機(jī)械臂臂桿剛度主動(dòng)控制下的末端振動(dòng)特性研究1)

張玉玲 谷勇霞 趙杰亮 閻紹澤

(清華大學(xué)摩擦學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100084)

(北京工商大學(xué)材料與機(jī)械工程學(xué)院，北京 100048)

引言

隨著航天技術(shù)的發(fā)展，空間機(jī)械臂成為輔助甚至代替人類從事各種太空作業(yè)的重要在軌服務(wù)工具[1].空間機(jī)械臂具有質(zhì)量輕、工作半徑大、高負(fù)載能力等特征，在運(yùn)動(dòng)過程中會(huì)因臂桿柔性引發(fā)結(jié)構(gòu)變形和彈性振動(dòng)，降低機(jī)械臂末端的定位精度和運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性，成為機(jī)械臂研究中的突出問題[2-3].

早期國內(nèi)外學(xué)者為了解決柔性機(jī)械臂的彈性振動(dòng)問題對(duì)機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)建模、控制策略及實(shí)驗(yàn)方面進(jìn)行了大量的研究，理論模型不斷得到完善，控制策略也趨于智能化，極大地提高了機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)特性的分析精度.目前主要結(jié)合模態(tài)分析法等離散化方法等[4]和經(jīng)典建模方法建立理論模型，然后采用PD 控制、魯棒控制、奇異攝動(dòng)等經(jīng)典控制方法及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、模糊控制等智能控制方法抑制振動(dòng)及軌跡跟蹤[5-12].Yang 等[13]結(jié)合假設(shè)模態(tài)法和Lagrange 方程建立了空間機(jī)械臂系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，并通過復(fù)合滑模控制方法對(duì)軌跡進(jìn)行振動(dòng)抑制.Pisculli 等[14]采用有限元法和Newton-Euler 及Euler-Lagrange 的混合方程相結(jié)合建立了柔性空間機(jī)械臂系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，并采用反應(yīng)零空間和雅可比矩陣轉(zhuǎn)置控制策略相結(jié)合對(duì)機(jī)械臂系統(tǒng)進(jìn)行控制.Gao 等[15]利用假設(shè)模態(tài)法建立了兩連桿柔性機(jī)械臂的N維離散化模型，并基于全狀態(tài)反饋控制和輸出反饋控制實(shí)現(xiàn)了軌跡跟蹤和振動(dòng)抑制.雖然這些控制算法相對(duì)成熟，但其依賴于模型的準(zhǔn)確程度，較為復(fù)雜.由于抗彎剛度、結(jié)構(gòu)阻尼是柔性機(jī)械臂的兩個(gè)主要結(jié)構(gòu)參數(shù)，尤其影響彈性振動(dòng)的響應(yīng)，因此將結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制方法用于機(jī)械臂的振動(dòng)抑制研究具有重要意義.

