孔隙率各向異性下飽和多孔彈性地基動力響應1)

熊春寶 胡倩倩 郭 穎

(天津大學建筑工程學院,天津 300072)

引言

溫度、滲流及應力場等多場耦合問題在地熱資源開發、核廢料處理以及垃圾填埋等工程領域中十分常見,學者們針對多孔介質熱?水?力耦合作用理論開展了一系列研究.Biot[1]將多孔介質視為線彈性體,提出了耦合熱彈性理論以消除經典熱彈理論中彈性變化對溫度沒有影響的悖論;Lord 和Shulman[2]發現Biot 理論中因熱傳導方程擴散而使得熱傳播速度無限大的錯誤,通過修正熱傳導模型建立了Lord-Shulman 廣義熱彈性理論;Noorishad 等[3]首次推導了飽和土體的溫度?應力?滲流耦合基本方程,打開了飽和土體熱?水?力三場耦合模型研究的新方向.國內,白冰[4-5]建立了飽和多孔介質熱?水?力完全耦合模型的基本控制方程,分析了熱源作用下多孔飽和介質的動力響應問題及循環溫度載荷的影響;Liu等[6-7]利用Laplace 變換及反變換,分析了一維多孔彈性圓柱以及空腔球殼的熱流固耦合問題;熊春寶等[8-10]引入正則模態法對飽和多孔彈性地基熱?水?力耦合模型進行求解并分析參數變化對相應物理量的影響;劉干斌等[11]推導了飽和多孔介質熱流固耦合效應下的熱彈性波動控制方程;陳迪等[12-13]通過建立考慮熱滲效應和熱流固耦合效應的飽和土體固結方程,研究了圓柱熱固結問題;劉碩等[14]提出一種新的近場動力學與有限元法的耦合方法求解材料的熱傳導問題;朱強華等[15]提出一種基于特征正交分解和有限元法的瞬態非線性熱傳導問題的模型分析方法等.

以上這些研究基本都是將土體視為各向同性介質,忽略了其本身的各向異性特征.實際上,自然界中絕大多數土體是天然形成的,在產生的過程中由于沉積作用會呈現出各向異性的特征[16].國外,Rajapakse 和Wang[17-18]給出了二維均質半無限大地基在橫觀各向同性和正交各向異性基礎上受簡諧載荷作用的位移、應力響應;Abousleiman 和Ekbote[19]以及Kanj 和Abousleiman[20]給出了橫觀各向同性材料熱力學問題的一般控制方程,分析了中空圓柱的熱力學特性;Ai 等[21-23]利用不同的積分變換方法研究了各向異性彈性體的熱彈動力響應和平面應變問題;Beskou 等[24-25]采用傅里葉級數展開法分析了半無限大各向同性彈性地基上橫觀各向異性板受到移動載荷作用時的動力響應問題.國內,艾智勇等[26-27]推導了層狀橫觀各向同性地基平面變形問題的解;韓澤軍等[28]提出了一種新的算法,用于求解橫觀各向同性層狀地基在時間簡諧載荷作用下任意點的應力響應;張春麗等[29-30]基于薄板理論建立了直角坐標系正交各向異性彈性地基上覆無限大彈性板的路基路面三維空間力學模型,推導了板和地基在移動載荷作用下穩態響應的微分方程;鄭保敬等[31]提出一種模型降階方法分析非均質材料結構在復雜載荷作用下的動態響應等.還有一些學者研究了特殊的各向異性參數對土體熱?水?力耦合作用的影響,比如Wang 等[32]研究了熱傳導系數各向異性參數以及滲透系數各向異性參數變化對介質的影響;夏建中等[33]考慮滲透系數各向異性提出了在熱源作用下的二維熱固結模型;Ai 和Cang[34]研究了滲透系數各向異性參數變化對二維多層地基非軸對稱固結的影響等.還有一些學者將孔隙率看做各向同性物理量來考慮孔隙率的影響,比如王立安等[35]基于Biot波動理論,建立了孔隙率、密度、剪切模量和滲透系數相互耦合的非均勻飽和半空間模型;李騰風等[36]考慮了孔隙率變化對熱源作用下非飽和土體水熱耦合作用影響等.針對孔隙率各向異性的研究較為少見,戴婷等[37]基于功能梯度圓板中細觀孔隙依賴于各自組分變化得到整體孔隙計算式,在考慮溫度影響下建立了材料濕熱模型等.

本文在飽和多孔彈性地基基礎上引入孔隙率各向異性參數,并結合Lord-Shulman 廣義熱彈性理論,建立了考慮孔隙率各向異性的熱?水?力耦合動力響應模型并推導其基本控制方程,采用正則模態法對控制方程進行求解,得到了各物理量的解析表達,研究了孔隙率各向異性參數變化對飽和多孔彈性地基的影響.此外,還將控制方程進行退化驗證模型的合理性.

