2:1 內共振條件下變轉速預變形葉片的非線性動力學響應1)

顧 偉 張 博 丁 虎 陳立群

(上海大學力學與工程科學學院，上海 200444)

(長安大學理學院，西安 710064)

(上海大學上海市應用數學和力學研究所，上海 200444)

(上海大學上海市能源工程力學重點實驗室，上海 200444)

引言

在實際工程結構中，葉片是最重要的傳動部件之一，如在渦輪機葉片、船用螺旋槳、直升機葉片以及風力發電裝置中都有廣泛應用.近年來，隨著人們對機械性能要求的提高，葉片的工作環境更加嚴峻，常需在復雜工況下(如高溫、摩擦等)切換轉速，極易使葉片產生變形，導致發生破壞，因此研究預變形變轉速葉片的動力學特性對于合理設計葉片結構具有重要意義.

由于機械工程上的大量應用，旋轉葉片的動力學特性長期以來都是國內外學者關注的重點，許多學者采用理論分析，數值模擬以及實驗方法針對不同葉片模型，在線性或非線性框架下，研究了常轉速下旋轉葉片的動力學響應規律.前期，一些學者[1-2]研究了在常轉速下，考慮旋轉葉片模型的建立問題，得出其動力學方程，通過不同方法求解其自由振動等問題.Yoo 等[3-5]通過混合坐標系建模研究了常轉速下預扭懸臂梁受不同外激勵下的振動特性.蔡國平和洪嘉振[6]通過變結構控制法對勻速轉動懸臂梁進行主動控制，并且比較零次近似模型和一次近似模型的巨大差異.Yang 等[7]利用廣義哈密頓原理推導了常轉速下Euler-Bernoulli 梁橫向振動的非線性微分方程.姜靜和韓廣才[8]研究了常轉速葉片在彎扭耦合下由于質量偏心的動力學分析.Inoue 等[9]研究了實際問題中定轉速旋轉的風力發電機受重力和風力影響的振動特性.Ramakrishnan 和Feeny[10]進一步在模型建立過程中加入非線性項來研究其動力學特性，隨后Ramakrishnan 和Feeny[11]建立了強迫馬蒂厄方程來考慮風力葉片的共振，李國強等[12]通過風洞試驗研究翼型橫擺震蕩.趙國威和吳志剛[13]在文獻[6]的基礎上進一步用一次近似模型考慮將軸向和橫向變形產生的耦合項代入應變能中，考慮其對動力學特性的影響.楊鄂川等[14]研究了常轉速下，葉片受開口裂紋作用下的振動特性，觀察梁的一階、二階固有頻率隨不同裂紋深度和位置的變化.Oh 和Yoo[15]考慮了拉伸、彎曲和扭轉的耦合作用下，常轉速預扭轉葉片的振動分析.Tian 等[16]提出一種改進的變分方法，推導了旋轉梁的自由和瞬態振動特性.李炳強等[17]研究了在常轉速下，轉子--葉片耦合系統在主共振條件下的振動響應和動態穩定性.吳吉等[18]基于絕對節點坐標法研究懸臂曲梁的純彎曲問題和帶有剛柔耦合的旋轉柔性非線性動力學響應問題.

由于轉子圓盤葉片系統經常會受外部擾動，考慮轉速隨時間變化更加普遍也更貼近實際.例如當發動機啟動、變速、停機等過程中，轉子的輸入與輸出功率(扭矩)失衡.轉子在轉動過程中將伴隨扭振，從而產生了速度脈動，使得葉片轉速不再是一個常數.近年來，有越來越多的學者將目光轉移到變轉速葉片的動力學行為的研究中.Kammer 和Schlack[19]首先將角速度表示為穩態值和微小擾動的疊加，探究變轉速對梁振動的影響.Young[20]研究了變轉速下，預扭轉變截面梁的動態響應，利用多尺度法處理方程，并研究阻尼系數對不穩定區域的影響.Yang 和Tsao[21]研究了非定常轉速下，預扭轉葉片振動與穩定性分析.張偉等[22]針對1/2 亞諧共振和1:3 內共振，通過數值模擬得到二維、三維相圖，分析了風速變化對變轉速葉片振動的影響.Yao 等[23]考慮了在高溫超聲波氣流變轉速葉片的動力學響應.隨后，Yao 等[24]研究了葉片在不同轉速下的非線性振動和穩態響應.Georgiades[25]研究了在非定常轉速彈性連續體中傳動軸動力學行為.張偉等[26]建立了變截面葉片模型，分析在變轉速下葉片受氣動力和離心力影響的非線性動力學行為.Hu 等[27]提出一種新型的三維預扭梁單元公式來捕捉變轉速梁高度耦合的振動特性.

近期，有學者報道了葉片結構的預變形將嚴重影響葉片的動力學響應.Zhang 和Li[28]研究了在常轉速下，預扭轉葉片在2:1 內共振下的受迫振動.Kang 等[29]基于載荷增量法，提出一種新的預變形方法來補償葉片變形，通過修正剛度矩陣考慮非線性葉片剛度的影響.Zhang 等[30]研究在2:1 內共振下旋轉預扭轉梁的主共振情況，詳細研究了不同參數變化對幅頻響應曲線的影響.

