簡化含參不等式問題的解法

段彩云

(甘肅省慶陽市寧縣職業中等專業學校 745200)

一、化為二次函數

例1關于x的不等式k(k-1)x+8k+1>0當k是任意實數時恒成立，求實數x的取值范圍.

解將不等式整理為關于k的不等式.

xk2-(x-8)k+1>0.

點評若本例直接求解x,則要分三類討論，需求較復雜的函數值域問題，計算量很大，而本例解法中，巧妙變更主元，化為熟知的二次不等式恒成立問題的形式，再用相應的二次函數圖象位置特征，解法自然而方便.

二、化為一次函數

例2設不等式2x-1>m(x2-1)當|m|≤2時恒成立，求x的取值范圍.

解首先將不等式整理成為關于m的不等式

(x2-1)m+(1-2x)<0.

點評對于例2的題目，如果直接求解x，需要極其繁雜的解題討論過程，如果變更主元，求出m,也需要分多類討論求解.而該例解法中采用了化為極簡單的一次函數圖象問題，其效果既直觀理解又顯簡單化.

三、數形結合

例3 當不等式t2-mt+2m-2<0,t∈[0,1]時恒成立，求實數m的取值范圍.

解將不等式分項整理為m(t-2)>t2-2.視該不等式的兩端分別是兩個函數,記y1=m(t-2),y2=t2-2,t∈[0,1].在同一坐標中畫出兩個函數圖象,y1的圖象是過點(2,0),斜率為m的線段,y2的圖象是拋物線的一段.要使y1>y2,只要使y1的圖象在y2的圖象的上方.畫出兩個圖象可以看出,當y1的斜率m<1時,恒有y1>y2,從而得到m的取值范圍是(-∞，1).

點評本例題中，將不等式分解為一次函數和二次函數這兩個熟知的函數，結合一次函數和二次函數圖象的位置關系，不算而解，極其簡便.

四、分離變量

例4 若不等式t2-mt+2m-2>0,當t∈[0,1]時恒成立,求實數m的取值范圍.

點評本例題中,將參數m分離出,化為m>f(t)的形式,只需再求出f(t)的最大值P,則當m>P時,不等式恒成立.由此可以得知,分離參數以后,只需求出目標函數的最值即可.

五、換元化簡

當表達式繁雜或者條件與結論關系不明確時，可以考慮采用換元方法，使題目變得簡化，關系明顯，便于求解問題.