論輪式移動結構的非完整約束及其運動控制1)

周宇生 文相容 王在華

(貴州大學數學與統計學院，貴陽 550025)

(解放軍陸軍工程大學基礎部，南京 211101)

引言

輪式移動結構是一種通過驅動輪子轉動來實現運動功能的經典機械模型，具有能耗小和操作方便等優點.尤其是獨輪和兩輪移動結構占地小且運動靈活，能夠實現很多復雜的運動功能.因此在很多機械結構中需要加入輪式滾動接觸機構，尤其在機器人、航空航天和機械制造等領域應用十分廣泛.目前在商業領域中有獨輪結構Unicycle，兩輪結構Segway PT，三輪結構摩托車，四輪結構汽車和更多輪的拖--掛車.輪式機器人在近二十年是一個非常熱門的研究領域，相關的建模、路徑規劃和控制設計研究很多[1-3].而在工業領域，很多公司研制了自己特色的輪式移動機器人[4].2002 年，Grasser 等[5]研制了兩輪式移動機器人Joe，通過解耦分別驅動控制兩輪轉速，使得機器人的靈活性達到前所未有的水平.2007 年，德國Fraunhofer 等研制出一款貨物搬運機器人，該機器人配備了紅外線傳感器，能到達指定地點搬運貨物.2017 年，谷歌母公司Alphabet 發布了一款集輪子和腿為一體的機器人Handle，能夠俯身跳躍和貨物搬運，具有非常優秀的平衡能力.雖然工業界研發的輪式機器人功能越來越強大，但這一切在很大程度上應歸功于發達的測量技術和強大的數據處理能力.從理論上來說，只要能夠測量足夠多的精確數據，并能很好地處理這些數據，就可以不需要實際模型，而直接基于數據驅動設計軌跡跟蹤控制器[6].但毫無疑問，這樣做的成本是高昂的，因為實際模型本身就是一種已知信息，放棄這么重要的信息無疑是一種巨大的浪費.正確的做法應該是盡量利用實際模型和觀測信息，結合現代控制理論設計精確高效的低成本控制器.

具有滾動接觸的結構在運動時會受到非完整約束[7]，它是對系統運動速度的限制，并且不可積.與完整約束限制系統的位形不同，非完整約束是系統狀態空間上的約束，主要是對系統運動速度的限制.在無任何約束的控制作用下，非完整移動結構可以在整個位形空間內運動.因此，一般來說非完整約束的強度要比完整約束要弱，文獻[8]指出，在計算非完整約束力學系統的自由度時，每一個非完整約束可以使得系統減少0.5 個自由度.由于非完整約束結構本質上還是欠驅動的，導致其路徑規劃和跟蹤控制設計都比較困難[9-10].文獻[11]基于幾何觀點在拉格朗日和哈密頓框架下建立非完整約束力學系統的動力學方程，并討論了在非完整約束下力學系統的可控性和控制器設計問題.文獻[12]提出采用Pontryagin 極大值原理的Hamel 形式來解決移動機器人在球面上受非完整約束下的最優控制問題.

要想精確控制輪式移動結構的運動，必須同時清楚其運動學方程和動力學方程，而其動力學方程又需要利用運動學方程結合Euler-Lagrange 方程推導出來.目前很多研究僅僅針對其運動學方程，將約束方程轉化為標準鏈式系統的形式[13]，然后利用相關鏈式或冪式系統的控制理論設計速度控制器[14-15].但在實際問題中，實現運動任務所需要的速度是通過力或力矩來實現的，應該設計力或力矩控制器.另外一些研究僅僅針對其動力學方程，考慮跟蹤給定的前向速度和偏航轉速目標，設計自適應模糊或神經網絡控制實現給定跟蹤任務[16-17].但所給定的前向速度和偏航轉速目標所對應的幾何軌跡是什么并不清楚.而實際問題需要設計跟蹤控制使得輪式移動結構能夠精確地沿著給定的目標軌跡曲線運動.因此，必須同時考慮其運動學方程和動力學方程，設計力或力矩控制器使機器人實現給定的運動任務.但是，目前已有的文獻對輪式非完整約束的運動規律理解還不深入，很多研究成果側重于從控制理論的角度進行控制設計與分析，很少有研究能將輪式非完整約束下的運動規律與機器人運動控制設計有機結合起來.如文獻[18-19]中，將前向速度和偏航轉速同時看成是運動方程的控制輸入變量和動力學方程的狀態輸出變量，基于中間變量來設計自適應模糊跟蹤控制器.文獻[20]中利用兩個高增益觀測器來估計兩輪式移動結構的前向速度和偏航轉速，然后在此基礎上設計自適應反饋控制器來實現圓周運動.文獻[21]采用保辛算法將多體系統連續時間域內的動力學方程進行離散化，再用瞬時最優控制保辛方法實現對目標軌跡的高精度跟蹤.