結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制方法有被動(dòng)控制、半主動(dòng)控制和主動(dòng)控制三種，其中被動(dòng)控制和主動(dòng)控制因外部能源問題而應(yīng)用受到限制[16].半主動(dòng)控制僅需較少的能量來調(diào)節(jié)結(jié)構(gòu)的剛度、阻尼等參數(shù)，通過結(jié)構(gòu)的振動(dòng)能量產(chǎn)生控制力，其控制效果明顯優(yōu)于被動(dòng)控制，接近主動(dòng)控制[17].半主動(dòng)控制主要包括主動(dòng)剛度控制和主動(dòng)阻尼控制，剛度主動(dòng)控制是結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制方法中半主動(dòng)振動(dòng)控制技術(shù)的常用方法[18-20].目前主動(dòng)剛度控制在航空航天、微電子機(jī)械等技術(shù)領(lǐng)域得到一定程度的應(yīng)用，Lew 等[21]針對(duì)地震環(huán)境中的結(jié)構(gòu)振動(dòng)抑制問題，提出了一種結(jié)構(gòu)自適應(yīng)控制方法，并通過仿真驗(yàn)證了方法的有效性.Li 等[22]提出了一種考慮非線性磁流變阻尼器模型的結(jié)構(gòu)振動(dòng)半主動(dòng)控制方法，并采用模糊系統(tǒng)對(duì)模型進(jìn)行逼近，通過控制器對(duì)抖振現(xiàn)象進(jìn)行了控制.Mevada 等[23]研究了被動(dòng)剛度阻尼器和半主動(dòng)剛度阻尼器的扭轉(zhuǎn)耦合建筑的地震響應(yīng)，結(jié)果表明半主動(dòng)剛度阻尼器減小位移和加速度的效果要明顯優(yōu)于被動(dòng)剛度阻尼器.部分學(xué)者對(duì)建筑結(jié)構(gòu)層間的主動(dòng)控制力特征進(jìn)行研究，研究表明主動(dòng)控制力除了阻尼項(xiàng)外，主要體現(xiàn)了負(fù)剛度控制特性，進(jìn)而出現(xiàn)了負(fù)剛度控制方法[24].汪志昊等[25]對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)的負(fù)剛度控制進(jìn)行了詳細(xì)的研究，為負(fù)剛度控制在實(shí)際工程中的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ).龔微等[26]基于Benchmark 隔振模型，提出了一種磁流變阻尼器的負(fù)剛度智能隔振控制策略，仿真結(jié)果表明負(fù)剛度控制集合了主動(dòng)和半主動(dòng)控制的優(yōu)點(diǎn)，有效降低地震時(shí)隔震層的位移.之后，隨著變剛度主動(dòng)控制算法的不斷優(yōu)化，剛度主動(dòng)控制得到了廣泛應(yīng)用，耿士能等[27]為避免機(jī)械臂碰撞過程中產(chǎn)生沖擊與破壞，設(shè)計(jì)了一種利用溫控記憶合金改變關(guān)節(jié)內(nèi)摩擦力的變剛度方法，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該連續(xù)型機(jī)械臂具有良好的運(yùn)動(dòng)控制精度和剛度調(diào)節(jié)能力.Petit 等[28]提出了一種多關(guān)節(jié)變剛度機(jī)器人跟蹤控制的后退方法，通過對(duì)變剛度關(guān)節(jié)和多關(guān)節(jié)變剛度機(jī)器人進(jìn)行仿真和測量驗(yàn)證了該方法的有效性.Lin 等[29]提出了采用變剛度的調(diào)諧質(zhì)量阻尼器進(jìn)行振動(dòng)控制，數(shù)值結(jié)果表明該控制方法能夠自動(dòng)避免失調(diào)影響并有效抑制振動(dòng).

本文根據(jù)半主動(dòng)控制中的變剛度主動(dòng)控制的設(shè)計(jì)思想，通過改變機(jī)械臂臂桿的軸向受力狀況來主動(dòng)改變機(jī)械臂的剛度，進(jìn)而達(dá)到振動(dòng)抑制的目的，因此文中將該方法稱為“臂桿剛度主動(dòng)控制”方法.在此基礎(chǔ)上，采用變形耦合法來計(jì)算機(jī)械臂的非線性變形，并結(jié)合假設(shè)模態(tài)法和拉格朗日方程建立了臂桿的動(dòng)力學(xué)模型；進(jìn)而設(shè)計(jì)了基于臂桿剛度主動(dòng)控制方法的單自由度實(shí)驗(yàn)臺(tái)，分析了機(jī)械臂在不同預(yù)緊力下末端的振動(dòng)特性，結(jié)合仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了方法的有效性；最后采用響應(yīng)面法和基于內(nèi)部映射牛頓法的子空間置信域法優(yōu)化算法對(duì)預(yù)緊力進(jìn)行了優(yōu)化分析.該研究可為機(jī)械臂的精細(xì)動(dòng)力學(xué)建模和振動(dòng)控制提供一定的參考.

1 基于臂桿剛度主動(dòng)控制的機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)建模

1.1 臂桿剛度主動(dòng)控制方法

空間機(jī)械臂因臂桿柔性在運(yùn)動(dòng)過程中產(chǎn)生的彈性變形與機(jī)械臂大范圍剛性運(yùn)動(dòng)的耦合效應(yīng)會(huì)導(dǎo)致機(jī)械臂在其彈性變形中的振動(dòng)頻率不一致，即產(chǎn)生剛化效應(yīng).另外，機(jī)械臂在旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)過程中會(huì)受到離心力的作用，軸向的較大變形引起剛度減小，即產(chǎn)生軟化效應(yīng)[30].剛化效應(yīng)和軟化效應(yīng)相互作用，使機(jī)械臂在運(yùn)動(dòng)過程中的剛度發(fā)生變化，影響其動(dòng)力學(xué)響應(yīng).

