一道幾何題的剖析與反思

江蘇省丹陽市折柳初級中學(xué) 陳 暉

一道好的例題往往有較好的探究價值，能夠開闊學(xué)生的視野，拓寬學(xué)生的思維，有較大的發(fā)展空間。教師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生循序漸進(jìn)，層層深入，探索問題的本質(zhì)，揭示其蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，舉一反三，使學(xué)生形成較好的學(xué)習(xí)品質(zhì)。

題目：如圖1，D是等邊三角形ABC邊AB上的一點，且AD∶DB=1 ∶2，現(xiàn)將△ABC折疊，使點C與點D重合，折痕為EF，點E、F分別在AC和BC上，則CE∶CF= （ ）。

圖1

本題考查了翻折變換的性質(zhì)及其應(yīng)用問題，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強。學(xué)生找到相似后，卻無從下手，感覺缺少數(shù)據(jù)，有“山重水復(fù)疑無路”之困。

設(shè)：DE=x，DF=y，AD=a，

則DB=2a，AC=3a，AE=3a-x，BF=3a-y，

由此可得：2ax=3ay-xy，ay=3ax-xy，

故答案為B。

解后，感覺此法確實較難。那么是否還有巧妙的解法？于是重新審題觀察，發(fā)現(xiàn)可用相似三角形的性質(zhì)來解，更簡單直接。

設(shè)：AD=a，則DB=2a，AC=3a。

但是幾乎沒有學(xué)生能夠找到“一線等角”，并運用相似三角形的性質(zhì)來解題。下面我們來總結(jié)提煉一下這道題的解法。

（如圖2）因為△ABC為等邊三角形，折疊后點C與點D重合，所以有△CEF≌△DEF，從而得∠A=∠EDF=∠B，易證△EAD∽△DBF（“一線三等角”——相似，本題的關(guān)鍵）。

圖2

在計算化簡過程中，我們發(fā)現(xiàn)：

這里運用的是合比性質(zhì)，實際就是運用相似三角形的性質(zhì)：相似比=周長比。

到這里，我們就得到了本題的最快解法：CE∶CF=兩三角形的相似比=兩三角形的周長比=（AE+DE+AD）∶（DF+FB+BD）=（AC+AD）∶（BC+BD）=4 ∶5。

如果本題將AD∶DB=1 ∶2 改成任意比，那么如何求出CE與CF的比值呢？我們依據(jù)上述解法可推出：若AD∶DB=m∶n，則CE∶CF=（m+n+m）∶（m+n+n）=（2m+n）∶（m+2n）。這樣就有了一般性結(jié)論。

反過來，如果我們知道了CE與CF的比值，能否求出AD與DB的比值呢？同樣，我們可以得到：已知CE∶CF=x∶y，則x∶y=（m+n+m）∶（m+n+n）=（2m+n）∶（m+2n），所以x（m+2n）=y（2m+n），即m∶n=（y-2x）∶（x-2y）。這樣，學(xué)生就通過一個題掌握了一類題。

優(yōu)秀的題目往往有較多的解法或蘊含著數(shù)學(xué)思想方法，是訓(xùn)練學(xué)生思維的好素材。教師一定要把握機會，認(rèn)真研究，如此一來，既可鞏固學(xué)生所學(xué)知識，又能讓學(xué)生充分運用知識，從不同角度分析思考，深刻理解各部分知識橫向和縱向的內(nèi)在聯(lián)系，并靈活轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)思維的廣闊性。當(dāng)然，課堂效果也可得到明顯提高。