為了設計控制器使輪式移動結構能精確地沿著給定目標軌跡曲線運動，首先應分析清楚輪式移動結構的非完整約束本質，以及機械結構在輪式非完整約束下的運動規律.然后將得到的運動規律與動力學方程有機結合起來，再利用現代控制理論設計合適的軌跡跟蹤控制器.本文工作從質點連續光滑運動出發，認清輪式非完整約束的本質及理清各類輪式移動結構的運動學方程，并在此基礎上給出求解動力學方程的一般方法.另一方面，利用平面曲線基本理論分析輪式移動結構在非完整約束下的運動規律，然后通過引入相對曲率為任務目標曲線設計動態軌跡跟蹤目標.基于該動態軌跡跟蹤目標，可以將實際問題中的目標軌跡曲線、運動學方程和動力學方程有機結合起來，為輪式移動結構設計精確高效的軌跡跟蹤控制器以實現給定的運動任務.

1 質點沿光滑曲線運動的特征

1.1 質點連續光滑運動滿足的條件

如圖1 所示，一個質量為m的帶電質點，在電場的作用下在平面上做光滑曲線運動.若要使該質點沿給定的光滑曲線運動，該如何控制電場力才能精確地實現運動任務?這是一個簡單的軌跡跟蹤控制問題，該質點好像沒有受到任何約束作用，我們直接利用牛頓第二定律就可以得到其動力學方程

其中，Tx,Ty分別是沿坐標方向的電場控制力.

假設給定的光滑曲線是平面上的一個軌道槽，質點在該曲線槽里運動，那么該質點是否受到了約束作用呢?答案是肯定的.此時該約束是完整約束還是非完整約束呢?注意到質點沿該曲線運動時，其沿與切向垂直的橫向方向的速度為0，即

圖1 帶電質點在平面電場中運動簡圖Fig.1 Motion schematic diagram of a charged particle in a plane with electric field

其中，θ 為運動曲線的切向量與x軸的夾角，可以理解為質點運動的偏航轉速.事實上，質點在光滑曲線槽中運動時，受到槽對它的約束作用，使其速度滿足約束方程(2)，因此質點受到槽對它的非完整約束力.但如果沒有軌道槽，質點在平面上做光滑曲線運動時，其運動速度也必須滿足方程(2).若某時刻質點突然有一個不為零的橫向速度，就會導致質點的運動軌跡出現一個尖點，不是光滑曲線.

假設質點在平面運動時坐標表示為光滑曲線r=(x(t);y(t))，令該運動軌跡曲線切向量長度為

結合式(2)和式(3)，可以得到

方程(4)表明了質點沿光滑軌跡曲線運動的主要特征：沿與切向垂直的橫向速度為零，軌跡曲線的切向量就是質點沿該曲線運動的前向速度.

方程(4)其實可以等價于

方程(2)是質點運動軌跡是光滑曲線的必要條件.當質點運動滿足方程(4)時，可以推出其前向速度和偏航轉速與實際運動軌跡曲線之間的關系.

1.2 質點的運動速度與實際運動軌跡曲線的關系

對式(6)關于t求導得

將式(6)和(7)交叉相乘并相減得

因此，質點運動速度與運動軌跡曲線之間的關系為

從式(9)可以看出，給定一個運動軌跡曲線可以確定質點運動的前向速度和偏航轉速；反之，根據式(6)，給定質點運動的前向速度和偏航轉速，可以確定質點運動軌跡的參數方程.因此，利用式(9)，可以將參數曲線表示成速度形式.

