二次根式化簡求值的解法和推廣

洪 云 胡仁建

(1.福建省漳州市第三中學 363000；2. 重慶市潼南區康樂小學 402660)

二次根式的化簡和運算是中學數學的重要內容之一,也是數學競賽中的常見題型.二次根式的化簡,除了掌握基本概念和運算法則外,應根據根式的具體結構特征,靈活選用一些特殊的方法和技巧，不僅可以化難為易、化繁為簡,提高解題速度,收到事半功倍的效果,而且有助于培養分析問題、解決問題的能力及探索求新的學習習慣.以下就幾類常用的方法和技巧舉例說明.

一、拆裂項及因式分解

解析本題的關鍵是將分子中的8拆數配方因式分解，進而約分求得結果.

二、運用逆運算

解析本題的關鍵是巧用積的乘方的逆運算：anbn=(ab)n.

三、換元思想

當二次根式結構復雜，可以通過換元，將結論的形式轉化為簡單形式，以便于發現解題規律.

四、構造方程

兩邊平方，得x2=5x，即x(x-5)=0

五、配方法

無獨有偶，我們來看北京某中學高一試題;

考點： 二次根式的化簡.

此試題其他解法.

(方法二)：運用特殊角的三角函數值求解.

(方法三)：觀察二次根式的結構特點，找出通法.

同類延伸推廣.

這道推廣題用原題的方法，分子分母同乘某個數來化簡，顯然不易.

1.觀察分子頭尾兩項二次根式的特點，采用三角函數法來化簡.

2.此類二次根式化簡的通性通法.

縱觀二次根式化簡求值，常見方法有公式法、拆項法、倒數法、約分法、配方法、平方法、換元法等，

筆者認為培養學生的運算能力，夯實基礎，加強訓練梯度，教師既不能以簡單題重復訓練為主，也不能一味將學生置于大量繁瑣的復雜運算問題之中，而應以螺旋式上升為主的梯度式訓練，注重觀察、思考，找出通性通法，有效提高運算能力、鍛煉數學思維，從而使學生具備良好的數學核心素養.