1 控制方程

1.1 基本假設

本文將孔隙率各向異性參數引入飽和多孔彈性地基模型中,研究孔隙率各向異性參數變化對飽和多孔彈性地基熱?水?力耦合作用下的動力響應問題的影響,基本假設如下:

(1)飽和多孔地基為流固耦合兩相介質,內部固體顆粒不可壓縮,同時不考慮溶質的影響;

(2)假設地基為二維半無限大彈性體,介質變形為小變形;

(3)孔隙水滲流服從達西定律;

(4)滿足Lord-Shulman 廣義熱彈性理論;

(5)固液兩相處于熱平衡狀態;

(6)假設地基孔隙率處于各向異性狀態,假定豎直方向孔隙率為固定參數,水平方向孔隙率由各向異性參數控制.

1.2 問題模型

在地基上表面分別受到溫度載荷和機械載荷作用,孔隙率各向異性飽和多孔彈性地基熱?水?力耦合問題的計算模型示意圖如圖1 所示.

1.3 基本控制方程

幾何方程

圖1 計算模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of calculation model

式中,εij表示應變張量,ui表示位移張量,“,” 表示對于坐標求導.

本構方程

式中,σij表示應力張量,λ,G表示拉梅常數,e表示體積應變,θ 表示溫度變化,θ=T?T0,T表示絕對溫度,T0表示初始溫度,δij表示Kronecker 符號,β1表示體積應變,β1=(3λ+2G)αs,αs表示土顆粒線性熱膨脹系數,P表示超孔隙水壓力.

運動方程

式中,Fi表示體力張量,ρξ表示不同方向的密度,表示孔隙水密度,ρs表示土顆粒密度,字母上方“.”表示對于時間t的求導.

熱傳導方程

式中,K表示熱傳導系數,CE表示單位質量介質的比熱容,τ 表示弛豫時間.

不計體力的運動平衡方程

能量方程

式中,m表示介質比熱容,cw表示孔隙水比熱容,cs表示土顆粒比熱容,.

結合達西定律的流體平衡方程

式中,αu表示介質線膨脹系數,αw表示孔隙水線性熱膨脹系數,αs表示土顆粒線性熱膨脹系數,其中,表示介質的滲透系數,g表示重力加速度,b=ρwg/kd.

基于二維半無限大彈性地基假設,同時為使后續公式推導過程更為簡化,引入笛卡爾坐標系(x,y,z),將位移分量表示為ui=(u,0,w).

為使計算結果具有一定的普適性,引入下列無量綱量,該組無量綱量同參考文獻[38]

根據方程(8),方程(1)～(7)可簡化為(為書寫簡便,省略點號)

1.4 邊界條件

本文討論地基上表面受到溫度載荷、機械載荷作用時的熱?水?力耦合動力響應問題,其中邊界條件如下.

(1)地基上表面受溫度載荷作用

①地基上表面應力自由

②地基上表面受到溫度載荷作用

式中,Q表示溫度載荷,ω 表示頻率(復時間常數),a表示x軸方向的波數,ψ(a,ω)表示載荷振幅,i 為虛數單位,i=.

③地基上表面可透水

(2)地基上表面受機械載荷作用

①地基上表面受機械載荷作用

式中,q表示機械載荷.

②地基上表面不考慮溫度載荷

③地基上表面可透水

2 二維熱?水?力耦合問題的正則模態分析

所考慮的物理量的解均可以按照以下正則模態的形式進行分解

式中,u(z),w(z),,θ(z),和P(z)分別表示所考慮的物理場的振幅.

對方程(9)～(15)進行正則模態分解可得如下方程

令?=?/?z,對分解后的方程進行簡化整理

消去w(z),θ(z)和P(z),可以得到一個關于u(z)的8 階偏微分方程

將方程(35)因式分解后可得

其中

方程的解可表示為如下形式

其中

代入應力分量表達式中得

3 算例分析及結果討論

以飽和多孔半無限大彈性地基為例,分別在地基的上表面施加溫度載荷和機械載荷,研究孔隙率各向異性參數變化對地基深度增加方向和波的傳播方向上豎向位移、超孔隙水壓力、豎向應力及溫度的影響.根據求得的解析解表達式,利用Maple 軟件,結合邊界條件得到了各物理的分布規律圖.

3.1 計算模型驗證

本文是考慮孔隙率各向異性參數的影響而建立的控制方程,當孔隙率各向異性參數k=1.0 時方程可退化為各向同性耦合動力響應方程,其結果可與參考文獻[38]進行對比,從而驗證模型的合理性.