通過文獻調研發現，較多文獻考慮變轉速情況時往往不考慮預變形作用，而文獻[28]主要考慮常轉速下預變形葉片受外激勵作用.同時考慮變轉速和預變形兩種因素共同作用下的葉片動力學行為相關的研究還尚未見報道.本文主要研究變轉速預變形葉片在2:1 內共振下受參數激勵的響應并考慮立方非線性項對系統的影響.

1 動力學方程

如圖1 所示為一長度為L的變轉速預變形細長葉片.其一端固結在轉軸半徑為r的圓盤上，另一端自由，考慮葉片轉速由一定常轉速?1和一簡諧變化的微小擾動?2sin(!t)疊加而成，即?(t)=?1+?2sin(!t).葉片在安裝時與圓盤有一定的角度，稱為安裝角Ψ.葉片的總預扭角為Θ.由于受溫度梯度影響，葉片產生預變形u20和u30，分別表示弦向和翼向，忽略軸向預變形(軸向預變形遠小于其他兩個方向)，利用旋轉坐標可得到在熱梯度作用下預扭葉片沿截面兩主軸的曲率函數，見文獻[28].為了描述葉片振動過程中的構形，本文建立了兩套坐標系，一套慣性坐標系XYZ固定在圓盤中心，一套旋轉坐標系xyz連接在旋轉葉片根部上，x沿著未變形葉片的軸線方向(左右)，y為弦向(前后)，z為翼向(上下).

圖1 變轉速預變形葉片示意圖Fig.1 Diagram of pre-deformed blade with varying speed

為了推導出葉片的解析模型，本文作出如文獻[5,28]中假設，根據Von-Karman 應變--位移公式

上式中，u1，u2，u3表示為梁軸線上任一點處位移，通過上述假設，變形能可寫成如下形式

由于離心力作用產生的軸向收縮勢能可表達為

可得總勢能為

旋轉葉片的動能可表達如下

其中，頂標 表示對時間求微分，在此文中對于外力做功，只考慮黏性阻尼力的作用，阻尼系數為cd.

利用假設模態法，將位移函數分解成關于時間和空間的函數，空間函數表達如下

上式中參數βj，可見文獻[31].

將式(4)和式(5)代入Lagrange 動力學方程中，為了使方程更具普遍性，引入無量綱參數，如下

對方程進行處理，為了書寫的簡潔性，將式(7)中無量綱參數中上劃線符號忽略不寫，可得下列無量綱化動力學方程

上式方程中下劃線代表與文獻[28]一文中受迫振動不同項，方程(8)控制著軸向運動，方程(9)、方程(10)控制著弦向和翼向，從上式中可以發現加上預變形，方程中多了平方項和立方項，令預變形項為零、轉速變為常轉速并且不考慮外力項，方程就退化成文獻[5]的模型.

2 多尺度分析

正如文獻[5]中所說，對于細長歐拉梁，其軸向第一階固有頻率遠高于彎曲振動固有頻率，葉片系統前幾階模態主要表現為彎曲變形，因此忽略軸向收縮變形與彎曲變形耦合作用，上式只留下方程(9)和(10)，同時將方程中雙下劃線部分(跟q1j相關項)略去，并通過模態矩陣[30]對線性部分進行解耦，可得下式

上式方程中各系數可見附錄，ηijk,ξijk參數可見文獻[32]對方程(11)進行重刻度

并將非線性方程穩態解展開成下式

其中，T0=t為快時間尺度，T1=為慢時間尺度，將方程(13)代入方程(11)中，分別取階可得

從方程(14)中可求得

其中，Ai是關于T1的復函數，cc表示前面各項的復共軛項.Ai和Bi表達式如下

其中，ai和ζi分別為幅值和相角，均為慢時間尺度T1的函數，將式(16)代入式(15)中，可得

文獻[28]的圖3 和圖4 詳細研究了旋轉預變形葉片隨轉速、預變形程度變化過程中，系統前兩階固有頻率的變化規律.發現在特定的組合參數下，系統具有發生2:1 內共振的可能性.為研究2:1 內共振下，非線性振動系統發生一階次諧波共振的振動特性，引入兩個解諧參數σ1和σ2，用σ1表示接近的程度，用σ2表示接近的程度

從方程(18)中消除久期項，分離實部和虛部可得如下的演化方程

其中，上標I 表示虛部，R 表示實部

當a1，a2，與時間T1無關時，可以求解得到系統的穩態響應.因此方程(20)可令等式左邊為零，并求解對應的非線性代數方程組即得到系統的穩態響應，解分為兩種情況:(i)a1=0，a2≠0 稱為單模態解;(ii)a1≠0，a2≠0 稱為雙模態解，系統的穩定性可以通過Lyapunov 準則判斷，具體可見文獻[32-33].

