撥開迷霧弄清性質 遠離陷阱搞定函數

蔣 敏

(四川省南充龍門中學 637130)

函數是高中數學的重要內容之一，它引入了變量，在動態中探尋數學的秘密.然而，同學們在學習過程中往往會產生比較大的困難，比如思維上有漏洞，忽視一些基本原則，方法混亂瞎套用等，如何才能以不變應萬變，妙解一題，精解一類？

一、定義域優先原則

對函數定義域的考查常常是通過函數性質或函數應用來考查的,且具有較強的隱蔽性.所以,在研究函數問題時必須樹立起“定義域優先”的觀點.許多同學就是因為忽視了函數定義域而導致解題錯誤.

例1已知函數f(x)=log3x+2,x∈[1,9]，求函數g(x)=[f(x)]2+f(x2)的值域.

令log3x=t,t∈[0,1]，則y=t2+6t+6在[0,1]上單調遞增，所以值域為[6,13].

評注本題如果不思考g(x)的定義域，則缺少函數的三要素之一，從而導致值域錯誤.

例2已知奇函數f(x)是定義在(-3，3)上的減函數，求不等式f(x-3)+f(x2-3)<0的解集.

評注這個不等式問題本質還是函數問題，確定一個函數必須優先求出定義域，這樣才能保證求解的范圍不被放大.

二、單調性是函數的局部性質

函數的單調性也叫增減性，是刻畫函數形態的一個重要性質.函數的單調性是對某個區間而言的,它是一個局部概念.

現象一：忽視分段函數在定義域分界點附近的單調性.

評注“分而不斷”是分段函數的最重要特點，本題中函數除了在各段上單調遞減外，還要保證整個函數在定義域內單調遞減，求解中容易忽略函數在定義域分界點附近的單調性，從而錯選A答案.

簡解函數f(x)在R上為增函數，則：

現象二:混淆“在區間上單調”、“單調區間是”、“存在單調區間”等詞意.

例4 函數y=-x2+2mx+5在[1,+∞)上為減函數，則實數m的取值范圍是( ).

A.m≤1 B.m≥1 C.m≤-1 D.m≥-1

解析由函數y=-x2+2mx+5在[1,+∞)上為減函數，且該二次函數的對稱軸為x=m，所以由數形結合知：m≤1，故選A答案.

評注本題容易錯誤理解為函數y=-x2+2mx+5的單調減區間是[1,+∞)，從而得出m=1的錯誤結論.在解題中要注意，“在區間上單調”指該區間是函數相應單調區間的子區間；“單調區間”是指該區間就是函數的相應最大單調區間；“存在單調區間”指該區間內有相應單調性，也可能有別的單調性，即該區間內可能既有增區間，也有減區間.

變式函數y=x2+2(1-t)x-8的單調增區間為[2,+)，則實數t的取值范圍是____.

簡解因為函數y=x2+2(1-t)x-8的單調增區間為[2,+)，所以t-1=2，即t=3.

三、奇偶性是函數的整體性質

現象一：在函數的奇偶性問題中錯用或未關注“定義域關于原點對稱”.

例5 已知函數f(x)的定義域為(3-2a,a+1)，且f(x+1)為偶函數，則實數a的值可以是( ).

解析函數f(x+1)的圖象是由函數f(x)的圖象向左平移1個單位得到，所以函數f(x+1)的定義域為(2-2a,a).又f(x+1)為偶函數，且偶函數定義域關于原點對稱，則2-2a=-a，即a=2.故選擇B選項.

評注若沒有關注奇(偶)函數的定義域關于原點對稱的性質，很可能錯誤地認為3-2a=-(a+1)，得到a=4，從而錯選成選項C.

A.奇函數

B.偶函數

C.既是奇函數又是偶函數

D.既不是奇函數也不是偶函數

現象二：不能熟練應用“奇函數f(x)若在x=0處有定義，則f(0)=0”的結論.

例6 定義在R上的奇函數f(x)滿足當x>0時，f(x)=2014x+log2014x，則在R上函數f(x)的零點個數為____.

評注本題中若沒有注意到“奇函數f(x)若在x=0處有定義，則f(0)=0”的結論，很容易得出在R上函數f(x)的零點個數為2的錯誤結論.

變式2 已知f(x)是定義在R上的奇函數，在區間(0,+)上單調遞減，且則函數f(x)的零點個數為____.

現象三：復合函數奇偶性中錯將含自變量的代數式當成自變量.

例7 函數f(x)的定義域為R，若f(x+1)與f(x-1)都是奇函數，則( ).

A.f(x)是偶函數 B.f(x)是奇函數

C.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函數

在Leeway模型的基礎上，首先基于內河流場的統計特征，建立風流影響下漂移速度預測模型，利用風流場數據的不確定性特征不斷更新失蹤物體的可能位置，然后結合航道岸線特征，預測失蹤物體最終可能漂移終點位置的分布情況。

解析由f(x+1)與f(x-1)都是奇函數，可得：

則-f(x+2)=-f(x-2)，∴f(x)=f(x+4).故函數f(x)是以4為周期的周期函數.又由f(x-1)=-f(-x-1)得f(x-1+4)=-f(-x-1+4)，即f(x+3)=-f(-x+3)，∴函數f(x+3)是奇函數，選D.

變式已知函數y=f(2x+1)是偶函數，且f(2)=3，則f(0)=____.

解析∵函數y=f(2x+1)是偶函數，∴f(2x+1)=f(-2x+1)，故可得到f(x+1)=f(-x+1)，∴f(0)=f(2)=3.

現象四：分段函數奇偶性的分段處理上忽視“-x”的范圍.

B.是偶函數

C.既是奇函數又是偶函數

D.既不是奇函數也不是偶函數

解析當x<-1時，-x>1，則f(-x)=-(-x)2+2=-(x2-2)=-f(x)；當|x|≤1時，

f(-x)=0=-f(x)；當x>1時，-x<-1，則f(-x)=(-x)2-2=-(-x2+2)=-f(x).

所以恒有f(-x)=-f(x)，即函數f(x)為奇函數，選A.

A.奇函數 B.偶函數

C.既是奇函數又是偶函數

D.既不是奇函數也不是偶函數