披上思維的外衣，化“零”為整
——整體換元法在高中數學中的應用

徐少珊

(江西省南昌市第二十三中學 江西 南昌 330029)

1.何為整體換元法

顧名思義，整體換元法，是指在具體的數學問題中將有相同規律的某一部分數學表達式當成一個整體，用一個自設的新變量(元)去代替它，放入到原數學關系式中，使原數學問題轉化成簡單、熟悉的基礎數學模型，使問題更加直觀化。但是選擇換元時的整體要合理且恰當，才能達到簡化問題的目的。

2.整體換元法在解題時的應用

整體換元法的應用范圍主要是各種復合問題中的求值、求參數范圍、解不等式等問題。整體換元法在應用過程中，需要對問題有整體把握和實質了解，才能準確的將問題拆分成多個部分，逐個擊破。

例2:已知對任意x，都有sin2x+2kcosx-2k-2<0成立，求k的取值范圍。在這道數學題中，出現了多個變量x,sinx,cosx,k為使問題簡化，減少變量，可以將其中的sin2x恒等替換成1-cos2x，只要將重復出現的cosx當成整體，令t=cosx(-1≤x≤1)，原不等式簡化為1-t2+2kt-2k-2<0，原問題就轉化為求t2-2kt+2k+1>0在[-1,1]上恒成立時，求參數k的取值范圍，利用一元二次不等式解法，分類討論就可求參了。在這個整體換元過程中，對二次不等式、同角三角函數之間的關系有一定掌握，才能恰當分解結構，合理進行整體代換。

例3:定義域為R的函數f(x)，對任意實數x都滿足：f[f(x)-x2+x]=f(x)-x2+x，并且僅有一個實數x0，使f(x0)=x0成立，求函數f(x)的解析式.

除了以上所舉的三個例子，整體換元法在高一學生剛學習二次函數、指數函數、對數函數、三角函數等基本初等函數的圖像和性質時，會遇到很多與其相關的復雜函數，求值域、單調區間、參數值等數學問題。在面對這些數學問題時，也都是拆分結構，將某些式子當成整體，采用整體換元的方法來解決。

對式子結構分析，通過運算性質，去掉多余枝節后，將重復出現的結構log2x當成整體，令t=log2x,則原函數轉化為“y=t2-2at+a2-1在[a-1,a2-2a+2]上值域為[-1,0]，求實數a的取值范圍。”這個二次函數問題，那么只需要知道在對稱軸和給定的定義域區間不確定時，值域的最小值和最大值在對稱軸和定義域區間的左中右三種位置關系討論下，分別在區間端點和頂點處取得，檢驗這三點的值，就可以解決問題了。

3.整體換元法的小結

在整個高中數學學習過程中，還有很多像數列問題：已知數列{an}a1=1,an=2an-1+3n,求通項，圓錐曲線問題等等諸多內容都有整體換元法的應用，整體換元法的應用多而廣。掌握好整體換元法最大的好處就是極大限度的降低了解題難度，使復雜數學問題簡單化，將原問題劃歸為更易于求解的一般問題，達到解決問題的目的。

基于整體換元法在數學問題中的重要性，希望教師和同學們在自己的解題實踐中有意識歸納和總結，不斷完善和更新自己和知識體系，增強化歸意識，做到化難為易、化繁為簡，使諸多難題迎刃而解。