巧用“構造相似比”解向量與三角形的綜合問題

謝玉平

(廣西南寧市第二中學 530022)

相似三角形的一切對應線段(對應中線，對應高，對應角平分線，外接圓的半徑，內切圓的半徑)的比等于相似比.高考考查的平面向量和解斜三角形的綜合題中變量之間的關系不好找，思維量和計算量都很大，學生往往很難得到正確結果，以至于很多學生直接放棄這一類型的考題.其實平面向量和斜三角形中的很多點都是一些特殊線段的交點，如果利用構造相似三角形借助相似比來解決這類問題，思維量和計算量都相對較小，可以實現化繁為簡，一解服務多題的功效.

常用解法：解方程組法.

評析此題考查的是平面向量基本定理問題中確定基底系數的問題.既是高考考查的重點也是難點.用解方程組法解此題除了運算量大容易出錯外，兩個方程的構建也有一定的難度，理解不到位的學生可能兩個方程都是用CM或者BN來表示，導致后面化簡出來的等式是恒等式，解不出系數.

構造相似比法：

解過M作MH∥AN，交BN于H.

評析如果知道點E在線段CM上的具體位置，那么用向量加法和減法法則進行加減代換，就可以確定基底的系數了.點M，點N的位置是確定的，通過構造相似比可以求出點E是CM的一個等分點，即點E的位置可以確定.

變式1如圖1，已知△ABC的面積為14cm2，D，E分別為邊AB，BC上的點，且AD∶DB=BE∶EC=2∶1，AE，CD交于點P，則△APC的面積為____cm2.

構造相似比法.

過D作DH∥AE,交BC于H.

評析如果知道點P在線段CD上的具體位置，那么用向量加法和減法法則進行加減代換，就可以確定基底的系數了.點D，點E的位置是確定的，通過構造相似比便可以求出點P是線段CD上的幾等分點.

常見解法：利用余弦定理建立等量關系.

解cos∠ABC

設AC=3b,BC=a，在△ABC中由余弦定理可得:

在△DBA和△DBC中，

因為cos∠ADB=-cos∠BDC,

由余弦定理可得

所以3b2-a2=-6 ②.

由①②可得a=3,b=1,即BC=3.

評析此題考查的是解三角形問題.容易想到用余弦定理建立方程，但是在哪個三角形中使用余弦定理可能要進行一定的思考，三角形選擇得不得當，運算量會增大，況且上面解法的運算量也不小.

構造相似比解法.

解cos∠ABC

設BC=x，在△BDE中由余弦定理有：BD2=BE2+DE2-2BE·DE·cos∠BED，

評析通過作平行線構造相似比，可以把題目中的三個已知條件同時放在△BDE中，建立方程的方向一目了然，大大降低了運算量和思維量.

構造相似比解法.

過D作DH∥AB，交AC于H.在△ADH中由余弦定理有：

AD2=HA2+HD2-2HA·HD·cos∠AHD

評析通過作平行線構造相似比，把題目中的三個已知條件同時放在△ADH中，通過余弦定理可以直接求出AD長，簡捷易算.