選擇適當數(shù)學模型 提升數(shù)學運算能力

陳海珍

(福建省寧德市古田縣第六中學 352200)

數(shù)學運算作為《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》一文在“課程基本理念”中創(chuàng)新性提煉出的六大核心素養(yǎng)之一.數(shù)學運算能力能夠比較準確地反映出一名學生的綜合能力，也直接影響著學生的考試水平.正確掌握與探究數(shù)學運算的原理以及破解問題的實踐是有效提升數(shù)學運算能力的重要方面.合理選擇適當?shù)臄?shù)學模型，將實際數(shù)學問題加以有效歸類與轉(zhuǎn)化，對提升學生的數(shù)學運算能力極有成效.

一、函數(shù)模型

例1(2019年高考數(shù)學全國卷Ⅲ理科第11題；文科第12題)設f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，且在(0，+∞)單調(diào)遞減，則( ).

分析選擇滿足題目條件的特殊函數(shù)模型，有針對性地分析與比較，從而得以確定抽象函數(shù)值的大小關系問題.

點評常見思維是利用抽象函數(shù)的性質(zhì)來分析，比較繁瑣.而通過選取滿足條件信息的數(shù)學模型——特殊函數(shù)，可以快速準確地解答相關的函數(shù)問題，進而得以判斷.解決此類問題的關鍵是根據(jù)題目條件選取簡單的滿足題目條件的數(shù)學模型——基本初等函數(shù)，熟練掌握基本初等函數(shù)的相關性質(zhì)是利用特殊函數(shù)法解決問題的關鍵.

二、方程模型

分析引入相關的參數(shù)，通過構造對應的二次方程，結(jié)合方程有解的特征，利用判別式法來確定代數(shù)式的最值問題.

點評常見思維是利用借助基本不等式法來處理.而借助相應的方程模型的構造，引入?yún)?shù)，通過方程的轉(zhuǎn)化，結(jié)合方程有解的前提條件，利用方程的判別式法加以轉(zhuǎn)化與應用即可.構造方程模型對于破解最值、參數(shù)值的取值范圍等相關的數(shù)學問題有奇效.

三、圖形模型

例3(2019年高考數(shù)學北京卷理科第8題)數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：x2+y2=1+|x|y就是其中之一(如圖1)，給出下列三個結(jié)論：

①曲線C恰好經(jīng)過6個整點(即橫、縱坐標均為整數(shù)的點)；

③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.

其中，所有正確結(jié)論的序號是( ).

A.① B.② C.①② D.①②③

分析根據(jù)題目條件，選擇網(wǎng)絡圖形，把“心形”圖放在網(wǎng)格圖中，借助網(wǎng)絡圖形的直觀性加以分析與判斷.

點評常見思維是利用邏輯推理法來分析與處理.而通過圖形模型的建立，數(shù)形結(jié)合法處理，借助平面直角坐標系對應的網(wǎng)格圖，可以直觀快捷地解決問題，省時省力，減少數(shù)學運算與推理過程，解題效益高.

四、平面幾何模型

分析根據(jù)題目條件，合理選擇與題目條件對應的直觀平面幾何模型——三角形，借助三角形的直觀性，通過解平面幾何來處理相應的解三角形問題.

點評常見思維是借助余弦定理加以轉(zhuǎn)化，進而確定邊長c的值，再結(jié)合三角形的面積公式來處理.而這里借助平面幾何圖形的直觀形象，利用直角三角形的性質(zhì)與三角函數(shù)的定義來處理，巧妙通過勾股定理來確定邊長c的值，處理起來直觀有效，簡化數(shù)學運算，破解起來也比較方便，簡單易操作.

五、解析幾何模型

分析根據(jù)題目中相關的三角關系式的特征，構造單位圓模型，借助直線與單位圓的關系，把三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為解析幾何問題來處理.

點評常見思維是利用三角函數(shù)公式合理切入，通過三角恒等變換公式以及同角三角函數(shù)基本關系式等加以處理，借助化歸與轉(zhuǎn)化思想，利用三角函數(shù)思維來進行分析與求解.而通過題目條件，巧妙借助解析幾何中的單位圓的建立，通過直線與單位圓關系轉(zhuǎn)化法來分析與處理，顯得更為直觀，破解起來更為方便，數(shù)學運算更為簡單.

數(shù)學運算能力的培養(yǎng)與提高是一個貫穿學生整個數(shù)學學習的一條主要鏈條與脈絡，教師應加強對學生數(shù)學運算能力的培養(yǎng)，有效提高學生學習數(shù)學的興趣，借助不同數(shù)學運算方式的比較、感悟，不同數(shù)學模型的構造、選擇，加深對相關數(shù)學概念與數(shù)學知識的理解與掌握，準確掌握運算規(guī)律，有效優(yōu)化數(shù)學思維品質(zhì)，提升數(shù)學能力，培養(yǎng)數(shù)學素養(yǎng).