由一道數學競賽試題想到的

鄧 波

(貴州省織金縣第六中學 552100)

無意中，看到了手機百度推送的一道1948年莫斯科數學奧林匹克競賽題：在自然數范圍內解方程xy=yx(x≠y).我們一般會想到通過比較xy與yx的大小來完成這道題的解答.注意：在以前，自然數是不包括0的.

很明顯，x、y均不等于1，否則x=y.也就是x、y均為大于或等于2的正整數.我們可以用數學歸納法證明：

當a≥5時，2a>a2；

當b>a≥3時，ab>ba.

對于前者，當a=5時，25=32>25=52.

設a=k時不等式成立，即2k>k2,

則當a=k+1時，2k+1=2k×2>k2×2=k2+k2>k2+2k+1(只要k≥3)=(k+1)2.

因此，前一個不等式成立.

對于后者，我們先證：當a≥3時，aa+1>(a+1)a.

再證后一個不等式.后一個不等式可變為：

aa+k>(a+k)a,k≥1為正整數.

當k=1時，上面已證，此時不等式成立.

設k=r時成立，即aa+r>(a+r)a,

則當k=r+1時，aa+r+1=aa+r·a>(a+r)a·a=

由數學歸納原理知，后一個不等式成立.

對于后一個不等式，我們利用導數證明更容易.這里就不作討論.

由上面后一個不等式得知，方程xy=yx滿足x

在百度視頻中給出的解答如下：

(1)x,y均大于或等于2；

(2)存在自然數a,使xy=yx=ab，b為最大的自然數.(這里很明顯a>1)

得出x=am,y=an(m,n都是正整數).

不妨設y>x,那么n>m,代入原方程得

amy=anx，my=nx,

y=kx.

xk-1=k(x≥2，k≥2)(注意，這時n=mk，y=an=amk=(am)k=xk，所以kx=xk).

這個方程只有一個解：x=2，k=2.

從而y=kx=2×2=4.

x=2,y=4是這個方程的解,由方程的對稱性知y=2,x=4也是這個方程的解.

于是，這個方程只有兩個解(x，y)=(2,4)和(4,2).

但是，只要我們稍加留意，就會問怎么從xy=yx=ab，b為最大的自然數，得出x=am,y=an.下面就來探討這個問題.

其實，要證實解題中用到的結論，也就是要證明下面的:

命題1m,n都是大于或等于1的自然數，如果把mn寫成指數最大(也就是底數最小)的冪為ab，那么m=al，l為非0自然數.

并不那么簡單.

證明當m=1時，必有a=1，這時命題成立.下設m>1,自然有a>1.

下面我們證明m=al.

能不能在證明中避開整數的分解唯一性定理呢？經過我們思考，發現這是可以做到的.

我們先證

命題2 對正整數a,b,m,n,(m,n)=1，如果滿足am=bn，那么存在自然數c,使得am=bn=cmn.

證明當a=1時，自然有b=1,這時c=1命題成立.

下設a>1,自然有b>1.因為(m,n)=1，由輾轉相除法(即Euclid算法)(可參見[1]、[2]、[3])可知：存在整數s,t，使ms+nt=1，于是，a=a1=ams+nt=ams·ant=(bn)s·ant=(bsat)n.因為a,n為正整數，s,t是整數，bsat是正整數或者正分數，由上式用反證法可證bsat一定是正整數.

設bsat=c,則有am=(cn)m=cnm，于是am=bn=cmn.

下面由命題2證明解題中用到的、由前面的命題1可推導出來的下面命題:

對正整數a,b,m,n，如果am=bn,那么存在正整數c使得a=cl，b=cd，這里l,d均為正整數.

注意，這里的c沒有解題中或命題Ⅰ中的限制.