根據(jù)上述機(jī)械臂剛度變化效應(yīng)產(chǎn)生的原理和結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制中的剛度主動(dòng)控制方法的設(shè)計(jì)思路，文中提出的臂桿剛度主動(dòng)控制方法結(jié)構(gòu)示意圖如圖1 所示.在管狀機(jī)械臂的臂桿中置一彈性繩索，其兩端分別連接拉力傳感器與螺栓，拉力傳感器用于測量繩索拉力大小，用螺母擰上螺栓以拉緊繩索，通過調(diào)節(jié)螺栓來調(diào)節(jié)臂桿受力進(jìn)而調(diào)節(jié)臂桿剛度來抑制機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)過程中產(chǎn)生的彈性振動(dòng).

圖1 機(jī)械臂臂桿剛化調(diào)節(jié)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 The structure of manipulator arm stiffening adjustment

為建立圖1 中機(jī)械臂的變剛度動(dòng)力學(xué)模型，將其簡化為圖2 所示的平面管狀懸臂梁模型，虛線為變形前的機(jī)械臂，實(shí)線為變形后的機(jī)械臂.假設(shè)機(jī)械臂在運(yùn)動(dòng)過程中繩索與機(jī)械臂始終不接觸，因此可將繩索對(duì)機(jī)械臂的作用力簡化為一作用于機(jī)械臂末端面的集中力F.另外，機(jī)械臂的關(guān)節(jié)處作用有驅(qū)動(dòng)力矩τ；l0，D0和δ 分別為變形前機(jī)械臂的長度、外徑和厚度尺寸.為驗(yàn)證臂桿剛度主動(dòng)控制的效果，在運(yùn)動(dòng)過程中同時(shí)考慮臂桿的縱向(軸向)變形和橫向(徑向)變形以及橫向變形引起軸向變形的二次耦合效應(yīng).

圖2 機(jī)械臂臂桿剛度主動(dòng)控制的簡化模型Fig.2 The simplified model for active control of manipulator arm stiffness

1.2 臂桿結(jié)構(gòu)參數(shù)分析

將臂桿剛度主動(dòng)控制下的機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行受力分析，如圖3 所示.以機(jī)械臂關(guān)節(jié)端為坐標(biāo)原點(diǎn)分別建立慣性坐標(biāo)系OXY和隨動(dòng)坐標(biāo)系Oxy.機(jī)械臂在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生剛性轉(zhuǎn)角為θ，F(xiàn)1和F2分別為繩索作用于機(jī)械臂末端面的集中力在慣性坐標(biāo)系中的投影.

設(shè)在動(dòng)坐標(biāo)系中機(jī)械臂上x處任一點(diǎn)P變形前的坐標(biāo)向量為u0，總變形位移為u，縱向和橫向總變形量分別為ux和uv，則

圖3 機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)過程中的受力分析圖Fig.3 The force analysis during the movement of the manipulator

根據(jù)彈性梁的變形理論，考慮完全幾何非線性變形，臂桿上P點(diǎn)的縱向和橫向變形位移分別為[31]

式中，v1和v2分別為臂桿縱向振動(dòng)和橫向彎曲振動(dòng)產(chǎn)生的變形；eij為耦合形函數(shù)，其表達(dá)式為eij=，?i(x)和?j(x)為臂桿橫向彎曲振動(dòng)的模態(tài)函數(shù)，qi(t)和qj(t)為與模態(tài)函數(shù)對(duì)應(yīng)的模態(tài)坐標(biāo)，ε 為積分變量.令vc=，vc為考慮橫向彎曲變形引起軸向變形的二次耦合變形量.由此可得

根據(jù)臂桿軸向變形和徑向變形的關(guān)系，可計(jì)算得到臂桿變形后的外徑D為

機(jī)械臂為管狀構(gòu)形，為了保證臂桿結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和穩(wěn)定性要求，臂桿厚度與臂桿外徑一般成正比關(guān)系

式中，kδ為機(jī)械臂截面厚度與外徑的比例系數(shù).

