一類有關具體函數圖象對稱中心問題的研究

武增明

(云南省玉溪第一中學 653100)

高中數學學習過程中，我們知道，一些具體函數圖象是有對稱中心的，常見的具體函數有常數函數、一次函數、三次函數、反比例函數、正弦函數、余弦函數、正切函數.筆者在這里與讀者一起要研究的主要是，一類由上述函數構成的具體函數且函數圖象具有對稱中心的有關問題.同時，溫馨提醒同學們要有函數圖象的對稱中心意識，也供同仁們在教學中作參考，希望能起到拋磚引玉的作用.

一、重要性質

性質3若函數f(x)是奇函數，則函數g(x)=f(x-a)+b的圖象關于點(a，b)對稱.

二、有關一般函數圖象的對稱中心問題

又-1≤cosπx≤1，于是，當x>4時，-2

因為f(β)=-10，從而β∈(3，4)且是唯一的.

同理，由函數y=(x-2)(x-3)及y=-sinπx的圖象，知當x∈(1，2)時，f′(x)>0，所以函數f(x)在(1，2)上單調遞增，且f(1)=0.

又-1≤cosπx≤1，于是，當x<1時，-1

因為f(α)=10，從而α∈(1，2)且是唯一的.

所以函數f(x)的圖象關于點(0，2)對稱，從而f(x)max+f(x)min=4，即m+n=4.

(2)本題先將原函數進行化簡，然后利用函數y=f(x)的圖象關于點(0，2)對稱，求得m+n=4，并不需要分別求出m與n的值.事實上，要分別求出m與n的值是非常困難的，甚至幾乎求不出來.(3)若沒有想到函數y=f(x)的圖象是否關于點對稱，進而用相關性質解答，而嘗試用導數的知識分別去求m與n的具體數值，就會深陷泥沼，無法自拔了.

三、一類分式型函數圖象的對稱中心問題

1.問題的提出

2.問題的探究

f(x)=3+g[x+(a+2)]，當a+2=0，即a=-2時，將函數g(x)的圖象向上平移3個單位，得到函數f(x)的圖象，其圖象關于點(0，3)對稱.

當a+2>0，即a>-2時，將函數g(x)的圖象向左平移a+2個單位，再向上平移3個單位，得到函數f(x)的圖象，其圖象關于點(-a-2，3)對稱.

當a+2<0，即a<-2時，同理可得函數f(x)的圖象關于點(a+2，3)對稱.

3.一點反思

凡是同學們提出的問題是合理的，我們都要熱情地、耐心地、認真地、千方百計地幫助和引導，鼓勵同學們大膽地用合作探究的方式去加以解決.

四、有關三次函數圖象的對稱中心問題

例3 (2016年全國數學聯賽山東省預賽試題)設α，β分別滿足方程α3-3α2+5α-4=0，β3-3β2+5β-2=0，則α+β=____.

解析觀察題目條件α3-3α2+5α-4=0，β3-3β2+5β-2=0，想到設f(x)=x3-3x2+5x，則f(α)=4，f(β)=2.

因為三次函數f(x)=x3-3x2+5x的圖象的對稱中心為(1，3)，f′(x)=3x2-6x+5>0對x∈R恒成立，故f(x)在R上單調遞增.

評注(1)若沒有想到三次函數的圖象的對稱中心，則很難求解.(2)要求出α，β的值，是很困難的.

例4 (2012年高考四川卷·文12)設函數f(x)=(x-3)3+x-1，{an}是公差不為0的等差數列，f(a1)+f(a2)+…+f(a7)=14，則a1+a2+…+a7=( ).

A. 0 B. 7 C. 14 D. 21

解f(x)=(x-3)3+x-1=x3-9x2+28x-28，f(x)是關于點(3，2)成中心對稱的增函數.

∵f(a1)+f(a2)+…+f(a7)=14，

∴f(a4)=2， ∴(a4-3)3+a4-1=2，

∴a4=3.

∵{an}是等差數列，

∴a1+a2+…+a7=7a4=21，故選D.

評注此題解法較多，只有利用三次函數f(x)=x3-9x2+28x-28是關于點(3，2)成中心對稱的增函數來解答最簡捷.

五、一組變式題

下面給出一組變式題目，供同學們訓練，也供同仁們在教學中作參考.

1.已知函數f(x)=x3-9x2+29x-30，實數m，n滿足f(m)=-12，f(n)=18，則m+n=____.

2.已知實數x，y滿足x3+5x-3=3x2+1，y3+5y-1=3y2+1，則x+y=____.

A. (-4，6) B. (-2，3)

C. (-4，3) D. (-2，6)

A. (2，3) B. (2，0) C. (3，2) D. (3，0)

參考答案為：1. 6； 2. 2； 3. B； 4. A； 5. 5； 6. 4.