基于數學核心素養的一題多解分析

祝 燕

(廣東省梅縣東山中學 514017)

現在我國對人才的要求是綜合化、創新化，如果缺乏對事物的“舉一反三”能力，將很難面對今后復雜多類的現實問題，很難適應社會的需要.一題多解是指利用不同的思維方法，對于同一個問題使用兩種或者兩種以上的方法策略進行分析解答.以下通過具體實例的求解進行闡述.

(1)求動點C的軌跡方程；

(2)假設直線l與動點C所形成的軌跡相切于點P，并與直線x=4相交于一點Q，那么以PQ為直徑的圓是否經過x軸上的某定點？若經過，求出該點坐標；若不經過，請說明理由.

(2)方法一設而不求，精準計算.

由題意分析可知，直線l的斜率是存在的，那么可設直線l的方程為：y=kx+m.

依題意，Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)=0，即3+4k2=m2.

綜合以上分析，可知以PQ為直徑的圓必過x軸上的定點(1，0).

方法二善用性質結論，減少復雜運算.

將各點坐標代入整理可得(x0-t)·(4-t)+3-3x0=0，即x0(1-t)+t2-4t+3=0.

因為x0是任意取的，所以有1-t=0，t2-4t+3=0同時成立，所以t=1.

故以PQ為直徑的圓必過x軸上的定點(1，0).

方法三由特殊到一般，代入驗證.

易得到與x軸的交點坐標分別為(1,0)，(3,0).

小結一般情況下，對于圓錐曲線中的定點、定值問題通常有兩類處理方法：

(1)參數法：對動點坐標或動直線方程系數，引進相關參數，利用參數表示坐標或系數等，然后依據題意，分析定點、定值成立的條件，得出方程，進而解方程求出答案.

(2)從特殊到一般的推理法：先選擇一些特殊點(如坐標軸上的點)或特殊直線(如垂直于x軸或y軸的直線，經過原點的直線等)探究求出滿足條件的點坐標或某值，再進一步證明該點或值與相關變量無關，那么即為所要求的定點或定值等.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)方法一設而不求，精準計算.

(a)若直線的斜率存在，可設直線方程為y=k(x-1)(k≠0)，交點A，B的坐標分別為A(xA，yA)，B(xB，yB).

那么依據題意有：

方法二由特殊到一般，代入驗證.

在平時學習、考試碰到的數學問題中，很多通過各個板塊知識交匯編制的數學題都具有采用一題多解策略分析求解的可能，具備培養處理數學問題核心素養的價值.通過對此類題目進行一題多解的探究，不僅有助于培養學生的數學思維能力、解題能力、探究能力等，而且可以在探究多種解法的過程中，通過各種解法的相互比較，促進學生積極地、全面地靈活運用所學數學知識處理數學問題，有助于學生進一步理解數學知識、掌握數學方法、提升數學能力、培育數學素養.