展現(xiàn)思維過(guò)程 發(fā)展核心素養(yǎng)
——以“圓錐曲線定點(diǎn)問(wèn)題”說(shuō)題教學(xué)為例

錢(qián)夢(mèng)迪

(江蘇省常熟市中學(xué) 215500)

關(guān)注學(xué)生學(xué)什么、怎樣學(xué)，如何引導(dǎo)學(xué)生把握所授內(nèi)容的本質(zhì)，有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成為當(dāng)前教師關(guān)注的焦點(diǎn).而作為一種新型的學(xué)科教研形式，說(shuō)題教學(xué)活動(dòng)不僅能夠使學(xué)生內(nèi)隱的思維顯性化，而且也能促進(jìn)師生互動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)思考，因此，以說(shuō)題教學(xué)活動(dòng)為契機(jī)，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)具有重要的意義.

一、基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的說(shuō)題教學(xué)活動(dòng)價(jià)值

1.營(yíng)造寬松愉悅氛圍，激發(fā)學(xué)生“說(shuō)”的欲望

數(shù)學(xué)交流不僅是知識(shí)的交流，更是情感的交融，教師務(wù)必引導(dǎo)學(xué)生走出“啞巴數(shù)學(xué)”思維定勢(shì)，搭建一個(gè)平等的師生交流平臺(tái)，讓學(xué)生在不用擔(dān)心說(shuō)錯(cuò)的氛圍下自由表達(dá)，激發(fā)學(xué)生“說(shuō)”的欲望.例如，在“圓錐曲線定點(diǎn)問(wèn)題”說(shuō)解題思路時(shí)，筆者盡可能地鼓勵(lì)學(xué)生表達(dá)自己對(duì)于所呈現(xiàn)問(wèn)題的真實(shí)想法，充分暴露自己的思維和學(xué)習(xí)狀態(tài).

2.采用多元化教學(xué)模式，豐富學(xué)生對(duì)說(shuō)題的認(rèn)識(shí)及理解

為了讓每個(gè)學(xué)生都能主動(dòng)參與教學(xué)，準(zhǔn)確把握說(shuō)題教學(xué)這種方式，教師應(yīng)組織學(xué)生通過(guò)開(kāi)展小組合作說(shuō)題、實(shí)施案例分析等多元化方式引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)融入說(shuō)題過(guò)程，思考自己如何說(shuō)，說(shuō)什么，應(yīng)該注意什么，以及說(shuō)題的具體流程等.

3.拓展延伸教學(xué)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力

為了提升學(xué)生的說(shuō)題學(xué)習(xí)效率以及學(xué)習(xí)能力，教師應(yīng)通過(guò)設(shè)計(jì)問(wèn)題串的形式，適當(dāng)改變題目中的背景、條件、結(jié)論以及提問(wèn)方式等引導(dǎo)學(xué)生得出一般性的數(shù)學(xué)規(guī)律，或者在布置課后作業(yè)中，要求學(xué)生闡述解題的過(guò)程，以及由此解題過(guò)程所拓展和延伸的思路以及其他知識(shí)點(diǎn).

4.注重“形異實(shí)同”題目練習(xí)，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率

為了深化學(xué)生學(xué)習(xí)效果，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將習(xí)題練習(xí)中遇到的“形異實(shí)同”問(wèn)題集中起來(lái)，要求學(xué)生通過(guò)說(shuō)題的方式分析解題思路及策略，并有針對(duì)性地將“形異實(shí)同”問(wèn)題所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)提煉出來(lái)，及時(shí)總結(jié)形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)和解決該類(lèi)問(wèn)題時(shí)應(yīng)該注意的事項(xiàng).

二、高中數(shù)學(xué)說(shuō)題教學(xué)活動(dòng)實(shí)踐

教學(xué)策略離不開(kāi)具體實(shí)踐，而“圓錐曲線定點(diǎn)問(wèn)題”一直是歷年高考中得分率較低的題型，其運(yùn)算能力要求高、綜合性較強(qiáng)，而且承載著數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法的考查任務(wù)，因此，為了研究的深入，筆者呈現(xiàn)如下“圓錐曲線定點(diǎn)問(wèn)題”進(jìn)行探究：

①試求橢圓C的方程；②不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P2(0,1)的直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，并且直線P2A與P2B的斜率之和等于-1，證明直線l必經(jīng)過(guò)一定點(diǎn).

1.說(shuō)命題立意—突出數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)

命題立意是試題的核心，在說(shuō)命題立意時(shí)，既要說(shuō)題目中考查了那些知識(shí)點(diǎn)和數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生概括出問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，又要說(shuō)可以通過(guò)那些方法得以問(wèn)題解決.

例如，上述題目考查的內(nèi)容主要涉及平面解析幾何知識(shí)，通常情況下是利用方程和數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行分析和解答，還可以通過(guò)靈活應(yīng)用代數(shù)表達(dá)式以及圖形的幾何特征逐步優(yōu)化.具體而言，第一小問(wèn)主要考查的是學(xué)生的邏輯推理能力，不能盲目地將四個(gè)點(diǎn)都代入方程進(jìn)行求解，而應(yīng)利用橢圓的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，選擇合適的點(diǎn)進(jìn)行代入.而第二小問(wèn)主要考查的是學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等能力，可以通過(guò)思維導(dǎo)圖進(jìn)行大膽分析.