研究中所需要的基本參數取值同參考文獻[38]一致,ψ=1,a=1.2.其他參數詳見表1.

表1 飽和多孔彈性地基熱?水?力多物理場耦合基本參數Table 1 Basic parameters of themo-hydro-mechanical coupling of saturated porous elastic foundation

3.2 地基深度增加方向各物理量變化規律

在地基上表面分別施加溫度載荷和機械載荷作用,研究地基深度增加方向上孔隙率各向異性參數變化對各物理量的影響.以下8 幅圖為x=1.0 平面上t=0.5 時各物理量的變化規律圖.其中,退化模型曲線與參考文獻結果曲線吻合較好,進而驗證了模型的合理性.

圖2～圖5 為溫度載荷下豎向位移、超孔隙水壓力、豎向應力和溫度變化規律圖,整體來說,孔隙率各向異性參數變化對豎向位移和溫度影響較小,對超孔隙水壓力和豎向應力影響較大.豎向位移變化趨勢都是由壓縮狀態逐漸轉為膨脹最后趨于平緩衰減至零;溫度則是逐漸衰減至零.超孔隙水壓力曲線和豎向應力曲線峰值均逐漸減小,且峰值出現位置向地基深度減小方向移動,超孔隙水壓力減幅為52.72%和61.06%,豎向應力減幅為16.92%和26.13%.這主要是由于孔隙水對溫度較為敏感,隨著孔隙率各向異性參數增大,兩個方向孔隙分布更不均勻影響地基排水速率,進而使得超孔隙水壓力變小,而超孔隙水壓力變化影響了豎向應力的變化.

圖2 溫度載荷作用時無量綱豎向位移分布規律圖Fig.2 The distribution of non-dimension vertical displacement under thermal load

圖3 溫度載荷作用時無量綱超孔隙水壓力分布規律圖Fig.3 The distribution of non-dimension excess pore water pressure under thermal load

圖4 溫度載荷作用時無量綱豎向應力分布規律圖Fig.4 The distribution of non-dimension vertical stress under thermal load

圖5 溫度載荷作用時無量綱溫度分布規律圖Fig.5 The distribution of non-dimension temperature under thermal load

圖6 機械載荷作用時無量綱豎向位移分布規律圖Fig.6 The distribution of non-dimension vertical displacement under mechanical load

圖7 機械載荷作用時無量綱超孔隙水壓力分布規律圖Fig.7 The distribution of non-dimension excess pore water pressure under mechanical load

圖6～圖9 為機械載荷下豎向位移、超孔隙水壓力、豎向應力和溫度變化規律圖,整體來說,孔隙率各向異性對豎向位移和豎向應力影響較小,對超孔隙水壓力和溫度影響較大.圖6 和圖8 中,豎向位移和豎向應力均逐漸衰減至零,但應力衰減速率比位移衰減速率略快.圖7 超孔隙水壓力曲線隨各向異性參數的增加逐漸減小,尤其是峰值處,有較為明顯變化,峰值減幅為8.89%和9.82%;圖9 中隨著各向異性參數的增大,溫度的峰值逐漸減小,減幅依次為18.46%和19.74%.

圖8 機械載荷作用時無量綱豎向應力分布規律圖Fig.8 The distribution of non-dimension vertical stress under mechanical load

圖9 機械載荷作用時無量綱溫度分布規律圖Fig.9 The distribution of non-dimension temperature under mechanical load

從圖6～圖9 可以看出,溫度曲線量級相對較小,說明單純的機械載荷作用產生的熱量不多,可忽略不計.孔隙率各向異性參數變化對超孔隙水壓力和溫度的影響趨勢相同,但對溫度的影響更明顯,這是由于隨著各向異性參數增大,使得地基熱量耗散更為迅速,引起明顯的溫度變化,而孔隙率各向異性參數的變化影響了地基中孔隙的分布,參數增大,孔隙分布更為不均勻,導致超孔隙水壓力峰值減小.

3.3 波的傳播方向上各物理量變化規律

本節從波的傳播方向上研究了地基上表面分別施加溫度載荷和機械載荷作用時孔隙率各向異性參數變化對所考慮物理量的影響.圖10～圖17 為z=1.0 平面上t=0.5 時各物理量的變化規律圖.