4 參數變化對系統頻響曲線的影響

圖2～圖4 分別考慮了溫度梯度、阻尼系數以及轉速擾動幅值對模態頻率響應的影響，圖中實線表示穩定區域，虛線表示不穩定區域，由上述圖可以得知在2:1 內共振中，模態頻率響應曲線中會同時出現軟特性和硬特性.由圖2 可知，隨著溫度梯度的增大，一階、二階模態頻率響應曲線有向外張開的趨勢且峰值增大，其不穩定區域變大；在圖3 中，隨著阻尼系數的增大，曲線仍有向外張開的趨勢，但峰值降低，表明當有阻尼約束時，對系統振動有較大的抑制作用，由圖3 可見，阻尼系數由0.1 變為0.3，響應峰值降低近3 倍，同時不穩定區域變小；在圖4 中，隨著擾動轉速的增大，曲線呈現出向內閉合的趨勢且峰值增大，并且不同于溫度梯度影響，在不同擾動轉速在同一頻率下，其幅值不會相交.

圖2 溫度梯度變化對前兩階模態頻率響應曲線的影響Fig.2 The effect of temperature gradient on the responses of the first two modal frequency

圖3 阻尼變化對前兩階模態頻率響應曲線的影響Fig.3 The effect of damping on the responses of the first two modal frequency

圖4 轉速擾動幅值變化對前兩階模態頻率響應曲線的影響Fig.4 The effect of amplitude of revolution disturbance on the responses of the first two modal frequency

5 數值驗證

為了驗證本文建模的正確性，忽略本文建立的動力學模型中預變形和轉速的影響，將本文模型得到的前四階固有頻率與其他文獻進行了對比，如表1 表示.

表1 中與文獻[5,34]進行了比較，發現前四階固有頻率最大誤差不超過0.1%.

為了驗證多尺度法得到的系統穩態解的正確性，本節采用Runge-Kutta 法對系統動力學方程(11)進行數值積分.在數值積分中，仿真時間設定足夠長，以確保系統處于穩態響應，同時，數值積分初值在單模態穩定解附近選取.

表1 前四階固有頻率的比較(γ=0，κ=0:25，δ=2)Table 1 Comparison of the lowest four natural frequencies(γ=0，κ=0:25，δ=2)

通過正向、反向掃頻研究立方項在2:1 內共振中對方程的影響程度，結果如下.

圖5 中圓圈代表對原系統數值積分中不考慮立方非線性項影響，加號代表考慮立方非線性項，實線代表解析解，紅色虛線代表不穩定區域.可以發現在2:1 內共振下，立方非線性對系統響應影響很小，僅在完全內共振處有細微偏差.同時，在正向和反向掃頻中，發現有兩處跳躍點，在頻響曲線的多解頻帶中，系統有兩個漸進穩定解和一個不穩定解，由于在實驗中只能實現漸進穩定運動，因此在正反兩個方向掃頻激勵中會出現圖示路徑的跳躍現象，并且跳躍點附近雙模態解吸引域較小，穩態解吸引到單模態解中，振幅發生突變.解析解和數值解吻合較好，從側面證明多尺度處理的正確性.

此外，利用控制變量的思想，探究了擾動速度γ2和解諧參數σ2的改變對系統動力響應的影響.

圖6 中，當固定σ2=0:8 時(圖6(a),圖6(b),圖6(c))，隨著γ2的增大，系統經歷了單周期擬周期單周期的變化歷程.類似的，當固定γ2=0:000 9 時(圖6(d),圖6(b),圖6(e),圖6(f))，系統經歷了單周期擬周期單周期多周期的變化歷程.可以看出系統動力學行為與σ2，γ2緊密相關，隨參數的細微變化，系統動力學響應會出現分岔等現象.

圖5 正反向掃頻激勵數值仿真與解析解的對比Fig.5 Comparison of numerical simulation and analytical solution with forward sweep and backward sweep

圖6 不同γ2 和σ2 時系統的相圖Fig.6 The phase diagrams of system for different γ2 and σ2

圖6 不同γ2 和σ2 時系統的相圖(續)Fig.6 The phase diagrams of system for different γ2 and σ2 (continued)

圖6 不同γ2 和σ2 時系統的相圖(續)Fig.6 The phase diagrams of system for different γ2 and σ2 (continued)

6 結論

本文主要研究了參數激勵下，預變形變轉速葉片的非線性動力學特性，研究不同參數變化對系統模態頻率響應的影響，并考慮立方項在2:1 內共振時對方程的影響，最后利用數值積分與解析解進行驗證.結果發現：隨著溫度梯度增大時，模態頻率響應曲線有向外張開的趨勢，同時幅值增大，不穩定區域增大；當轉速擾動幅值增大時，幅值同樣增大，不穩定區域增大，不同于溫度梯度，其模態頻率響應曲線向內閉合，并且不同擾動轉速在同一固有頻率下，其幅值不會相交；阻尼系數改變對系統的幅值影響最大，當阻尼系數由0.1 變為0.3，其幅值降低近3 倍，同時，不穩定區域減小；立方項在2:1 內共振中對方程的影響可近似忽略，利用原系統數值積分對解析解進行驗證，發現兩者吻合較好.

附錄A

式(11)中各矩陣及其表達式如下