事實上，對于一般的機械力學系統，利用Euler-Lagrange 方程建模得到的動力學方程基本上都是關于速度的，所以將目標軌跡曲線轉化為速度目標后，能非常方便地設計力或力矩控制器.

2 獨輪的約束方程與動力學方程

如圖2 所示，假設獨輪足夠寬且無側翻和側滑，則獨輪的中心O在平面上做連續光滑運動.假設該中心坐標為(x(t);y(t))，故其運動需滿足方程(2).在這個實際問題中，要使得中心O的運動滿足方程(2)，整個力學系統要受到非完整約束力的作用才能實現.因此，約束方程(2)是獨輪運動受到的非完整約束.考慮到獨輪的運動是通過驅動輪子轉動來實現的，所以必須引入輪子轉速這個變量.假設輪子不打滑和不空轉，則獨輪還受到如下完整約束

其中，r是獨輪半徑，是獨輪轉速.

圖2 獨輪運動結構簡圖Fig.2 Motion schematic diagram of the single-wheel

因此，獨輪總共受到兩個約束作用，式(10)是一個完整約束，而式(2)是獨輪受到的非完整約束.

獨輪運動的動力學方程為

要使中心點O沿給定軌跡曲線運動，該如何設計控制力矩呢?由于中心O的運動滿足方程(2)，由式(9)可將目標曲線轉化為速度目標，將式(10)代入式(11)，動力學方程轉化為

這樣就將原問題轉化為線性系統(12)關于速度目標(9)的一般軌跡跟蹤控制問題.

3 兩輪式倒立擺的約束方程與動力學方程

兩輪式倒立擺是一類經典欠驅動的非完整系統，在實際中應用廣泛，相應的運動規劃和控制研究非常多[1;22].如圖3 所示，假設兩輪無側滑無空轉，左右兩輪各安裝一個驅動馬達，通過驅動左右兩輪轉動來實現兩輪式倒立擺的運動和擺桿平衡.

圖3 兩輪式倒立擺結構簡圖Fig.3 Schematic diagram of the two-wheeled inverted pendulum

3.1 兩輪運動的約束方程

設中心O坐標為(x(t);y(t))，當兩輪式倒立擺在平面上無側滑時，O在平面上沿光滑曲線運動，故其運動必須滿足約束方程(2).另外，當兩輪不打滑不空轉時，有如下速度關系式

因此，兩輪移動結構在運動時總共受到一個非完整約束(2)和兩個完整約束(13).從方程(13)中將反解出來，并結合方程(5)，則可將兩輪式移動結構運動時所受約束方程總結為

實際上兩輪式移動結構只受到3 個約束作用，式(14)中其實包含了一個賦值關系式(3).

3.2 兩輪式倒立擺的動力學方程

兩輪式倒立擺的擺桿穩定是通過整個結構前后運動的耦合作用來實現的，這里面受力分析比較復雜.目前求解其動力學方程的方法主要有Newton 法[23]、Kane 法[24]和Euler-Lagrange 方法.相對來說，Newton 法和Kane 法都比較繁瑣.這里我們采用Euler-Lagrange 方程來建立其動力學方程[22].

將式(4)的第二式代入式(14)的第三、四式，并結合式(2)，得到兩輪結構運動約束的另一種形式

令q=是兩輪式倒立擺的廣義坐標，則運動約束方程(15)可以寫成矩陣形式，其中

另一方面，令V=，約束(14)寫成矩陣形式

采用Euler-Lagrange 方程來求解兩輪式倒立擺的動力學方程[22].假設和M分別是輪子和中間體質量，分別是輪子繞輪軸方向和z軸方向的轉動慣量，IB和Iz分別是中間體繞輪軸方向和z軸方向的轉動慣量.