圖10 溫度載荷作用時無量綱豎向位移分布規律圖Fig.10 The distribution of non-dimension vertical displacement under thermal

圖11 溫度載荷作用時無量綱超孔隙水壓力分布規律圖Fig.11 The distribution of non-dimension excess pore water pressure under thermal load

圖12 溫度載荷作用時無量綱豎向應力分布規律圖Fig.12 The distribution of non-dimension vertical stress under thermal load

圖10～圖13 為溫度載荷下豎向位移、超孔隙水壓力、豎向應力和溫度變化規律圖.整體來說,隨著孔隙率各向異性參數的增大,物理量峰值逐漸減小.可以明顯看出,孔隙率各向異性參數變化對超孔隙水壓力和豎向應力的影響遠超于豎向位移和溫度.其中,超孔隙水壓力減幅依次為53.50%和66.15%,豎向應力減幅依次為25.26%和33.77%,而豎向位移減幅在4%附近,溫度減幅穩定在2%左右.這是因為孔隙率的變化影響到孔隙水,隨著各向異性參數增大,孔隙分布更為不均勻,孔隙水排出速率受到影響,導致超孔隙水壓力減幅明顯,而超孔隙水壓力變化又會影響豎向應力,使得豎向應力變化.

圖13 溫度載荷作用時無量綱溫度分布規律圖Fig.13 The distribution of non-dimension temperature under thermal load

圖14 機械載荷作用時無量綱豎向位移分布規律圖Fig.14 The distribution of non-dimension vertical displacement under mechanical load

圖15 機械載荷作用時無量綱超孔隙水壓力分布規律圖Fig.15 The distribution of non-dimension excess pore water pressure under mechanical load

圖16 機械載荷作用時無量綱豎向應力分布規律圖Fig.16 The distribution of non-dimension vertical stress under mechanical load

圖17 機械載荷作用時無量綱溫度分布規律圖Fig.17 The distribution of non-dimension temperature under mechanical load

圖14～圖17 為機械載荷下豎向位移、超孔隙水壓力、豎向應力和溫度的變化規律圖.孔隙率各向異性對豎向位移和豎向應力變化不太明顯,減幅相對較小;對超孔隙水壓力和溫度變化明顯,其中溫度減幅更大,為18.46%和19.74%.單純的機械載荷作用產生于地基中的溫度很小,孔隙率的變化使得地基散熱更為迅速,所以對溫度的影響更加明顯.

4 結論

本文在飽和多孔彈性地基基礎上引入孔隙率各向異性參數,并結合Lord-Shulman 廣義熱彈性理論,建立了考慮孔隙率各向異性的熱?水?力耦合動力響應模型并推導其基本控制方程,采用正則模態法對簡化方程進行求解,得到了各物理量的解析表達,分析了孔隙率各向異性參數變化對相關物理量的影響.主要結論如下:

(1)考慮孔隙率各向異性參數的飽和多孔彈性地基熱?水?力耦合動力響應模型可退化為各向同性飽和多孔彈性地基熱?水?力耦合動力響應模型,退化后物理量變化規律與參考文獻[38]曲線分布規律一致,驗證了模型的合理性;

(2)地基深度增加方向上,地基上表面受溫度載荷作用時,孔隙率各向異性參數變化對超孔隙水壓力和豎向應力影響明顯,隨著各向異性參數增大,峰值逐漸減小,峰值所在位置向靠近地基上表面移動;地基上表面受機械載荷作用時,孔隙率各向異性參數變化對超孔隙水壓力和溫度影響明顯,隨著各向異性參數增大,峰值逐漸減小,峰值所在位置向靠近地基上表面移動;

(3)波的傳播方向上,孔隙率各向異性參數變化對各物理量均有影響,使得峰值逐漸減小,地基上表面受溫度載荷作用時,對超孔隙水壓力和豎向應力影響明顯;地基上表面受機械載荷作用時,對超孔隙水壓力和溫度影響明顯.

附 錄

εij應變張量

σij應力張量

e體積應變

T絕對溫度

δijKronecker 符號

P超孔隙水壓力

ρξ不同方向的密度

ρξz豎直方向的密度

ρs土顆粒密度

nξx水平方向的孔隙率

K熱傳導系數

τ 熱弛豫時間

cw孔隙水比熱容

αu介質線膨脹系數

αw孔隙水線性熱膨脹系數

g重力加速度

ω 頻率(復時間常數)

ψ(a,ω) 載荷振幅

ui位移張量

λ,G拉梅常數

θ 溫度變化

T0初始溫度

β1體積應變

Fi體力張量

ρξx水平方向的密度

ρw孔隙水密度

nξ不同方向的孔隙率

nξz豎直方向的孔隙率

CE單位質量介質比熱容

m介質比熱容

cs土顆粒比熱容

kd介質的滲透系數

αs土顆粒線性熱膨脹系數

Q溫度載荷

ax軸方向的波數

q機械載荷