結(jié)合式(4)和式(5)可計(jì)算出變形后臂桿的橫截面面積和慣性矩分別為

由式(6)和式(7)可知，機(jī)械臂在運(yùn)動(dòng)過程中的橫截面面積和慣性矩發(fā)生變化，引起機(jī)械臂在運(yùn)動(dòng)過程中的臂桿剛度不斷發(fā)生變化.

1.3 臂桿動(dòng)力學(xué)模型

如圖3 所示，r為臂桿上點(diǎn)P在慣性坐標(biāo)系OXY中的位置向量，則

式中，r0為點(diǎn)P在動(dòng)坐標(biāo)系中的位置向量，分別為動(dòng)坐標(biāo)系中u0和u在慣性坐標(biāo)系中的表示.N為從動(dòng)坐標(biāo)系Oxy到慣性坐標(biāo)系OXY的旋轉(zhuǎn)變換矩陣，即

由規(guī)范理論的基本思想，可得如下基本的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系

由此可計(jì)算出

結(jié)合式(1)、式(3)及式(8)并考慮，可將上式表示為

基于假設(shè)模態(tài)法，采用前兩階模態(tài)對(duì)臂桿的彈性振動(dòng)進(jìn)行近似描述，則機(jī)械臂的縱向振動(dòng)和向彎曲振動(dòng)可表示為

式中，?1i(x)和?2i(x)(i=1,2)分別為機(jī)械臂縱向振動(dòng)和橫向彎曲振動(dòng)的模態(tài)函數(shù)，ai和bi(i=1,2)分別為與模態(tài)函數(shù)對(duì)應(yīng)的模態(tài)坐標(biāo).通過查閱資料可得懸臂梁的前兩階縱向振動(dòng)和橫向彎曲振動(dòng)模態(tài)函數(shù)表達(dá)式[32]

將式(13)～式(16)代入式(12)可得其離散化后的表達(dá)式，進(jìn)而得到機(jī)械臂的動(dòng)能為

式中，ρ 和μ分別為臂桿的密度和泊松比.由式(17)可知，機(jī)械臂系統(tǒng)的動(dòng)能不僅取決于其剛性運(yùn)動(dòng)，還與運(yùn)動(dòng)過程中產(chǎn)生的彈性變形密切相關(guān).

機(jī)械臂在運(yùn)動(dòng)過程中的勢能包括彈性勢能和重力勢能，其中彈性勢能包括縱向振動(dòng)和橫向彎曲振動(dòng)兩部分變形能，總彈性勢能表達(dá)式為

將式(6)和式(7)及彈性變形的離散化表達(dá)式(13)和式(14)代入式(18)，并取系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)為q=[θa1a2b1b2]T，總彈性勢能可表示為

式中，E為臂桿的彈性模量，K為廣義剛度矩陣.由剛度矩陣的表達(dá)式可知，剛度項(xiàng)中存在縱向變形和橫向彎曲變形之間的耦合，且機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)過程中結(jié)構(gòu)參數(shù)隨臂桿受力發(fā)生變化，導(dǎo)致臂桿剛度不斷發(fā)生變化.同樣分析可得重力勢能的表達(dá)式為

整個(gè)機(jī)械臂系統(tǒng)所受非保守外力包括關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩τ，繩索作用于機(jī)械臂末端面的集中力F，根據(jù)虛功原理可求得相應(yīng)于外力的廣義力為

式中，re為機(jī)械臂末端點(diǎn)在慣性坐標(biāo)系中的位置矢量.機(jī)械臂末端處變形前位置矢量為uoe=[l00]T，變形總位移為ue=[v1e+vcev2e]T，v1e，vce，v2e分別為機(jī)械臂末端處的相應(yīng)變形量.由此re可表示

設(shè)彈性繩索的剛度為k，調(diào)節(jié)螺栓的移動(dòng)距離為?x.由于機(jī)械臂在運(yùn)動(dòng)過程中繩索與臂桿始終不接觸，則繩索作用于機(jī)械臂末端面的集中力可表示為

若機(jī)械臂末端橫向彎曲變形的截面轉(zhuǎn)角為α，則由小變形假設(shè)可得到如下近似結(jié)果

由此可得繩索作用于機(jī)械臂末端面的軸向和徑向分力大小分別為

將式(22)和式(23)代入式(21)可求得與廣義坐標(biāo)qi對(duì)應(yīng)的廣義力大小Qi(i=1,2,···,5).

