)，B (x2，y2)，則C (－x1，－y1).

當直線AB 的斜率不存在時，則BC 的斜率為0，此時S△OBC＝.

圖5

當直線AB 的斜率存在時，設直線AB：y＝k(x－2)，由得

所以S△OBC的最大值為.

該解法采用化歸轉化思想，因為△OBC 的面積與△OAB 的面積相等，故可以將△OBC 的面積轉化為△OAB 的面積求解，根據分割法可 知，S△OAB＝S△OFB＋S△OFA＝×|OF|·|y1－y2|，得出面積的求解形式后，利用比較判斷，最大值在斜率不存在時取到.

解法3學生使用基本不等式求解最值的方法，如果對基本不等式的理解比較薄弱，則我們還可以利用函數的單調性求解.

所以S△OBC的最大值為.

解 法4令A(x1，y1)，B(x2，y2)，則C(－x1，－y1)，設直 線AB：x ＝ty ＋2，由可 得(t2＋2)·y2＋4ty－4＝0，所以

圖6

當且僅當t＝0時，即直線AB 垂直于x 軸時，△OBC面積取得最大值.

設 直 線 方 程 為x ＝ty ＋2，利 用S△OAB＝S△OFB＋S△OFA＝|OF|·|y1－y2|求解面積，得出面積的求解形式后，利用基本不等式求解.

解法5由解法4知.由三角形面積向量公式，知

當且僅當t＝0時，即直線AB 垂直于x 軸時，△OBC面積取得最大值.

圖7

解法6如圖7所示，由橢圓的第二定義可知|AF2|＝a＋ex1，|BF2|＝a＋ex2，推導得出|AB|＝設直線AB 的傾斜角為θ，所以得所以當且僅當sinθ＝1 時，即直線AB 垂直x 軸時，△OBC 面積取得最大值.

解法7構造仿射變換，則橢圓＋轉化為x′2＋y′2＝8，如圖9所示，則S△OAB＝，欲求S△OAB的面積，只需要求解S△OA′B′的面積即可，設直線A′B′的方程為x′＝my′＋2，所以，所以

當且僅當m ＝0 時，即直線A′B′垂直于x 軸時，△OA′B′面積取得最大值即S△OBCmax＝.

圖8

圖9

該解法利用仿射變換將橢圓的相關問題轉化為圓中的相關問題，使問題變得簡單，優化計算，節約時間.

試題求解的過程中都繞不開迅速且準確地找到運算對象、探究運算思路、選擇運算方法、準確求解運算結果，然而高中教師普遍認為應重視數學思想方法的教學，而忽視了對學生運算能力的培養，導致學生在解題時出現“會而不對，對而不全”的現象.因此，教師要轉變觀念，重視對學生數學運算素養的培養.教師應引導學生從運算對象的理解、運算法則的掌握、運算思路的探究、運算方法的選擇和運算背景的變換等入手，合理設計運算教學，將數學運算素養落實到每節課，著力培養學生的數學運算素養.