出奇制勝 巧妙構造

關傳平

(河南省濮陽市第一高級中學 457000)

構造法應用的技巧是“定目標構造”，需要從已知條件入手，緊扣要解決的問題，把陌生問題轉化為熟悉問題，包括構造函數、構造方程、構造圖形、構造數列等.

一、構造函數

解析因為在區間[e,+)上，對任意的x1和x2，當x1>x2≥e時，都有成立，化簡得f(x1)-f(x2)>x1-x2，即f(x1)-x1>f(x2)-x2恒成立.設則p(x)在[e,+)上單調遞增，所以在[e,+)上恒成立，即恒成立，所以令因為在[e,+)上恒成立，所以在[e,+)上單調遞增，x=e時取最小值，即所以解得：

反思解題時利用不等式的性質，通過“f(x1)-x1>f(x2)-x2”，構造出函數“p(x)=f(x)-x”，通過研究函數p(x)的單調性，求出了m的范圍，解題的關鍵是抓住了式子的結構特征，構造了對應的函數.

二、構造方程

三、構造圖形

例3已知球O的直徑為10cm，線段AB、CD是球O的兩條弦，且AB=CD=5cm，試求V三棱錐A-BCD的最大值.

反思本題通過構造圖形，把三棱錐體積的最大值轉化為求長方體體積的最大值，使問題簡單化.處理問題時，應把陌生的轉化為熟悉的，把復雜的轉化為簡單的，把不夠直觀的轉化為直觀易懂的.

四、構造數列

例4已知數列{an}滿足an-3an-1=n+6(n≥2)，a1=2，求{an}的通項公式.

反思本題通過構造新的等比數列，使問題柳暗花明，迎刃而解.在數列中，遇到形如an=pan-1+q(p、q是常數)、an=pan-1+f(n)的遞推式，一般使用構造等比數列的方法.

練習已知數列{an}滿足an=2an-1+3n(n≥2)，a1=6，求{an}的通項公式.

構造法適用于各種題型，我們在構造的時候，關鍵是抓住式子的特征，從而找到合適的對象去構造，做到精學一題、妙解一類，歸類建檔、內化于心.茫茫題海，尋根悟法方是岸！