例談導數定義法求不定式極限的策略

紀定春 姜艷紅 蔣紅珠

(1.四川師范大學數學科學學院 610068；2.四川省資中縣第一中學 641200;3.廣東省廣州市廣東華南師范大學數學科學學院 510631)

一、導數定義與不定式極限簡介

導數定義設函數y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率為

這就是函數定義在點x=x0處的導數.

不定式極限若函數f和g滿足

二、導數定義法求不定式極限的策略

1.直接利用導數定義法

例1(2017年全國高考數學文科卷Ⅱ第21題)設函數f(x)=(1-x2)ex.

(1)討論f(x)的單調性；

(2)當x≥0時，f(x)≤ax+1，求a的取值范圍.

解析問題(1)解答，略.對于問題(2)，顯然可以使用分離參數法，需要進行分情況討論.

當x=0時，顯然有(1-02)e0≤a·0+1，故不等式恒成立，所以a∈R.

可以利用導數研究函數m(x)的單調性，容易說明函數m(x)在區間(0,+)上是單調遞減函數，故

顯然這是一個不定式極限，注意到分式的分母結構，考慮直接構造導數的定義.

令函數n(x)=(1-x2)ex-1，則有n(0)=0.

可得a的取值范圍為[1,+).

評注該試題為典型的求不定式極限問題，分母的結構和導數定義中的結構是完全相同的，考慮直接構造導數的定義.巧令函數n(x)=(1-x2)ex-1，使得分子和分母的結構與導數定義的結構相對應起來，將不定式極限轉化為求導運算、分式極限化為整式極限.

2.“裂項”構造導數定義法

例2(2016年四川高考理科卷第21題)設函數f(x)=ax2-a-lnx，其中a∈R.

(1)討論f(x)的單調性；

解析問題(1)解答，略.

由于x∈(1,+)，分離參數可得令要使得不等式在x∈(1,+)上成立，則需要a>g(x)max.

利用導數，可以研究函數g(x)的單調性和最值(極值)點，可得函數g(x)在區間(1,+)內單調遞減，故

令函數h(x)=x-1-e1-x+lnx，可得h(1)=0.

由導數的定義可知，

3.換元構造導數定義法

例3(2017年全國高考數學卷Ⅲ第21題)已知函數f(x)=x-1-alnx.

(1)若f(x)≥0，求a的值；(2)略.

解析對問題(1)，要使f(x)≥0，等價于x-1-alnx≥0.

考慮分離參數a，顯然需要分類討論.

在知識經濟背景下，人力資源已經成為企業發展的核心。目前，我國通信行業還處于初級的發展水平，因而在諸多方面還不是十分的完善。其中，人力資源管理中，薪酬分配制度缺乏合理性就是重要的體現。現階段，我國大部分通信公司在薪酬分配過程中，采用的分配體系都是依托崗位技能為主的等級薪酬制。顯然，這種傳統的薪酬分配制度難以滿足員工的需求。因此，通信行業人力資源管理中薪酬分配制度必須要不斷完善。

當x=1時，有f(x)≥0，所以a∈R.

當x∈(1,+)時，分離參數，可得所以

考慮構造函數g(y)=ey，則g(0)=1.

綜上，a的值為1.

4.“配湊”導數定義法

例4(2018年全國卷Ⅲ理科第21題)已知函數f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.

(1)若a=0，證明：當-10時，f(x)>0；

(2)若x=0是f(x)的極大值點，求a.

解析問題(1)略.問題(2)是考查高考考生對極值點的定義、幾何性質和代數特性(導函數在x=0處的特征)的認識，此問題設計蘊含豐富的高等數學知識內涵和背景.

由于x=0是f(x)的極大值點，由極值點的幾何意義可知，存在ε>0，恒有不等式f(x)≤f(0)=0成立.

令f1(x)=2x-(2+x)ln(1+x)，g1(x)=x2ln(1+x)，則

評注該試題具有高等數學的知識背景，是一道典型的以高等數學知識來命制的函數壓軸題.該試題通過反復的構造導數的定義，對極限的分子和分母逐次求導數，最終解出參數的取值范圍.

三、反思與優化

通過例題4的解答過程，不難發現，“配湊”法構造導數的定義，可以看成是利用高等數學中不定式極限的求解方法——洛必達(L′hospital)法則，即

可見，通過洛必達法則來求解不定式極限，可以避免選取函數、“配湊”結構、構造導數定義的繁瑣過程，極大簡化運算，提高問題解決效率和準確性.洛必達(L′hospital)法則作為高等數學中求解不定式極限的重要方法，高考數學試題中常出現求解該類型的極限的問題.教學過程中可以適當地補充不定式極限的求解方法，但是不能一味地追求快速解題的“高端”方法，而是要立足于高中數學教材，在學生已有的知識基礎和經驗上拓展知識點，既要講出洛必達法則的價值、優缺點、應用條件等，又要講洛必達法則與導數之間的區別和聯系，讓學生真正地理解數學知識，理解知識點之間的內在邏輯聯系.