基于多模態快速非奇異終端滑模的船舶航跡跟蹤自抗擾控制

郭 杰， 劉軼華， 馬利華

(上海海事大學 商船學院， 上海 201306)

欠驅動船舶系統是指控制其運動系統的輸入量少于其需要控制的運動自由度的數量[1]，具有船舶運動模型參數不確定和非線性強等特點，加上外界風、浪、流的干擾，航跡控制器設計比較困難。常規船舶上只安裝有螺旋槳主推進器和舵裝置，是典型的欠驅動船舶系統。[2]傳統非完整系統的控制方法并不能直接應用到此類系統中。因此，對這類問題進行研究有重要意義。[3]

國內外學者對航跡控制問題已有豐富的研究成果。文獻[4]～文獻[6]設計控制器的基礎均為精確的數學模型，因此當參數辨識不精確時難以應用。滑模控制(Sliding Mode Control，SMC)因具有對參數攝動的不變性而引起廣泛關注。傳統的滑模是一種線性滑模，如果需要較大的收斂速率，必須增大控制增益，而這會引發輸入飽和現象。為克服線性滑模漸進穩定的問題，文獻[7]提出終端滑模(Terminal Sliding Mode，TSM)的控制策略，由于傳統TSM存在奇異問題，進而提出非奇異終端滑模(Nonsingular Terminal Sliding Mode，NTSM)控制。文獻[8]采用NTSM控制，在模型參數不確定的情況下實現航跡控制，對外界風、流、浪的干擾有較好的抵抗作用。文獻[9]設計的滑模面雖能彌補普通TSM的缺點，但其收斂速度不夠理想。文獻[10]提出自抗擾控制(Active Disturbance Rejection Control，ADRC)技術有不依賴精確模型的優良控制特性。文獻[11]提出非線性擴張狀態觀測器(Nonlinear Extended States Observer，NLESO)，在一定范圍內，對不確定系統有很好的跟蹤性能。但是，目前還沒有針對其中非線性函數選擇的明確理論依據，在大多數情況下還是要依靠研究者的經驗判斷。由于NLESO在參數整定不易、穩定性分析和控制性能分析等方面有一定困難，為擴大擴張狀態觀測器(Extended States Observer，ESO)的應用，文獻[12]將其中的非線性函數替換為線性函數，從而得到線性擴張狀態觀測器(Linear Extended States Observer，LESO)，具有參數整定方便和理論分析簡單等優點，且對擾動的抵抗性能較強。文獻[13]得出LESO的觀測精度較低的結論。文獻[14]提出當系統模型未知時，LESO的觀測誤差收斂是有一定條件的。

本文對原本的ESO進行改造，實時在線性函數與非線性函數之間切換，進而設計一種可切換的組合式ESO，同時發揮兩種函數的優點，使其性能在不依賴于精確的數學模型的基礎上得到進一步提升。同時，基于多模態的思想，采用分段切換函數設計NTSM，根據實際情況選擇適當的滑模面，實現多個滑動模態，并引入一種新型雙冪次趨近律，以期達到快速趨近的目的。此外，將此趨近律和NTSM引入狀態誤差反饋(States Errors Feedback，SEF)環節，設計的基于多模態的快速NTSM在繼承原本ADRC優良控制品質的同時，能提高收斂速度和精度，改善控制器性能。

1 船舶運動數學模型

三自由度欠驅動水面船舶運動模型[15]為

(1)

式(1)中：x、y和φ分別為船舶在坐標系下的坐標位置和艏向角；u、v和r分別為縱向速度和橫蕩速度、艏向角速度。考慮ADRC的設計，加上控制過程中非線性因素和外界干擾的影響，可得出

(2)

(3)

式(3)中：δr為命令舵角；KE為舵機控制增益；TE為舵機時間常數。

由上述計算可得運動數學模型為

(4)

2 基于FNTSM的ADRC設計

2.1 FNTSM算法

由文獻[8]可知，傳統TSM的切換函數為

(5)

式(5)中：x1和x2為系統狀態變量；β>0；p和q為正奇數，且p=2m+1，(m=1,2,…)，p>q。對應的控制律為

(6)

此控制律在x1=0、x2≠0時存在奇異問題，特別是在平衡點附近出現的頻率很高，奇異現象嚴重。

為克服TSM的奇異問題，研究者設計了很多切換函數，其中文獻[8]中NTSM切換函數為

(7)

式(7)中：x1和x2為系統狀態變量；β和v為可調參數，β>0,1

為進一步改善收斂性能，本文基于多模態的思想設計一種組合式的滑模面，可根據實際情況進行選擇，并引入一種新型的雙冪次趨近律，得到快速非奇異終端滑模，提高收斂速度。本文設計的分段切換函數[17]為