2.說(shuō)解題策略—落實(shí)數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)

說(shuō)解題策略能讓學(xué)生在問(wèn)題情境中分析問(wèn)題、解決問(wèn)題、構(gòu)建模型，在說(shuō)解題策略時(shí)，教師應(yīng)有意識(shí)地讓學(xué)生說(shuō)出自己解決該問(wèn)題的具體解題思路，并展示解題過(guò)程.

在求解第二問(wèn)時(shí)，從點(diǎn)切入和線切入兩個(gè)角度尋找?guī)缀侮P(guān)系.其中，在點(diǎn)切入時(shí)，可以從點(diǎn)A、B入手，利用代數(shù)特征進(jìn)行優(yōu)化，還可以從定點(diǎn)入手，建立等式進(jìn)行求解.值得說(shuō)明的是，在利用斜截式或點(diǎn)斜式假設(shè)直線方程時(shí)，務(wù)必對(duì)斜率的存在性進(jìn)行分類(lèi)討論.在線切入時(shí)，可以直接假設(shè)直線AB，然后通過(guò)尋找b和k之間的關(guān)系，或者利用曲線的線性代換獲得kP2A和kP2B的參數(shù)關(guān)系.還可以事先假設(shè)P2A與P2B的方程，進(jìn)而求出直線方程AB.在此基礎(chǔ)上，然后按照聯(lián)立、代入消元等解析幾何常見(jiàn)的解題思路進(jìn)行求解，其上述解題思維導(dǎo)圖如圖1所示.值得說(shuō)明的是，由于篇幅關(guān)系，具體解題過(guò)程在這里將不再一一贅述.

圖1

3.說(shuō)變式引申—強(qiáng)化數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)

在呈現(xiàn)問(wèn)題解決之后，教師還應(yīng)對(duì)原題目進(jìn)行變式與拓展，引導(dǎo)學(xué)生有意識(shí)地關(guān)注“形異實(shí)同”的問(wèn)題，并應(yīng)用類(lèi)比思想系統(tǒng)地深入挖掘類(lèi)似題目中所隱藏的一般性規(guī)律，從而達(dá)到“解一題、會(huì)一法、通一類(lèi)”的學(xué)習(xí)效果.

例如，根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和要求，筆者設(shè)計(jì)了如下變式題目，要求學(xué)生通過(guò)說(shuō)變式引申的方式對(duì)原有題目進(jìn)行有效拓展：

變式2：若將點(diǎn)P(0,b)替換為任意定點(diǎn)P(x0,y0)，其他條件如同變式1，則上述結(jié)論是否成立.

變式3：若將變式1中的已知條件點(diǎn)P(0,b)替換為任意定點(diǎn)P(x0,y0)，kPA+kPB=m變換為kPA·kPB=m(m為一定值)，則上述結(jié)論是否成立.

變式5:如圖2所示，已知拋物線y2=x，過(guò)拋物線上的一點(diǎn)M作直線MF、ME分別交x軸于A、B兩點(diǎn)，并且MA=MB.

圖2

①若點(diǎn)M為一定點(diǎn)，則EF的斜率為定值；

②若點(diǎn)M為一動(dòng)點(diǎn)，∠EMF=90°,試求△EMF重心的軌跡方程.

4.說(shuō)反思總結(jié)—提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)

反思總結(jié)是提升學(xué)生能力的重要方法，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生利用魚(yú)骨圖、概念圖、思維導(dǎo)圖等思維可視化手段建構(gòu)知識(shí)框架，并將解題過(guò)程中的解題思想、存在的困惑或?qū)W習(xí)心得等通過(guò)說(shuō)反思的方式促進(jìn)所學(xué)知識(shí)與方法融會(huì)貫通，加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解.

例如，學(xué)生在求解“圓錐曲線定點(diǎn)問(wèn)題”時(shí)往往存在以下幾個(gè)難點(diǎn)：一是研究對(duì)象多，不能從題目中獲取有效的信息；二是探究過(guò)程中思維不嚴(yán)密，常常漏掉某些基本信息而出錯(cuò)；三是由于點(diǎn)或直線存在變動(dòng)，學(xué)生難以準(zhǔn)確分析過(guò)程，感覺(jué)無(wú)從下手；四是學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的信心有待提高，忘而生畏的現(xiàn)象較為突出.因此，這就要求學(xué)生在說(shuō)題過(guò)程中注意以下幾個(gè)方面：一是要養(yǎng)成良好的審題技巧，善于從復(fù)雜問(wèn)題情境中發(fā)現(xiàn)隱含條件；二是注重過(guò)程分析，大致把握解題過(guò)程中要應(yīng)用到那些數(shù)學(xué)思想和方法，找到數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的突破口；三是加強(qiáng)變式訓(xùn)練，進(jìn)一步掌握“形異實(shí)同”問(wèn)題的解題思路和規(guī)律，切實(shí)提升數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移能力.

總之，我們應(yīng)以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為前提，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)說(shuō)題教學(xué)活動(dòng)，不斷展現(xiàn)思維過(guò)程，深入理解類(lèi)似問(wèn)題的解題規(guī)律和方法，同時(shí)，將說(shuō)題所思延伸到日常教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)說(shuō)題活動(dòng)提升學(xué)生對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)和把握能力，不斷發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析、直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng).