基于非均等排序集抽樣的Wilcoxon符號秩檢驗

董曉芳，張良勇，王志軍

(河北經貿大學 數學與統計學學院，河北 石家莊 050061)

排序集抽樣(RSS)方法是澳大利亞農業學家Mclntyre[1]在估計農場牧草產量時提出的，已被廣泛應用到臨床醫學、生態環境、可靠性工程、農林業等領域[2-5].排序集樣本不僅包含了樣本信息，還包含了次序信息，在實際中只要感興趣的樣本不易具體測量，但較容易直觀排序時，RSS方法比簡單隨機抽樣(SRS)方法更加有效.例如Risch等[2]論證了對配對親屬進行排序集抽樣，遺傳相關性實驗效率能得到顯著地提高.

RSS方法又被稱為均等RSS，因為它包含各次序的信息相等.然而，隨著RSS方法的深入研究，人們發現對于某些統計問題，并不是所有次序的信息都有用.非均等排序集抽樣(RSSU)方法是Bhoj[6]在估計總體均值時提出的，并給出了基于RSSU的最小均方估計量.Gemayel等[7]考慮了RSSU下對稱總體中位數的估計問題.Dong等[8]分析了RSSU下強度-動力可靠度的估計問題.張良勇等[9]研究了RSSU下總體中位數的符號檢驗.這些文獻通過比較估計效率和檢驗功效，都證明了RSSU方法的抽樣效率一致高于RSS方法.

RSSU方法的抽樣過程為：第1步，從總體中隨機抽取大小為m2的簡單樣本，分為m組，第i組單元數為mi=2i-1，i=1,2,…,m；第2步，利用直觀感知信息對每組進行從小到大的排序，這些信息包括主觀比較、專家觀點等易于獲得的信息，但不包括具體測量；第3步，從第i組抽取次序為i的樣本單元，i=1,2,…,m.以上過程稱為一次循環，為了擴大樣本量，循環重復k次，這樣就得到樣本量為n=mk的RSSU樣本X(i:2i-1)j，i=1,2,…,m；j=1,2,…,k，其中X(i:2i-1)j表示在第j次循環中從第i組中抽取次序為i的樣本單元，最終只對這n個樣本單元進行實際測量.RSSU樣本的顯著特點有：樣本單元之間相互獨立；對于給定的i，X(i:2i-1)1,X(i:2i-1)2,…,X(i:2i-1)k均與樣本量為2i-1的簡單隨機樣本中位數的分布相同.

為了提高未知總體對稱點的檢驗功效，本文構建了RSSU下Wilcoxon符號秩檢驗統計量，分析其統計性質，計算Pitman效率，并比較檢驗功效.

1 基于RSSU的Wilcoxon符號秩檢驗統計量

設未知總體X的概率密度函數和分布函數分別為f(x-θ)和F(x-θ)，函數f(t)連續且滿足f(-t)=f(t).下面檢驗X的對稱點θ是否等于θ0,即檢驗問題為

H0∶θ=θ0?H1∶θ≠θ0,

(1)

其中H1∶θ<θ0和H1∶θ>θ0分別對應左單側和右單側檢驗.此檢驗問題稱為對稱點檢驗問題.

令X(i:2i-1)j，i=1,2,…,m；j=1,2,…,k為抽自X的RSSU樣本.X(i:2i-1)j的概率密度函數和分布函數分別為

(2)

(3)

基于RSSU的Wilcoxon符號秩檢驗統計量定義為

其中I{·}為示性函數，R+(|X(i:2i-1)j-θ0|)稱為X(i:2i-1)j-θ0的絕對秩，表示|X(i:2i-1)j-θ0|在|X(i:2i-1)j-θ0|，i=1,2,…,m；j=1,2,…,k從小到大排序中的秩.

(4)

其中

2 新檢驗統計量的統計性質

首先分析關于X(i:2i-1)j的概率密度函數和分布函數的統計性質.

定理1若f(-t)=f(t)，則

1)f(i:2i-1)(-t)=f(i:2i-1)(t)，

2)F(i:2i-1)(-t)=1-F(i:2i-1)(t)，

證明：1) 由已知可得f(-t)=f(t)和F(-t)=1-F(t).再由公式(2)，得

2) 由結論1)可直接得證.

3) 由結論1)和2)，得

定理得證.

證明：當H0成立時，根據公式(4)的第1個等式、F(t)的嚴格單調連續性和定理1，有

其中U(i:2i-1)j，i=1,2,…,m；j=1,2,…,k是抽自均勻分布(0,1)的RSSU樣本.于是在H0下WRSSU的分布與總體分布無關.

(5)

定理得證.

由公式(4)，得

定理3當k→∞時，

其中

(6)

特別地，當H0成立時，

(7)

(8)

(9)

由公式(8)和定理1，得

E[hU3(X1,X2)hU3(X1,X3)]=

(10)

(11)

再將公式(10)和公式(11)代入公式(9)，整理后即得公式(6).

當H0成立時，由公式(2)、(3)和(6)，再根據定理1，得

整理后即得公式(7)，定理得證.

3 Pitman漸近相對效率

(12)

由公式(5)，得

(13)

將公式(13)代入公式(12)，再由公式(2)得，

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

為了計算檢驗效率，總體分布F(x-θ)選取了4個峰度值由小到大的對稱分布：正態分布N(θ,1)、Logistic分布L(θ,1)、Laplace分布LA(θ,1)、Cauchy分布C(θ,1).

表1 Wilcoxon符號秩檢驗的Pitman漸近相對效率

4 結論