兩輪的前向動能和轉動動能之和為

中間體的前向動能和轉動動能分別為

轉動慣量Iz是和擺角相關的，在擺角較小的情況下，Iz近似一個常量.兩輪式倒立擺重力勢能為

因此，Lagrange 函數為

利用非完整力學系統的Euler-Lagrange 方程

其中，λ 是Lagrange 乘子，T是輸入力矩向量，E(q)是輸入匹配矩陣

計算式(18)并按照狀態變量的各階導數整理成為了消去式(19)中的Lagrange 乘子，將式(16)的左右兩端分別對t求導并代入式(19)得

對式(20)左右兩邊同時左乘ST(q)，并利用式(17)將Lagrange 乘子消去得

將式(22)展開，并改寫成狀態方程的形式

其中

3.3 兩輪式倒立擺的運動控制

要使兩輪式倒立擺的中心點O沿給定的軌跡曲線運動，并且整個運動過程中擺角始終保持足夠小，該如何設計控制器(u1;u2)呢?利用式(9)將目標軌跡曲線轉化為速度目標的形式，結合式(23)的后兩式可將原問題轉化為一般的軌跡跟蹤控制問題.另外，動力學方程(23)可以解耦成兩個控制子系統，可以分別設計控制器u2和u1.在文獻[25]中，通過引入關于擺角的大權重性能指標，對擺角進行線性化后將得到的線性系統看成標稱系統，然后設計關于性能指標的最優積分滑?？刂破饕詫崿F兩輪式倒立擺的往返運動.

4 三四輪移動結構的約束方程與動力學方程

4.1 三四輪移動結構的運動約束

如圖4 和圖5 所示三輪和四輪移動結構，假設驅動馬達都安裝在后兩輪上，前輪可以通過控制方向盤進行轉向.后兩輪所受到的約束和兩輪式倒立擺是一樣的，都可以用式(14)表示.

對于前輪所受約束，考慮中間桿的前端點P(xP;yP)的運動.注意到P點有兩重身份，首先作為前輪的中心點，它的運動滿足橫向速度為零

另一方面，P作為中間桿前端點，它的運動速度如圖6 所示，結合式(24)有如下關系

圖4 三輪移動結構簡圖Fig.4 Schematic diagram of the three-wheeled mobile structure

圖5 四輪移動結構簡圖Fig.5 Schematic diagram of the four-wheeled mobile structure

圖6 P 點速度示意圖Fig.6 Schematic diagram of the velocity of P

將式(25)改寫為

方程(26)是一個非完整約束，它刻畫了前輪轉向角與中心點O的速度之間的關系.若將=vcos θ 代入式(26)，還可以將該非完整約束改寫為

4.2 三輪移動結構的動力學方程

由于圖4 和圖5 中三、四輪結構所受的約束方程完全相同，因此利用方程(18)求解動力學方程的過程完全一樣.僅以三輪為例，是通過方向盤人為進行控制的，所以將看成控制變量.結合式(14)和式(26)，三輪移動結構所受到的所有運動約束為

令q=(x;y;θ;θl;θr)T,V=，將約束方程(27)寫成矩陣形式

從式(27)來看，三輪移動結構似乎一共受到四個約束作用，但其實不然，約束方程(26)和(13)的第二式并不是相互獨立的，而是互相影響的.在兩輪式移動結構的情形中，兩輪式的三個約束分別是橫向速度為零，兩輪轉速之和決定前向速度，兩輪轉速之差決定偏航轉速.而在本文的三輪移動結構中，3 個約束作用實際上分別是橫向速度為零，兩輪轉速之和決定前向速度，前向速度v和決定偏航轉速，此時對應的就是確定的了.因此，我們將這兩個約束整合在一起，將三輪移動結構受到的約束作用總結成如下形式

將其寫成矩陣形式

注意到，F(q);S(q)滿足如下關系

為了利用Euler-Lagrange 方程來計算三輪移動結構的動力學方程，首先需要分別計算各個部分的動能.如圖6 所示，可以得到如下位置關系

因此，兩后輪的前向動能和轉動動能之和為

中間桿和前輪的前向動能和轉動動能之和分別為

其中，MB是中間桿的質量，IB是中間桿繞O點在x?y平面上的轉動慣量.

