Birkhoff系統穩定性的動力學控制1)

陳 菊 郭永新 劉世興 梅鳳翔

(北京理工大學宇航學院，北京 100081)

(遼寧大學物理學院，沈陽 110000)

引言

Birkhoff系統是一類應用廣泛的約束力學系統.Birkhoff力學的研究已取得重要進展，如專著[1-4].在該力學系統下，關于穩定性的研究通常采用的方法是Lyapunov 函數法和一次近似法.特別對于自治和半自治Birkhoff系統而言，Birkhoff函數即為系統的積分.因此，如果Birkhoff函數在平衡鄰域內是正定的，則平衡位置是穩定的.

力學系統的運動依賴于作用力以及所受的約束，因此既可以借助力來控制運動，也可以借助于約束來控制運動.前者稱為動力學控制，后者稱為運動學控制.本文討論用動力學控制的方法研究Birkhoff系統和廣義Birkhoff系統的平衡穩定性.雖然對于Birkhoff系統來說，其“作用力”并不明顯，但是Birkhoff函數一般來說是具有能量意義的.因此，對Birkhoff系統和廣義Birkhoff系統，均可借助Birkhoff函數中包含控制參數的方法來控制系統的運動.進一步地，Birkhoff系統亦可借助其附加項中所包含控制參數來控制系統的運動.這種用動力學函數來控制系統的運動，也可稱為動力學控制.

針對以上構想，我們提出如下兩個問題：(1)對于Birkhoff系統而言，Birkhoff函數B可依賴控制參數，若已知Birkhoff函數組Rμ(μ=1,2,···,2n)，如何選取合適的控制參數使得零解穩定?(2)對廣義Birkhoff系統，Birkhoff函數B或附加項Λν(ν=1,2,···,2n)可依賴控制參數，若已知Birkhoff函數組Rμ(μ=1,2,···,2n)，如何選取合適的控制參數使得零解穩定？

1 系統的運動微分方程

Birkhoff方程為[1-3]

其中

當det (?μν)≠0，可由方程(1)解出所有，有

其中

設方程(3)有零解

則平衡方程為

廣義Birkhoff方程有形式[4-5]

其中

為附加項.設方程(7)有解

則平衡方程為

2 Birkhoff系統平衡穩定的控制

定理1假設給定Birkhoff函數B與Birkhoff函數組Rμ(μ=1,2,···,2n)，其中B可含控制參數uρ(ρ=1,2,···r)，則通過選取適當的控制參數可使系統的平衡是穩定的.

證明首先，選取B使之正定.其次，按方程求使之為負.由方程(3)，求，有

特別地，如果

則有

如果適當控制參數uρ(ρ=1,2,···r)的選取使得<0，則平衡是穩定的.

3 廣義Birkhoff系統平衡穩定的控制

定理2對廣義Birkhoff系統平衡穩定的控制，可提出兩類問題：

(1)對給定的Birkhoff函數B，Birkhoff函數組Rμ(μ=1,2,···,2n)和附加項Λν(ν=1,2,···,2n)，如果B含控制參數uρ(ρ=1,2,···,r)，則可選適當的控制參數使平衡是穩定的.

(2)對給定的Birkhoff函數，Birkhoff函數組和附加項，如Λν含控制參數，則可選適當的控制參數使平衡是穩定的.

證明首先選B為正定的.其次，求其導數.如果B含控制參數，則有

如果僅Λν(ν=1,2,···,2n)含有控制參數，則

由Lyapunov 定理可知，若適當控制參數uρ(ρ=1,2,···,r)的選取滿足<0 時，系統在平衡位置是穩定的.

4 算例

例1已知四階Birkhoff系統為

其中u=u(t)為控制參數.選取適當的u使得系統在零解aμ=0 (μ=1,2,3,4)附近是穩定的.

由式(16)可計算出

根據上述所論的方法，欲使B在aμ=0 (μ=1,2,3,4)鄰域內正定，應有

根據式(13)可直接得到

例2已知廣義Birkhoff系統的Birkhoff函數組，Birkhoff函數以及附加項如下

試求u=u(t)使系統的零解aμ=0 (μ=1,2,3,4)是穩定的.

由式(15)直接得到

很顯然，若取u>0，則B在aμ=0 (μ=1,2,3,4)鄰域內是正定的.若取

這時系統的平衡是穩定的.

例3廣義Birkhoff系統為

試求ui=ui(t)使系統的零解是穩定的.

同樣的由式(15)，我們有

因此，當控制參數選取為

例4已知四階Birkhoff系統為

其中u=u(t)為控制參數.選取適當的u使得系統在零解aμ=0 (μ=1,2,3,4)附近是穩定的.

首先，由Lyapunov 穩定性可知，若選定B使其正定，則

因此，有u<0,a1lnt>0 或u>0,a1lnt<0.

其次，由式(11)可知

當控制參數滿足條件

5 結論

有關Birkhoff系統和廣義Birkhoff系統的穩定性研究已有一些結果，如文獻[6，8-14].大多結果是在給定的Birkhoff函數和Birkhoff函數組下進行研究的.本文在此基礎上考慮了包含參數時的情形，研究了當系統的Birkhoff函數或附加項出現控制參數時，通過選取控制參數使得Birkhoff函數B成為定號函數，而其時間導數為與B反號的常號函數，來實現控制系統的平衡穩定性.通過例題討論并得到了Birkhoff函數及其導數符號變化的幾種可能情形.由于完整力學系統和非完整力學系統均可納入Birkhoff力學系統，因此Birkhoff力學具有一定的普遍性.故本文的思想和方法可以進一步用來研究Hamilton 力學系統，非完整力學系統以及變質量力學系統等的平衡穩定性.