例談變換在高中數學的應用

楊偉達 楊家雋

(1.廣東省廣州市花都區第二中學 510800;2.廣東省廣州市花都區實驗中學 510800)

在解題教學中，轉化與化歸不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數學思維方式.其中變換是轉化和化歸的一種形式，在解題中常常用到.如變換位置、變換數值、變換視角等，它往往會激起學生的思維之花，開啟數學思維之門，在解題中起到四兩撥千斤的效果.

一、變換位置

有這樣的一類幾何題，直接用傳統方法求解、證明往往比較困難，此時需要轉化思路，尋找等價條件，變換一個位置，此時問題就會迎刃而解.變換位置常常有變換點、變換線、變換角等.

1.換點

在等價條件下，用某個點替換另一點達到快速解題.這一方法常常成了解決立體幾何中線面距離的常規手法．

分析利用傳統方法作垂線求點F到平面BED的距離比較困難，不妨利用線面平行的性質，轉移到另一點位置，從而轉化為求另一個點到面的距離(方便求得)．再利用等體積法間接求高.

解(1)略.(2)略.

(3)如圖2，由(1)FG∥平面BED.

2.換線

有這樣的一類題，在涉及線段長度之和時，用某一線段替換一線段，以直代曲，從而達到方便解題．比如幾段線段之和求最值問題等，在幾何中時常碰到的題型．

分析本題考查了立體幾何兩動點問題，在涉及兩段或兩段以上的線段之和，通常采用以直代曲即可解決．本題最根本的辦法是轉化為同一平面，找對稱、找全等，目的是替換某線段長度，最終達到兩點間線段最短．

3.換角

有這樣的一類題，在等價的條件下，通過平移(或者替換)一條線段或兩條線段，達到角度的變換，進而可將問題解決．比如，空間角轉化為平面角、弦切角、圓周角等等．

分析在涉及求異面直線的夾角時，常常平移直線到某一點．解題的策略是異面問題轉化為平面問題，找到平面上的點，進而找到異面直線的夾角.

解如圖4，補上如圖所示的相同長方體CDEF-C1D1E1F1，連接DE1，B1E1.

故選C.

二、變換數值

有這樣的一類題，直接解題比較困難，發現某一結構類似，比對結構，缺什么補什么，發現某值可以用另一種形式替換，變換數值后，結構齊整，用熟悉的方法即可將問題解決.

分析可將1替換成sin2α+cos2α，采用弦化切，原式可化為含有正切的函數式，代入，計算，求值.

三、變換視角

有這樣的一類題，可以從多角度思考，變換視角后，發現這一式子可以用另一個視角去審題，去思考，此時解題常常會豁然開朗．比如數形轉換、主元轉換、函數與方程轉換等等，這種方法另辟蹊徑，簡單明了，對解題起到事半功倍的效果．