將Lagrange 函數L=+TB+Tf代入式(18)，此時輸入力矩向量T和匹配矩陣E(q)分別為

計算式(18)，并按狀態變量的各階導數進行整理得

對式(28)關于t求導，然后代入式(30)得

對式(31)左右兩邊同時左乘ST(q)，并利用式(29)將Lagrange 乘子消去得三輪移動結構動力學方程為

4.3 三輪移動結構的運動控制

動力學方程(32)可以寫成狀態方程形式

利用式(9)將目標軌跡曲線轉化成速度形式，結合控制系統(33)得到一般的軌跡跟蹤控制問題.注意這里u1是中間控制變量，而最終需要設計的控制變量是和u2.由于方程(33)是解耦的，因此可先根據第二個方程設計u1，然后結合方程(26)得

方程(34)給出了控制變量u1和的關系.將得到的控制變量代入式(33)的第一式，再設計控制變量u2完成最終的軌跡跟蹤控制設計任務.

5 動態跟蹤目標與運動控制設計

前面幾節內容已經系統地分析了各類輪式移動結構的約束方程及其動力學方程.實際上約束方程(2)是所有輪式移動結構在無橫向滑動時必須滿足的非完整約束.通過分析該約束條件，我們可以利用式(9)將輪式移動結構的任務軌跡曲線轉化為成速度目標的形式，然后結合其動力學方程將原運動任務轉化為一般的軌跡跟蹤控制問題.如文獻[26]在考慮輪式倒立擺的避障運動控制時，就將設計好的分段多項式軌跡曲線轉化成近似的速度目標形式，然后結合動力學方程設計軌跡跟蹤控制器.文獻[27-29]在考慮拖--掛車的軌跡曲線跟蹤和避障運動時，就是先將目標軌跡曲線轉化為式(9)這樣的速度目標，然后采用模型預測等控制方法實現給定的運動任務.但從這些論文的仿真結果來看，不管采用多么先進的控制設計方法，實際運動軌跡總是會有一些偏離目標軌跡曲線，尤其是在最初始的一段時間內.出現這樣的結果主要原因之一在于所采用的速度目標(9)在初始時刻和實際速度相比具有比較大的差值，這個速度誤差會累計成很大的位置誤差.另外，如果采用靜態速度目標(9)，當前向速度誤差控制系統受到未知擾動影響時，會導致實際前向速度偏離給定的前向速度目標，而此時偏航轉速目標不能時時地進行調整，這就會導致輪式移動結構偏離目標軌跡曲線.為了同時解決這兩個問題，使輪式移動結構能精確地沿著給定目標軌跡曲線運動，我們將靜態速度目標(9)改進為動態跟蹤目標.

5.1 動態跟蹤目標設計

其中k(s(t))=是目標曲線的相對曲率.

事實上，曲率函數k(s(t))是曲線的核心特征.當參數t=s是弧長參數時，前向速度目標是單位速度，此時曲率函數k(s)在平面上唯一確定一條光滑曲線.當t不是弧長參數時，由前向速度和曲率函數k(t)=k(s(t))可以在平面上唯一確定一條光滑曲線.對曲線引入新的時間變量η,它由t=φ(η)確定，其中φ 是一一對應的光滑函數，則可將原參數曲線轉化為=.由復合函數求導關系

從上式可看出，方程(35)中的前向速度目標是可以通過參數變換進行調整的.因此方程(35)中涉及到曲線曲率的第二式才是軌跡曲線的本質刻畫.

在實際跟蹤過程中，如果我們只需要輪式移動結構精確沿給定軌跡曲線運動，而并不在乎整個過程中運動速度的快慢，那么可以放棄對前向速度目標的精確跟蹤，集中精力跟蹤方程(35)的第二式.此時可以將跟蹤目標(35)改進為動態跟蹤目標

一般來說，φ(t)可設計為

這里l是目標軌跡曲線的長度，此時

在實際應用中，由于初始時刻輪式移動結構都是靜止的，利用前向速度目標(37)可以使得跟蹤控制問題的初始速度誤差為零，并可以根據實際需要調節參數β 使得整個過程跟蹤控制的效果最好.

5.2 動態跟蹤目標的優點

與靜態速度目標(9)相比，采用動態跟蹤目標(36)具有兩個明顯的優點：

(1)速度誤差(尤其初始速度誤差)不會累積成越來越大的位置誤差.由于動態跟蹤目標直接指向目標曲線的本質-曲率，當實際前向速度偏大時，方程(36)第二式所給的偏航轉速目標也變得更大，只要控制過程中的偏航轉速誤差足夠小，也即曲率跟蹤誤差足夠小，就能保證輪式移動結構不偏離給定軌道向外偏轉.反之，若實際前向速度偏小，那么方程(36)第二式所給出的偏航轉速目標也會相應變小，只要曲率跟蹤誤差小就能保證輪式移動結構不偏離給定軌道向內偏轉.因此，盡管在整個運動過程中存在很大的前向速度誤差，但采用動態跟蹤目標能夠保證輪式移動結構始終在給定軌道上運動.

