靜摩擦因數臨界問題的探討

沈 靜

(江蘇省鹽城機電高等職業技術學校 224000)

在物理研究領域，為方便分析，需要進行一定的簡化處理，比如對接觸的兩個物體在靜摩擦因數很大條件下，一般需要適當化簡，不過在化簡時，應該注意到相關狀態改變，避免出現臨界問題而導致錯誤.

例如圖1，在水平面上，存在一個豎立的勻質直桿子，其長為2α、質量為m，和地面的靜摩擦因數足夠大.對其施加一微擾，而開始自由倒下，桿的下端開始脫離地面時，求解其與豎直方向夾角為多大？

圖1

(1)確定出分離時的狀態

具體情況如下，初始條件為初始離地瞬間，根據機械能守恒定律進行分析可知，存在關系式

①

②

根據轉動定律進行分析可知

mgasinθ=Iβ

③

轉動的角加速度，表示如下

④

此位置處，直桿質心轉動的兩個方向的加速度可表示為

⑤

(2)確定出分離時的角度

第一種方法,進行受力分析可知，在分離瞬間,在豎直方向單純只有重力作用到桿上，這種情況下存在關系式

mg=maτsinθ+mancosθ

⑥

進行求解可確定出分離瞬間,桿與豎直方向的夾角表示如下

第二種方法，豎桿分離瞬間，桿水平方向不受力，這里根據牛頓第二運動定律可知

maτcosθ-mansinθ=0

⑦

求得，桿與豎直方向間夾角是

分析可知以上方法確定出的結果不一致，何故？

(3)問題分析

本題為直桿與地面分離相關的臨界問題，臨界分別為前一個狀態的末態，以及后一個的初態，表現出一定的過渡屬性.具體分析可知，在靜摩擦因數充分大情況下，兩個物體接觸的正壓力不為零，靜摩擦力表現出一定的變化性.在此臨界條件下，正壓力趨于零，不過也有一定大小的靜摩擦力，而在分離后則摩擦力為零.由此可判斷出在此條件下，分離前后，摩擦力會大幅度改變，且對應的加速度同樣的改變.而以上例子在進行求解時，沒有將分離前、后瞬間劃分開而導致錯誤.公式⑤計算分析確定出的為分離前瞬間加速度，此條件下正壓力已經很小，但仍存在一定摩擦力.因而⑥式正確，⑦式由于沒有區分分離前后而出錯.因而在實際的應用過程中為避免出現這類問題，應該確定出對應的狀態為分離前還是分離后瞬間，在前一種條件下應該分析一定大小的靜摩擦力.

(4)過程分析

在分離前任意角度條件下，公式①式到⑤式均成立，在一定角度下桿受摩擦力為f，支持力為N, 則進行受力分析可知存在關系式

圖2顯示了二者的關系曲線，具體分析可知在此變化過程中,彈力N逐步趨于零，而分離前瞬間f向左，而在分離后則變為零.

圖2

(5)拓展應用

以上在舉例分析基礎上，討論了靜摩擦因數充分大條件下，物體分離前后的摩擦突變問題，接著對類似的問題進行分析.如圖3所示，將一個小球放在半圓柱頂端，小球的質量為m、半徑為r，半圓柱體的截面半徑為R=7r、質量為M=1.5m，假設二者間的靜摩擦因數充分大，適當對小球一微擾促使其滾下.計算出在兩種狀態下小球與圓柱脫離時，對應的θ數值.

圖3

①半圓柱固定時，小球與圓柱脫離時的θ;

②半圓柱和地面間無摩擦時，小球與圓柱脫離時的θ.

第1種狀態下，初態到任意角度θ過程中，根據機械能守恒定律分析可知存在關系式

靜摩擦因數充分大，則脫離前，小球必然無滑滾動，關系式為

u-ωr=0

在分離前瞬間，二者的觸點法向不存在彈力，而切線方向可能存在靜摩擦力，而法向存在如下關系式.

進行求解可確定出

第2種狀態下，任意θ角度對應的末態，設半圓柱向左的速度是v1，小球速度是u,由初始狀態到當前狀態，根據機械能守恒定律可知

由水平方向動量守恒，可知

mucosθ-(M+m)v1=0

分離前瞬間，設二者間存在如下靜摩擦力,則半圓柱存在一定加速度，進行力學分析可知

fcosθ=Ma1

對小球質心，根據轉動定律分析可知，存在關系式

在圓柱參考系中，分析可知，在無滑滾動條件下滿足關系式

小球切向和法向存在如下動力學關系

其中F*為慣性力.

由于分離前瞬間，不存在彈力，則角度應該滿足如下關系式

求得θ=0.944rad=54.1°

這種條件下二者間的摩擦力為0.217.而在半圓柱系下進行臨界分析時，應該討論慣性力因素，在此存在一種常見的錯誤觀點為，分離后瞬間半圓柱在水平方向不受力，而將分離的條件表示為:

在此應該注意到在分離前瞬間，圓柱已經出現一定的運動，在受力作用下圓柱體開始減速.這種現象表現出一定反常性，具體分析此現象出現原因為，設定了“靜摩擦因數足夠大”，不過進一步分析可知這種現象雖然 “反常 ”但依然符合物理規律，可基于相應的定律進行分析求解.