選擇適當(dāng)數(shù)學(xué)模型 提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力

陳海珍

(福建省寧德市古田縣第六中學(xué) 352200)

數(shù)學(xué)運(yùn)算作為《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》一文在“課程基本理念”中創(chuàng)新性提煉出的六大核心素養(yǎng)之一.數(shù)學(xué)運(yùn)算能力能夠比較準(zhǔn)確地反映出一名學(xué)生的綜合能力，也直接影響著學(xué)生的考試水平.正確掌握與探究數(shù)學(xué)運(yùn)算的原理以及破解問題的實(shí)踐是有效提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的重要方面.合理選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，將實(shí)際數(shù)學(xué)問題加以有效歸類與轉(zhuǎn)化，對(duì)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力極有成效.

一、函數(shù)模型

例1(2019年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅲ理科第11題；文科第12題)設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在(0，+∞)單調(diào)遞減，則( ).

分析選擇滿足題目條件的特殊函數(shù)模型，有針對(duì)性地分析與比較，從而得以確定抽象函數(shù)值的大小關(guān)系問題.

點(diǎn)評(píng)常見思維是利用抽象函數(shù)的性質(zhì)來分析，比較繁瑣.而通過選取滿足條件信息的數(shù)學(xué)模型——特殊函數(shù)，可以快速準(zhǔn)確地解答相關(guān)的函數(shù)問題，進(jìn)而得以判斷.解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)題目條件選取簡(jiǎn)單的滿足題目條件的數(shù)學(xué)模型——基本初等函數(shù)，熟練掌握基本初等函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)是利用特殊函數(shù)法解決問題的關(guān)鍵.

二、方程模型

分析引入相關(guān)的參數(shù)，通過構(gòu)造對(duì)應(yīng)的二次方程，結(jié)合方程有解的特征，利用判別式法來確定代數(shù)式的最值問題.

點(diǎn)評(píng)常見思維是利用借助基本不等式法來處理.而借助相應(yīng)的方程模型的構(gòu)造，引入?yún)?shù)，通過方程的轉(zhuǎn)化，結(jié)合方程有解的前提條件，利用方程的判別式法加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用即可.構(gòu)造方程模型對(duì)于破解最值、參數(shù)值的取值范圍等相關(guān)的數(shù)學(xué)問題有奇效.

三、圖形模型

例3(2019年高考數(shù)學(xué)北京卷理科第8題)數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：x2+y2=1+|x|y就是其中之一(如圖1)，給出下列三個(gè)結(jié)論：

①曲線C恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))；

③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是( ).

A.① B.② C.①② D.①②③

分析根據(jù)題目條件，選擇網(wǎng)絡(luò)圖形，把“心形”圖放在網(wǎng)格圖中，借助網(wǎng)絡(luò)圖形的直觀性加以分析與判斷.

點(diǎn)評(píng)常見思維是利用邏輯推理法來分析與處理.而通過圖形模型的建立，數(shù)形結(jié)合法處理，借助平面直角坐標(biāo)系對(duì)應(yīng)的網(wǎng)格圖，可以直觀快捷地解決問題，省時(shí)省力，減少數(shù)學(xué)運(yùn)算與推理過程，解題效益高.

四、平面幾何模型

分析根據(jù)題目條件，合理選擇與題目條件對(duì)應(yīng)的直觀平面幾何模型——三角形，借助三角形的直觀性，通過解平面幾何來處理相應(yīng)的解三角形問題.

點(diǎn)評(píng)常見思維是借助余弦定理加以轉(zhuǎn)化，進(jìn)而確定邊長(zhǎng)c的值，再結(jié)合三角形的面積公式來處理.而這里借助平面幾何圖形的直觀形象，利用直角三角形的性質(zhì)與三角函數(shù)的定義來處理，巧妙通過勾股定理來確定邊長(zhǎng)c的值，處理起來直觀有效，簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)運(yùn)算，破解起來也比較方便，簡(jiǎn)單易操作.

五、解析幾何模型

分析根據(jù)題目中相關(guān)的三角關(guān)系式的特征，構(gòu)造單位圓模型，借助直線與單位圓的關(guān)系，把三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為解析幾何問題來處理.

點(diǎn)評(píng)常見思維是利用三角函數(shù)公式合理切入，通過三角恒等變換公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式等加以處理，借助化歸與轉(zhuǎn)化思想，利用三角函數(shù)思維來進(jìn)行分析與求解.而通過題目條件，巧妙借助解析幾何中的單位圓的建立，通過直線與單位圓關(guān)系轉(zhuǎn)化法來分析與處理，顯得更為直觀，破解起來更為方便，數(shù)學(xué)運(yùn)算更為簡(jiǎn)單.

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)與提高是一個(gè)貫穿學(xué)生整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一條主要鏈條與脈絡(luò)，教師應(yīng)加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)，有效提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，借助不同數(shù)學(xué)運(yùn)算方式的比較、感悟，不同數(shù)學(xué)模型的構(gòu)造、選擇，加深對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與掌握，準(zhǔn)確掌握運(yùn)算規(guī)律，有效優(yōu)化數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，提升數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng).