等差乘等比型數(shù)列求和的另類解法
——構(gòu)造數(shù)列法

趙圣濤 武金仙

(山東省淄博中學(xué) 255000)

已知數(shù)列{an}滿足an=bncn，其中{bn}是等差數(shù)列，{cn}是公比不為1的等比數(shù)列.數(shù)列{an}通常稱為等差乘等比型數(shù)列. 該類數(shù)列求和的常規(guī)方法是錯(cuò)位相減法，除此之外，文獻(xiàn)[1]中筆者從構(gòu)造常數(shù)列的角度另辟蹊徑，為該類問題的求解提供了一個(gè)新思路，本文分別從構(gòu)造常數(shù)列和等比數(shù)列的角度，又探索出了兩種求和方法，現(xiàn)將其介紹如下：

一、方法介紹

不失一般性，設(shè)等差乘等比型數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=(kn+b)qn，(其中k,b,q均為常數(shù)，且q≠1)，其前n項(xiàng)和記為Sn.

方法1：構(gòu)造常數(shù)列{Sn+(xn+y)qn}.

對(duì)數(shù)列{an}，由an=(kn+b)qn(q≠1)得an+1=[k(n+1)+b]qn+1，由an與Sn的關(guān)系，可得關(guān)于數(shù)列{Sn}的遞推關(guān)系式:Sn+1=Sn+(kn+k+b)qn+1①，下面我們考慮將該式轉(zhuǎn)化成某一常數(shù)列的遞推關(guān)系式的形式.設(shè)Sn+1+[x(n+1)+y]qn+1=Sn+(xn+y)qn，其中x,y是待定常數(shù). 整理得：

常數(shù)x,y確定后，即得常數(shù)列{Sn+(xn+y)qn}，所以Sn+(xn+y)qn=a1+(x+y)q，即Sn=-(xn+y)qn+a1+(x+y)q.

縱觀上述方法，其共同點(diǎn)是均應(yīng)用了構(gòu)造數(shù)列的思想，計(jì)算量小，運(yùn)算技巧的能力要求低，學(xué)生易于掌握. 方法1和文獻(xiàn)[1]中的方法雖然都是構(gòu)造常數(shù)列，但二者角度有所不同，方法1和其相比，思路更加簡(jiǎn)潔，形式簡(jiǎn)單，同時(shí)方法1和2在求解過程中均用到了待定系數(shù)法.

二、方法應(yīng)用

例1已知數(shù)列{an}滿足an=(2n-1)3n，求該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.

方法1：構(gòu)造常數(shù)列{Sn-(xn+y)3n}.

由an=(2n-1)3n得Sn+1=Sn+(2n+1)3n+1③.

設(shè)Sn+1+[x(n+1)+y]·3n+1=Sn+(xn+y)·3n，其中x,y是待定常數(shù).

解得x=3,y=-3.所以數(shù)列{Sn-(n-1)3n+1}為常數(shù)列，由Sn-(n-1)3n+1=a1=3得Sn=(n-1)3n+1+3.