利用洛必達法則巧解函數中的參數問題

周楊

摘?要：求解函數中的參數問題是高考考查的重難點，同時變量求解也是比較常見的問題。利用參變分離法、洛必達法則，借助將函數不等式問題轉化為恒成立問題的思想可解決函數中的參數求解問題，結合例題分析解題思路并與常規方法進行比較。

關鍵詞：參變分離法;洛必達法則

變量求解問題是比較常見的問題，在很多領域都會遇到，在某些條件下已知一個或多個變量的取值范圍時，通常就會想利用已知變量求出其他變量的取值范圍。如果把這樣的問題轉化為數學問題可看作函數中的參數求解問題，所以解決函數中的參數求解問題就有效解決了很多實際遇到的變量求解問題，而且近幾年的數學高考壓軸題也會出現函數與導數中的參數求解問題，這對于學生來說也是難點。函數中的參數求解問題以往解決這類問題通常設函數，討論函數的單調性、極值點、圖像等性質，多數需要分類討論，計算過程繁雜不易求解，甚至有時函數在最值點處又出現沒有定義的情況導致無法求解。若參變分離法將其轉化為不等式（等式）恒成立問題是易于理解的，對于恒成立問題的解決關鍵步驟是函數求最值，有部分問題利用參變分離法將問題轉化為恒成立問題，即將參變量分離到不等式（等式）的一側，若另一側出現“00”或“

”型的代數式，我們只需求“00”或“

”的最值（例如，若a

f（x）恒成立，我們只需求的f（x）最小值即可）。而對于“00”或“SymboleB@

SymboleB@

”型的代數式的最值求解可利用洛必達法則，數學分析中的洛必達法則是求極限常用的方法之一，可有效求解“00”或“SymboleB@

SymboleB@

”型不定式的極限，因此基于洛必達法則是很好的選擇。

1 預備知識

定義1.1在給定的平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x，y都是某個變數t的函數x=f（t）

y=φ（t）（1），且對于t的每一個允許值，由方程組（1）所確定的點（x，y）都在這條曲線上，那么方程組（1）稱為這條曲線的參數方程，聯系x，y之間關系的變數稱為參變數，簡稱參數[1]。

定理1.1洛必達法則

若函數f（x）和g（x）滿足：

（1）limx→x0f（x）=limx→x0g（x）=0（或SymboleB@

）;

（2）在點x0的某空心鄰域內兩者都可導且g′（x）≠0;

（3）limx→x0f′（x）g′（x）=A，則有limx→x0f（x）g（x）=limx→x0f′（x）g′（x）=A。[2]

2 解題思路及例題分析

例1 函數f（x）=lnxx+1+1x，若當x>0，且x≠1時，有f（x）>lnxx-1+kx，求k的取值范圍。

方法一：由題意，f（x）=lnxx+1+1x>lnxx-1+kx，-2lnxx2-1+1-kx>0，整理得：11-x22lnx+（k-1）（x2-1）x>0（為后續求導計算方便這里提出11-x2）。令g（x）=2lnx+（k-1）（x2-1）x，（x>0），則需0

g（x）>0或x>1

g（x）<0，g′（x）=2x+（k-1）·2x-（k-1）（x2-1）x2=（k-1）·（x2+1）+2xx2，再令h（x）=（k-1）x2+2x+（k-1） （x>0），

①設k

0，h（x）=kx2+1-（x-1）2

0 即g′（x）

0，所以g（x）在（0，+SymboleB@

）上單調遞減，又g（1）=0，所以當x∈（0，1）時，g（x）>0，當x∈（1，+SymboleB@

）時，g（x）<0，均滿足f（x）>lnxx-1+kx;

②設00，當x∈（1，11-k）時，h（x）>0即g′（x）>0，所以g（x）在（1，11-k）上單調遞增，又g（1）=0，所以g（x）>0，這時11-x2g（x）<0，即f（x）

③設k1，h（x）=（k-1）x2+2x+（k-1）>0，即g′（x）>0，所以g（x）在（0，+SymboleB@

）上單調遞增，又g（1）=0，當x∈（1，+SymboleB@

）時，g（x）>0，同②不符合題意。

綜上，k

0。

方法一解題困難點較多，分情況討論的分界點其實就蘊含很多運算和函數圖像的分析，分類討論情況多，稍有不慎容易思考不周全，整個解題思路較難理解。

方法二：由題意，lnxx+1+1x>lnxx-1+kx（x>0且x≠1），分離參數得，k<-2x·lnxx2-1+1，只需k<-2x·lnxx2-1+1min

令g（x）=-2x·lnxx2-1，g′（x）=2x2lnx+2lnx-2x2+2x2-12=2lnxx2+1-2x2+1+4x2-12=2x2+1x2-12lnx+2x2+1-1

再令h（x）=lnx+2x2+1-1（x>0且x≠1），h′（x）=1x+-2·2xx2+12=x2-12xx2+12>0。

所以，h（x）在（0，+SymboleB@

）單調遞增，又h（1）=0，所以，當x∈（0，1）時，h（x）

）時，h（x）>h（1）=0，即g′（x）>0，g（x）單調遞增，所以由洛必達法則limx→1g（x）=limx→12x·lnx1-x2=limx→12lnx+2-2x=-1。

所以，k

0。

方法二解題思路：函數中的參數問題，先將參數k分離到不等式一側，不等式另一側為“00”型未定式[34]，將其設為一個新的函數，討論分析函數的單調性并利用洛必達法則求函數最值，從而求出k的范圍，整體思路便于理解，計算簡便。

例2（2017年全國卷II.理21節選）已知函數f（x）=ax2-ax-xlnx，且f（x）0，求a。

解題思路：本題仍為函數中的參數問題，先分離參數將問題轉化為不等式恒成立問題，此題需要分類討論，分析函數的單調性再利用洛必達法則求解函數最值，繼而求出a。

解析：由已知可得x>0，則f（x）0，即ax-a-lnx0?a（x-1）lnx

①當x>1時，則alnxx-1恒成立，只需alnxx-1max，

令g（x）=lnxx-1?g′（x）=1x（x-1）-lnxx-12=1-1x-lnxx-12，

令h（x）=1-1x-lnx?h′（x）=1x2-1x（x>1） 所以h′（x）<0

h（x）在（1，SymboleB@

）上單調遞減，而limx→1+h（x）=0?所以h（x）<0，即g′（x）<0。

所以g（x）在（1，SymboleB@

）上單調遞減，limx→1+g（x）=limx→1+lnxx-1=limx→1+1x1=1，即gmax（x）=1，所以a1;

②當0

lnxx-1min，同上①，可得g（x）=lnxx-1在（0，1）上單調遞減，limx→1-g（x）=limx→1-lnxx-1=limx→1-1x1=1，即gmin（x）=1，所以a

1。

綜上，a=1。

3 小結

對于恒成立問題中求參數取值范圍，參數分離較易理解，但有些題中求分離出來的函數式的最值求解較為麻煩，有時即使可以求得最值點，但函數在最值點處又出現沒有定義的情況，使得計算無法進行，出現此類情況時，利用洛必達法則求“00”或“SymboleB@

SymboleB@

”型函數式的極限，可以較好地解決其最值問題，得出正確答案，思路清晰容易理解。

參考文獻：

[1]傅光國，等.參數方程[M].四川人民出版社，1986.

[2]華東師范大學數學系.數學分析（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2012.

[3]景慧麗，鄭麗娜.一元函數00型極限求解方法探討[J].高等數學研究，2018，21（6）：1012.

[4]葉麗穎.洛必達法則在極限中的應用[J].科技風，2020，2：6667.