根據(jù)第二類Lagrange 方程

式中，QF=?Kq+Q，Q為上述求得的作用于機(jī)械臂上，除變形引起的彈性力以外的全部主動(dòng)力對(duì)應(yīng)的廣義力列陣，?Kq為彈性力對(duì)應(yīng)的廣義力.q=[θa1a2b1b2]T為廣義坐標(biāo)列陣，為廣義速度列陣.將式(17)、式(19)及式(20)代入式(26)可得機(jī)械臂的臂桿變剛度動(dòng)力學(xué)模型為

式中，M(q)為5×5 的對(duì)稱、正定質(zhì)量矩陣，為包含科氏力、離心力的5 階列向量，Q為廣義力組成的5 階列向量，M(q)，，K(q)均存在縱向變形與橫向彎曲變形的耦合項(xiàng).由此可知，機(jī)械臂臂桿的變剛度動(dòng)力學(xué)模型呈現(xiàn)出較強(qiáng)的非線性、強(qiáng)耦合和時(shí)變特性.

2 預(yù)緊力對(duì)機(jī)械臂末端振動(dòng)特性的影響

為了研究機(jī)械臂在不同繩索預(yù)緊力下的振動(dòng)特性，對(duì)式(27)臂桿的變剛度模型進(jìn)行了數(shù)值仿真求解.系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)置如下：l0=0.6 m，D0=0.038 m，kδ=4/38；機(jī)械臂的材料參數(shù)設(shè)置如下：ρ=2.9×103kg/m3，E=68.9 GPa，泊松比μ=0.33；重力加速度為g=9.8 m/s2，機(jī)械臂關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力矩為τ(t)=0.1 sin(2πt)+0.5.仿真初始條件為：q=[0 0 0 0 0]T，˙q=[0 0 0 0 0]T.設(shè)置仿真時(shí)間為1 s，分別對(duì)預(yù)緊力為0，10 N，20 N 及30 N 下機(jī)械臂末端的振動(dòng)特性進(jìn)行了分析，其中預(yù)緊力為0 和20 N 時(shí)X方向和Y方向加速度曲線及其頻譜分別如圖4～圖7 所示.

圖4 預(yù)緊力為0 時(shí)機(jī)械臂末端X 方向加速度及頻譜圖Fig.4 The X-direction acceleration and spectrum of manipulator end without preloading force

圖5 預(yù)緊力為0 時(shí)機(jī)械臂末端Y 方向加速度及頻譜圖Fig.5 The Y-direction acceleration and spectrum of manipulator end without preloading force

圖6 預(yù)緊力為20 N 時(shí)機(jī)械臂末端X 方向加速度及頻譜圖Fig.6 The X-direction acceleration and spectrum of manipulator end with 20 N preloading force

圖7 預(yù)緊力為20 N 時(shí)機(jī)械臂末端Y 方向加速度及頻譜圖Fig.7 The Y-direction acceleration and spectrum of manipulator end with 20 N preloading force

根據(jù)圖4 和圖5 可知，預(yù)緊力為0 時(shí)，機(jī)械臂末端X方向的加速度振動(dòng)范圍為?15 m/s2～15 m/s2，而Y方向的加速度振動(dòng)范圍為?10 m/s2～8 m/s2，且兩個(gè)方向的振動(dòng)能量分別主要集中在82 Hz，403 Hz 兩個(gè)頻率處.由圖6 和圖7 可知，預(yù)緊力為20 N 時(shí)，機(jī)械臂末端X方向的加速度振動(dòng)范圍為?15 m/s2～15 m/s2，而Y方向的加速度振動(dòng)范圍為?5 m/s2～5 m/s2，兩個(gè)方向的振動(dòng)能量分別主要集中在72 Hz，80 Hz，403 Hz 三個(gè)頻率處.由此可知，隨著預(yù)緊力的增大，臂桿的低階頻率略微減小，X方向的振動(dòng)范圍影響較小，而Y方向的振動(dòng)范圍明顯減小.因此將不同預(yù)緊力下Y方向加速度頻譜進(jìn)行對(duì)比分析，結(jié)果如表1 所示.

