一個坐標形式的三角形面積公式的推廣應用

◇ 安徽 劉海濤

在求解三角形面積時，如果給出的是三個頂點的坐標，常規的辦法是利用解析幾何和解三角形的知識來求出邊長、夾角等信息，筆者在教學中發現也可以借助向量和面積公式得出坐標形式的面積公式.在解析幾何問題中，尤其是與橢圓有關的問題中常見到求三角形面積的問題，借助伸縮變換和坐標形式的面積公式，可以簡化這類問題，達到化繁為簡、化難為易的目的，能大大提高解題效率，現與讀者分享.

1 公式呈現

命題1已知△ABC 的三個頂點坐標依次為A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則其面積為，于 是|(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)|.

證明因為(x3－x1，y3－y1)，所以

此公式簡潔對稱，體現出數學的美感，運用此公式能省去求三角形邊長和夾角的過程，利用坐標可直接計算，能有效提高解題速度，節省解題時間.此外，當三角形一個頂點為坐標原點時，可得如下推論.

推論已知△OAB 的兩個頂點坐標依次為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則其面積為

2 公式升華

命題2已知△ABC 的三個頂點坐標依次為A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，△A′B′C′的三個頂點坐標依次為，則(其中m≠0，n≠0).

這個公式主要在處理橢圓問題時有獨到之處，根據伸縮變化可以將橢圓轉化為單位圓，從而將問題放入單位圓中處理，這樣不僅可以使問題變得簡單，而且可以充分利用圓的性質來快速解題.

3 應用舉例

設點C(x0，3x0＋3)，由命題1可知，于是x0＝－1或，故C(－1，0)或C(，8).

此題若用一般解法需要求出AB 和所在直線的方程，求點C 到直線AB 的距離，計算過程與直接使用坐標形式的面積公式相比略顯繁雜，而運用坐標形式的面積公式則可快速得出答案.

此題的一般解法是得出OA 和OB 的長度，借助向量得出∠AOB，然后運用來求面積，而運用命題1 的推論可直接得出面積的表達式，清晰明了.

易知點N 在單位圓上，則|OP|＝|OQ|＝1.

又OP ⊥OQ，所 以S△OPQ＝，由 命 題2，

此題若是采用解析幾何的“設而不求”法來求解，過程復雜，計算量大，容易出錯，題干中“伴隨點”的實質是將橢圓伸縮為單位圓，利用單位圓的相關知識容易得出△OPQ 的面積，再由命題2可求得△OAB 的面積.

設橢圓的內接△ABC 的三個頂點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，考慮對應的三個點從而易知△A′B′C′為單位圓的內接三角形，當△A′B′C′為正三角 形 時，，由 命 題2，S△ABC＝abS△A′B′C′，所以

若直接考慮橢圓內接三角形非常困難，但是將橢圓伸縮為單位圓，考慮單位圓內接三角形則難度驟降，命題2的優點不言自明.

由題意，易知S△PQR＝2S△OPQ，點F(－1，0)，設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，考慮對應的點)，其中點P′，Q′在單位圓上，點F′在單位圓內，且點P′，Q′，F′共線，由圓的性質知，當弦P′Q′以點F′為中點時，(S△OP′Q′)max＝，由 命題2，S△OPQ＝S△OP′Q′，故(S△PQR)max＝3/2.

此題若用“設而不求”法計算，過程煩瑣，采用伸縮變換使得問題簡化.另外本題用到了伸縮變換的重要性質：共線的三點經過伸縮變換后的對應三點依然共線.

坐標系的出現讓幾何的研究更加便捷，用坐標來表示一些幾何量正是解析幾何的魅力所在.