(2)前向速度目標可以根據實際需要進行設計，這在實際應用中非常重要.由于對前向速度目標無限制要求，而采用不同的前向速度目標，所導致的結果僅僅是整個運動過程中輪式移動結構運動快慢不同而已.另外，考慮到輪胎最大靜摩擦力是有限的，因此實際控制力矩最好不要超過該最大靜摩擦力.這里我們可以通過設計小一些的前向速度目標，使得實際需要的控制力矩盡量小于輪胎的最大靜摩擦力，以免輪胎打滑嚴重影響跟蹤控制效果.

5.3 基于動態跟蹤目標的控制仿真

以單位圓為目標軌跡曲線為例，由于目標曲線的相對曲率是常數1，文獻[30]中將偏航轉速目標設計為實際的前向速度，這樣設計的動態跟蹤目標恰好是式(36)的特殊情形.由于兩輪式倒立擺的動力學方程是非線性的，原問題轉化為非線性系統的軌跡跟蹤控制問題.為此，我們先利用反饋線性化方法將系統轉化為線性系統，然后基于線性系統利用預測反饋處理輸入時滯的影響.而線性化誤差和外部有界擾動整體打包后利用積分滑模控制來處理.由于所設計的積分滑模面就是兩輪式倒立擺需要完成的運動任務對應的狀態，因此最終設計的積分滑?？刂撇坏苁箖奢喪降沽[在保持擺桿穩定下很好地完成給定的運動任務，整個運動過程還具有很強的魯棒性.如圖7 所示，實際運動軌跡幾乎和單位圓是重合的，而采用靜態速度目標(9)時，實際運動軌跡和目標曲線會有很大的偏差.

圖7 兩輪式倒立擺在平面上實際運動軌跡Fig.7 Actual motion trajectory of the two-wheeled inverted pendulum in a plane

文獻[30]中給定的目標軌跡曲線是單位圓，是具有常數曲率的特殊曲線.為了更好地說明采用動態跟蹤目標的控制效果，我們考慮獨輪沿一個非常數曲率的光滑曲線運動.假設初始時刻獨輪是靜止的，需要完成的運動任務軌跡曲線是擺線

由曲線基本理論可計算出該軌跡曲線的曲率為

注意到該曲線在端點處的曲率趨于無窮，在應用動態跟蹤目標(36)進行控制時，會出現極大的數值計算誤差.因此我們選取擺線中不包含上述端點的一段曲線作為目標軌跡曲線

此時，上述目標軌跡曲線的曲率可以表示為

另外，曲線的弧長函數為

根據式(36)設計動態跟蹤目標

令X=[x1;x2]T=[s;v]T，前向速度控制方程改寫為二階狀態方程

再將控制方程(42)轉化成誤差系統，令

則前向速度誤差系統為

要使得整個運動過程中前向速度誤差一直保持足夠小，可以采用文獻[22]中的思想，利用線性二次型最優控制的權重來調節.由于式(40)中前向速度目標?v是逐漸趨近于零的，且其無窮積分是收斂.因此可以引入一個無限時域線性二次型性能指標

該性能指標中關于前向速度誤差的權重取足夠大，這樣所設計的最優控制能使前向速度誤差盡量小.利用線性二次型最優控制理論，u1設計為

針對偏航轉速控制系統，可以采用文獻[25]中的積分滑模思想設計積分滑?？刂破?令，則系統(41)的第二式可轉化為誤差控制系統

其中k是控制增益參數(后面所有仿真中k=40).然后將動態跟蹤目標設計為積分滑模面，其中G>0 是合適的常數

這樣，切換控制設計為

其中μ是滑模控制參數，D是外部擾動的最大振幅.最終u2設計為

這樣設計的積分滑?？刂?45)具有很強的魯棒性.

