展現思維過程 發展核心素養
——以“圓錐曲線定點問題”說題教學為例

錢夢迪

(江蘇省常熟市中學 215500)

關注學生學什么、怎樣學，如何引導學生把握所授內容的本質，有效提升學生的數學核心素養成為當前教師關注的焦點.而作為一種新型的學科教研形式，說題教學活動不僅能夠使學生內隱的思維顯性化，而且也能促進師生互動，引導學生學會學習、學會思考，因此，以說題教學活動為契機，發展學生核心素養具有重要的意義.

一、基于數學核心素養培養的說題教學活動價值

1.營造寬松愉悅氛圍，激發學生“說”的欲望

數學交流不僅是知識的交流，更是情感的交融，教師務必引導學生走出“啞巴數學”思維定勢，搭建一個平等的師生交流平臺，讓學生在不用擔心說錯的氛圍下自由表達，激發學生“說”的欲望.例如，在“圓錐曲線定點問題”說解題思路時，筆者盡可能地鼓勵學生表達自己對于所呈現問題的真實想法，充分暴露自己的思維和學習狀態.

2.采用多元化教學模式，豐富學生對說題的認識及理解

為了讓每個學生都能主動參與教學，準確把握說題教學這種方式，教師應組織學生通過開展小組合作說題、實施案例分析等多元化方式引導學生主動融入說題過程，思考自己如何說，說什么，應該注意什么，以及說題的具體流程等.

3.拓展延伸教學，提高學生的學習能力

為了提升學生的說題學習效率以及學習能力，教師應通過設計問題串的形式，適當改變題目中的背景、條件、結論以及提問方式等引導學生得出一般性的數學規律，或者在布置課后作業中，要求學生闡述解題的過程，以及由此解題過程所拓展和延伸的思路以及其他知識點.

4.注重“形異實同”題目練習，提升學生的學習效率

為了深化學生學習效果，教師應引導學生將習題練習中遇到的“形異實同”問題集中起來，要求學生通過說題的方式分析解題思路及策略，并有針對性地將“形異實同”問題所涉及的數學知識點提煉出來，及時總結形成知識網絡和解決該類問題時應該注意的事項.

二、高中數學說題教學活動實踐

教學策略離不開具體實踐，而“圓錐曲線定點問題”一直是歷年高考中得分率較低的題型，其運算能力要求高、綜合性較強，而且承載著數形結合、轉化與化歸等思想方法的考查任務，因此，為了研究的深入，筆者呈現如下“圓錐曲線定點問題”進行探究：

①試求橢圓C的方程；②不經過點P2(0,1)的直線l與橢圓C相交于A、B兩點，并且直線P2A與P2B的斜率之和等于-1，證明直線l必經過一定點.

1.說命題立意—突出數學素養培養

命題立意是試題的核心，在說命題立意時，既要說題目中考查了那些知識點和數學思想，引導學生概括出問題的實質，又要說可以通過那些方法得以問題解決.

例如，上述題目考查的內容主要涉及平面解析幾何知識，通常情況下是利用方程和數形結合思想進行分析和解答，還可以通過靈活應用代數表達式以及圖形的幾何特征逐步優化.具體而言，第一小問主要考查的是學生的邏輯推理能力，不能盲目地將四個點都代入方程進行求解，而應利用橢圓的對稱性質，選擇合適的點進行代入.而第二小問主要考查的是學生的數學抽象、直觀想象、數學運算等能力，可以通過思維導圖進行大膽分析.

2.說解題策略—落實數學素養培養

說解題策略能讓學生在問題情境中分析問題、解決問題、構建模型，在說解題策略時，教師應有意識地讓學生說出自己解決該問題的具體解題思路，并展示解題過程.

在求解第二問時，從點切入和線切入兩個角度尋找幾何關系.其中，在點切入時，可以從點A、B入手，利用代數特征進行優化，還可以從定點入手，建立等式進行求解.值得說明的是，在利用斜截式或點斜式假設直線方程時，務必對斜率的存在性進行分類討論.在線切入時，可以直接假設直線AB，然后通過尋找b和k之間的關系，或者利用曲線的線性代換獲得kP2A和kP2B的參數關系.還可以事先假設P2A與P2B的方程，進而求出直線方程AB.在此基礎上，然后按照聯立、代入消元等解析幾何常見的解題思路進行求解，其上述解題思維導圖如圖1所示.值得說明的是，由于篇幅關系，具體解題過程在這里將不再一一贅述.

圖1

3.說變式引申—強化數學素養培養

在呈現問題解決之后，教師還應對原題目進行變式與拓展，引導學生有意識地關注“形異實同”的問題，并應用類比思想系統地深入挖掘類似題目中所隱藏的一般性規律，從而達到“解一題、會一法、通一類”的學習效果.

例如，根據教學目標和要求，筆者設計了如下變式題目，要求學生通過說變式引申的方式對原有題目進行有效拓展：

變式2：若將點P(0,b)替換為任意定點P(x0,y0)，其他條件如同變式1，則上述結論是否成立.

變式3：若將變式1中的已知條件點P(0,b)替換為任意定點P(x0,y0)，kPA+kPB=m變換為kPA·kPB=m(m為一定值)，則上述結論是否成立.

變式5:如圖2所示，已知拋物線y2=x，過拋物線上的一點M作直線MF、ME分別交x軸于A、B兩點，并且MA=MB.

圖2

①若點M為一定點，則EF的斜率為定值；

②若點M為一動點，∠EMF=90°,試求△EMF重心的軌跡方程.

4.說反思總結—提升數學素養培養

反思總結是提升學生能力的重要方法，教師應引導學生利用魚骨圖、概念圖、思維導圖等思維可視化手段建構知識框架，并將解題過程中的解題思想、存在的困惑或學習心得等通過說反思的方式促進所學知識與方法融會貫通，加深學生對所學知識的理解.

例如，學生在求解“圓錐曲線定點問題”時往往存在以下幾個難點：一是研究對象多，不能從題目中獲取有效的信息；二是探究過程中思維不嚴密，常常漏掉某些基本信息而出錯；三是由于點或直線存在變動，學生難以準確分析過程，感覺無從下手；四是學習高中數學的信心有待提高，忘而生畏的現象較為突出.因此，這就要求學生在說題過程中注意以下幾個方面：一是要養成良好的審題技巧，善于從復雜問題情境中發現隱含條件；二是注重過程分析，大致把握解題過程中要應用到那些數學思想和方法，找到數學問題解決的突破口；三是加強變式訓練，進一步掌握“形異實同”問題的解題思路和規律，切實提升數學知識的遷移能力.

總之，我們應以培養學生數學學科核心素養為前提，引導學生通過說題教學活動，不斷展現思維過程，深入理解類似問題的解題規律和方法，同時，將說題所思延伸到日常教學中，引導學生通過說題活動提升學生對問題的認識和把握能力，不斷發展學生的數學抽象、數據分析、直觀想象、邏輯推理等素養.