表1 不同預(yù)緊力下Y 方向加速度的振動(dòng)頻率及其相應(yīng)的幅值Table 1 The vibration frequency and corresponding amplitude of Y-direction acceleration under different preloading force

由表1 可知，預(yù)緊力存在時(shí)，低階振動(dòng)頻率略微減小，高階振動(dòng)頻率不變.另外，隨著預(yù)緊力的增加，縱向一階振動(dòng)及縱向和橫向彎曲耦合振動(dòng)的幅值略微增大，而橫向彎曲一階振動(dòng)略微減小.由于系統(tǒng)的振動(dòng)能量主要取決于系統(tǒng)的低頻振動(dòng)，而Y方向的振動(dòng)主要為橫向彎曲一階振動(dòng)，因此文中提出的基于臂桿剛度主動(dòng)控制的方法在一定條件下可以抑制機(jī)械臂的彈性振動(dòng).

3 機(jī)械臂臂桿剛度主動(dòng)控制下的末端振動(dòng)測試

3.1 機(jī)械臂實(shí)驗(yàn)臺(tái)設(shè)計(jì)

為驗(yàn)證臂桿剛度主動(dòng)控制對(duì)機(jī)械臂彈性振動(dòng)的抑制效果，本文設(shè)計(jì)了一種平面單自由度機(jī)械臂實(shí)驗(yàn)臺(tái)，如圖8 所示.該實(shí)驗(yàn)臺(tái)主要包括基座和機(jī)械臂主體結(jié)構(gòu)兩大部分，其中基座具有90?的安裝可調(diào)功能；機(jī)械臂的主體結(jié)構(gòu)是臂桿剛化調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)，主要含有機(jī)械臂臂桿、繩索、調(diào)節(jié)螺栓和加速度傳感器等，其調(diào)節(jié)原理如圖1 所示.在機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)過程中，通過調(diào)節(jié)臂桿內(nèi)繩索的預(yù)緊力來改變機(jī)械臂的受力狀況，并采用拉力傳感器和加速度傳感器對(duì)繩索預(yù)緊力和機(jī)械臂末端加速度信號(hào)進(jìn)行實(shí)時(shí)測量.加速度傳感器輸入INV-8 多功能抗混濾波放大器中，經(jīng)過電荷放大器的放大作用將采集到的電信號(hào)放大，通過INV3060F 智能信號(hào)采集分析儀采集.拉力傳感器選用蚌埠金力公司的JL-L 型號(hào)，線性度為0.1%，分辨率為2000；加速度傳感器選用美國Dytran 公司的壓電加速度傳感器3056 C，測量頻率范圍為0～5000 Hz，重量為10 g，靈敏度為15 pC/g，最大加速度可達(dá)600 g pk，二者均滿足機(jī)械臂的測量要求.機(jī)械臂關(guān)節(jié)采用直流伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)與諧波減速器傳動(dòng)的形式，臂桿采用鋁合金型材，其意義在于研究經(jīng)濟(jì)型低剛度材料的剛化問題，以便利用廉價(jià)低剛度材料取代目前所應(yīng)用的昂貴高剛度材料.

圖8 機(jī)械臂實(shí)驗(yàn)裝置圖Fig.8 The experimental device of manipulator

3.2 機(jī)械臂末端振動(dòng)特性分析

實(shí)驗(yàn)過程中保持電機(jī)以400 r/min 的轉(zhuǎn)速穩(wěn)定運(yùn)行，通過調(diào)節(jié)繩索預(yù)緊力，使臂桿受力分別為0，10 N，20 N，30 N，40 N，50 N，60 N，70 N，測 量 上述8 組繩索預(yù)緊力條件下機(jī)械臂的振動(dòng)情況，可得不同預(yù)緊力下機(jī)械臂末端的加速度信號(hào)及其頻譜圖如圖9 所示.