(8)

s2=x2+β1/vsgn(x1)|x1|ω

(9)

式(8)中：ω為可調參數，且ω>1。當|x1|<1時，取切換函數s1=0；當|x1|≥1時，取切換函數s2=0。兩切換函數收斂度對比見圖1。

圖1 兩切換函數收斂度對比

由圖1可知：當|x1|<1時，切換函數s1的收斂速度優于s2；當|x1|≥1時，s2的收斂速度大大優于s1。因此，采用切換設計可同時發揮兩個函數的優點。

本文采用的新型雙冪次趨近律相比傳統的趨近律，具有更好的運動品質。[18]推導分段切換函數相對應的控制律[19]過程如下。

根據式(4)定義船舶航向誤差為

φe=φ-φd

(10)

式(10)中：φd為指令信號，即期望航向。

(11)

令

f(r)=-α1r-α2r3

(12)

由此可得二階船舶航向控制系統為

(13)

由式(8)和式(9)結合船舶系統可得

(14)

(15)

對式(13)進行求導可得

(16)

(17)

可得

sgn(s1)-k2|s1|βsgn(s1)

(18)

整理得控制律為

(19)

對未知的外界干擾ω(t)進行限制，‖ω(t)‖0，以減小不確定性的影響。同時，為防止控制量為0，加入一個很小的避零常數ζ(ζ>0)，從而得到新的控制律為

(20)

式(20)中：η為設計常數。同理可得切換函數s2對應的控制律為

(21)

當|x1|<1時，取控制律u1；當|x1|≥1時，取控制律u2。對于式(13)，分別取式(14)和式(20)、式(18)和式(21)時，能使得在有限時間內，系統狀態變量最終到達終端滑模面，且跟蹤誤差收斂到0，此證明過程可詳見文獻[8]。

2.2 自抗擾控制方法

韓京清[10]利用非線性機制開發一些具有特殊功能的環節，如跟蹤微分器(Tracking-Differentiator，TD)和擴張狀態觀測器等，并加以組合，由此形成自抗擾控制技術。該技術因具有良好的控制特性而備受關注，此后隨著研究深入，出現許多富有成效的研究成果。[20]二階不確定非線性系統ADRC結構見圖2。[21]

圖2 二階不確定非線性系統ADRC結構圖

2.2.1TD

采用二階最速跟蹤微分器能更快地實現對輸入信號及其微分的跟蹤。結合式(13)可得其離散算法[22]為

(22)

式(22)中：φd(k)為輸入信號；φd1(k)和φd2(k)分別為φd(k)的跟蹤信號和近似微分信號；r0為速度因數；h為濾波因數；T為系統積分步長；fhan(φd1,φd2,r0,h)為最速控制綜合函數，其計算式見文獻[10]。

2.2.2LESO和NLESO切換法

抖振問題是滑模控制方法的固有缺陷，當控制系統有較大不確定性時，為保證系統的魯棒性，控制量的抖振現象會更嚴重，解決系統的不確定性問題成為關鍵。ESO理論的出現為處理不確定性問題提供了新的方式，ESO為ADRC的核心部分，其作用是根據輸入和輸出數據對系統動態和總擾動進行實時估計，可根據函數類型的不同分為線性擴張狀態測器和非線性擴張狀態觀測器。相對應的ADRC分為線性自抗擾控制(Linear Active Disturbance Rejection Controller，LADRC)[23]和非線性自抗擾控制(Nonlinear Active Disturbance Rejection Controller，NLADRC)。[24]

LESO的理論分析較為簡單，參數整定方便，且跟蹤性能幾乎不隨擾動幅度的變化而變化；NLESO相對來說較為困難和復雜，跟蹤性能與擾動幅度有關。但是，采用本文所述方法可使得其與LESO有同等噪聲放大效應，同時具有參數效率較高和跟蹤精度高等優點。由此可知：LESO和NLESO的特點不同，為發揮各自的優勢，采用組合方式設計ESO[25]，即

(23)

(24)

式(23)和式(24)中：e1=z1-y,z1為y的跟蹤信號；z2為z1的微分信號;z3為總擾動的跟蹤信號；li為ESO的增益函數；b0為b的估計值；gi(e1)為一種常用的非線性函數。設置切換條件如下：當ESO跟蹤偏差|e1|>1時，采用LESO，即式(23)；反之，采用NLESO，即式(24)。這樣就能發揮各自的優點。gi(e1)的表達式為

(25)

式(25)中：αi和δ為待定常數。

(26)

令gi(e1)=λ0i(e1)e1，取αi=0.25，δ=0.05，分析λ0i(e1)函數的特性曲線見圖3。

圖3 λ0i(e1)函數特性曲線

由圖3可知：λ0i(e1)在線性區間δ內是常數，當誤差e1>δ時，隨著誤差的增大而減小，具有“大誤差，小增益；小誤差，大增益”的特點，因此，將|e1|>1作為切換條件是合適的。

2.2.3參數整定

“不退不改”“只改不退”……當前，電影票“退改簽難”問題廣泛存在。記者調查發現，不同售票渠道“退改簽”標準不一，套路重重，飽受消費者詬病。近日，中國電影發行放映協會發布《關于電影票“退改簽”規定的通知》，要求電影票“退改簽”規定要優化流程、簡化手續，并盡快實施，維護消費者權益。

LESO的參數整定問題可通過文獻[12]中的“帶寬法”或其改進型來解決，難點在于NLESO的參數整定問題。本文采用一種結合“帶寬法”和“經驗法”的較為適于調試的參數整定方法，原則如下：

(2) 由圖3可知：δ的取值過大會導致丟失非線性增益的優勢，過小會導致系統不穩定，一般取δ=0.01；αi通常取經驗值，α1=1,α2=0.5,α3=0.25。

(3) 在切換控制中，當擾動幅度較大時采用LESO，當擾動幅度較小時采用NLESO；根據文獻[25]得到δ=0.01時,典型三階ESO參數和NLESO的參數設置可參考表1。

2.2.4穩定性分析

針對此切換型ESO進行簡單且便于應用的穩定性分析。典型三階NLESO的表達式為

表1 參數優化表

(27)

令

g2(e1)=λ02(e1)e1

(28)

g3(e1)=λ03(e1)e1

(29)

將式(28)和式(29)代入式(27)，可得

(30)

(31)

(32)

(33)

采用傳遞函數形式和根軌跡法分析如下：

根據勞倫斯判據，該ESO穩定的充要條件為

λ02l1l2>λ03l3

(34)

若α2=α3，則λ02=λ03，滿足l1l2>l3即可。對于切換型ESO，只要滿足

(35)

(36)

2.2.5SEF

利用ESO能夠實時獲得總擾動估計值的特性，在控制律中給予補償，由此實現自抗擾控制。誤差反饋控制律為

(37)

式(37)中：u0為基于多模態思想設計的分段滑模控制律，即

(38)

3 風、流影響下的航跡控制方法與Simulink仿真

通過期望艏向角方程將航跡控制問題轉化為航向控制問題[1]，有

(39)

式(39)中：β0用于壓縮航跡偏差坐標；β1用于調整航跡收斂速度；β2用于調整積分速度。將式(39)中的φd(t)作為ADRC的參考輸入信號，使艏向角跟蹤φd(t)，有

(40)

3.1 直線航跡控制

計劃航跡向φp=0°，計劃航跡yp=0，航跡偏差Δy=500 m，此處只仿真分析橫向航跡偏差，因為縱向航跡偏差可通過螺旋槳來控制，前進速度u=7 m/s，初始航向φ=0°。橫向航跡偏差、艏向角、舵角和艏向角誤差的變化曲線分別見圖4、圖5、圖6和圖7。

3.2 曲線航跡控制

計劃航跡向φp=0°，計劃航跡yp=200sin(0.000 4πx)，前進速度u=7 m/s，v=0.3 m/s，初始航向φ=0°。橫向位置、艏向角、舵角和艏向角誤差的變化曲線分別見圖8、圖9、圖10和圖11。

4 結束語

在上述直線航跡控制仿真中，設計的FNTSM-ADRC相較于NTSM-ADRC，橫向航跡搖擺程度較小，且更早地到達偏差為0的位置；在曲線航跡控制中，FNTSM-ADRC相較于NTSM-ADRC航跡更貼近于振幅為200的正弦曲線，且在兩種情形中為達到期望航跡所調整的舵角、艏向角幅度均相對較小，有利于減少反復操作和舵機磨損。由圖10和圖11可知：在直線和曲線航跡控制中，FNTSM-ADRC相較于NTSM-ADRC艏向角誤差均較小。由上述分析可知，本文設計的航跡控制器相對來說收斂速度快，精度高，效果好。

本文針對欠驅動水面船舶航跡控制問題，在原有ADRC的基礎上，對擴張狀態觀測器采用組合式函數設計進行改造，并將基于多模態思想構造的NTSM和一種新型的雙冪次趨近律引入狀態誤差反饋環節中，達到快速趨近的效果。同時，構建期望艏向角方程，產生控制系統的期望輸入，從而達到航跡控制的目的。本文分別設計了直線和曲線航跡控制兩種情況下的仿真試驗，結果表明：設計的新型控制器相對來說能更好地提高收斂速度和控制精度，有較好的控制特性。在后續的工作中，將繼續研究如何在更加復雜的海況下做到精準控制。