若采用靜態速度目標(9)的形式，即

若同樣采用式(44)和式(45)作為控制器，由于?v不是逐漸趨于零的，從文獻[22]的分析可知，此時不能采用無限時域的性能指標，而必須采用有限時域性能指標，導致對應的黎卡提微分方程很難求解，控制器設計變得困難.而采用動態目標(40)時，只需求解代數黎卡提方程，控制器設計變得簡單.

一般來說，采用靜態目標(46)時，會使得誤差系統的初始值不為零.而采用動態目標(40)時，可以根據實際需要設計合適的前向速度目標，使得初始速度誤差為零.如圖8 和圖9 所示，明顯采用靜態跟蹤目標時的速度累積誤差會遠遠大于采用動態跟蹤目標時.而累積速度誤差大自然會導致累積位置誤差也很大，使最終得到的實際軌跡曲線嚴重偏離目標曲線.如圖10 所示，采用動態跟蹤目標(40)時，實際軌跡偏差非常小，而采用靜態跟蹤目標(46)時，實際軌跡嚴重偏離目標曲線.另外，圖8 和圖9 中紅色的線在大概一半的時間時就結束了，這是因為采用靜態目標(46)時的實際平均速度要比采用動態目標(40)時更快，提前完成了運動任務.

圖8 獨輪的前向速度誤差Fig.8 Forward speed error of the single-wheel

圖9 獨輪的偏航轉速誤差Fig.9 Yaw rotation speed error of the single-wheel

圖10 獨輪在平面上實際運動軌跡Fig.10 Actual motion trajectory of the single-wheel

實事上，在采用動態跟蹤目標(40)時，由于偏航轉速目標是根據實際前向速度時時調整的，能夠極大地減少累積位置誤差.即使前向速度誤差非常大甚至誤差系統不穩定，只要偏航轉速目標能被精確跟蹤，就能保證獨輪沿著給定的目標軌跡曲線運動.考慮誤差系統(43)受到未知擾動d(t)影響的情形

當d(t)=[5y1;10:5y2]T時，若在d(t)的影響下繼續采用控制器(44)和(45)，則此時誤差系統(47)會變得不穩定，其前向速度誤差如圖11 所示.但從圖12 可以看出，雖然前向速度誤差很大，但由于采用了動態跟蹤目標(40)，其實際運動軌跡依然和目標曲線非常接近，實現了任務目標精確跟蹤的目的.

圖11 d(t)影響下獨輪的前向速度誤差Fig.11 Forward speed error of the single-wheel under the effect of d(t)

圖12 d(t)影響下獨輪在平面上實際運動軌跡Fig.12 Actual motion trajectory of the single-wheel under the effect of d(t)

6 結論

不同類型輪式移動結構在平面上不發生橫向滑動時都會受到一個共同的非完整約束，該非完整約束本質上就是質點沿平面光滑曲線運動時沿與切向垂直的橫向方向的速度為零.本文理清了各輪式移動結構的所有約束方程，在此基礎上，給出了基于Euler-Lagrange 方程建立不同輪式移動結構動力學方程的一般方法.另外，基于該非完整約束，我們可以將目標軌跡曲線轉化為速度目標的形式，然后引入相對曲率設計動態跟蹤目標.仿真結果顯示，即使前向速度跟蹤誤差非常大，甚至前向速度誤差系統不穩定，采用動態跟蹤目標都能保證輪式移動結構不偏離給定目標軌跡曲線.還可以通過設計合適的前向速度目標使得跟蹤的效果達到最好.

本文所提出的動態跟蹤目標方法從根本上解決了軌跡曲線精確跟蹤的問題，其他任何先進控制設計方法僅僅從控制設計的角度是達不到這樣的精確效果的.實事上，受到該非完整約束的各類型機械結構的精確運動控制問題都可以采用動態跟蹤目標方法.甚至只要是需要精確跟蹤給定光滑軌跡曲線的控制問題，都可以采用該方法，達到精確跟蹤的目的.進一步地，后續工作還可以引入撓率，將動態跟蹤目標方法推廣到空間軌跡曲線的情形，這將大大擴展動態跟蹤目標思想的應用范圍.

致謝衷心地感謝審稿人認真審閱我們的論文，給出的寶貴意見使論文得到極大的改進.