圖9 不同預(yù)緊力下機(jī)械臂末端的加速度響應(yīng)及其頻譜圖Fig.9 The acceleration and spectrum of manipulator end under different preloading force

由圖9 可知，在不同預(yù)緊力作用下，機(jī)械臂末端產(chǎn)生劇烈振蕩，且加速度信號(hào)的振動(dòng)能量主要集中在0～100 Hz 之間，其中在頻率分別為5.8 Hz，16.7 Hz，25Hz 及100 Hz 附近出現(xiàn)4條比較明顯的頻譜.根據(jù)電機(jī)的轉(zhuǎn)速計(jì)算出其工頻為6.67 Hz，而5.8 Hz，16.7 Hz，25 Hz 三種頻率與電機(jī)工頻的倍頻接近，且由于機(jī)械臂系統(tǒng)各部件運(yùn)動(dòng)狀況復(fù)雜，臂桿剛度隨繩索預(yù)緊力的變化而發(fā)生變化，導(dǎo)致機(jī)械臂系統(tǒng)的頻率發(fā)生變化，因此推測上述3 種頻率是由電機(jī)工頻的倍頻引起的.另外，機(jī)械臂在各種預(yù)緊力下在100 Hz 處都出現(xiàn)幅值突變，而諧波減速的減速比為100，故該頻率是諧波減速器與外界激勵(lì)產(chǎn)生了共振.由以上可知，預(yù)緊力的存在對(duì)臂桿剛度影響較小，但可以使機(jī)械臂末端的振動(dòng)得到一定的衰減.不同預(yù)緊力下機(jī)械臂末端振動(dòng)幅值變化范圍如表2 和圖10 所示.

表2 不同預(yù)緊力情況下臂桿末端振動(dòng)幅值的變化范圍Table 2 The range of vibration amplitude of manipulator end under different preloading force

圖10 機(jī)械臂末端振動(dòng)幅值隨預(yù)緊力的變化曲線Fig.10 The curve of vibration amplitude of manipulator end with preloading force

結(jié)合表2 和圖10 可知，隨著繩索預(yù)緊力的增加，機(jī)械臂的振動(dòng)幅值變化范圍呈現(xiàn)收攏趨勢，且上限幅值和下限幅值的大小幾乎都隨著預(yù)緊力增加而減小.說明文中提出的臂桿剛度主動(dòng)控制方法在一定條件下可以有效抑制機(jī)械臂末端的彈性振動(dòng).

4 預(yù)緊力的優(yōu)化分析

繩索預(yù)緊力越大，會(huì)導(dǎo)致機(jī)械臂存在較大內(nèi)應(yīng)力，影響其結(jié)構(gòu)性能，而實(shí)際機(jī)械臂在不同工況下需要滿足不同的功能要求和精度要求，因此需要選擇既滿足精度要求又保證結(jié)構(gòu)性能要求的預(yù)緊力，而不是無限增大預(yù)緊力.為了獲取預(yù)緊力與機(jī)械臂末端振動(dòng)響應(yīng)的關(guān)系，采用響應(yīng)面法來近似表示系統(tǒng)的極限狀態(tài)函數(shù)[33].為反映機(jī)械臂末端的振動(dòng)劇烈程度，選擇臂桿末端的振動(dòng)幅值范圍來表示性能函數(shù)，即

式中，φ 為極限狀態(tài)函數(shù)，u和d分別上限幅值和下限幅值.為準(zhǔn)確獲得極限狀態(tài)函數(shù)，采用二次多項(xiàng)式來近似表示性能函數(shù)，即

式中，f為預(yù)緊力的大小，a=(a0,a1,a2)T為回歸系數(shù)的矢量.

結(jié)合表2 不同預(yù)緊力下機(jī)械臂末端振動(dòng)的上限幅值和下限幅值，可得響應(yīng)面函數(shù)的設(shè)計(jì)點(diǎn)和響應(yīng)點(diǎn)如表3 所示.

根據(jù)式(29)所示的響應(yīng)面函數(shù)和表3所示的設(shè)計(jì)點(diǎn)及響應(yīng)值，可以求得回歸系數(shù)a，并由此可得響應(yīng)面函數(shù)為

基于內(nèi)部映射牛頓法(interior-reflective Newton method)的子空間置信域法(subspace trust-region)優(yōu)化算法對(duì)式(30)的響應(yīng)面函數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)處理，將預(yù)緊力作為設(shè)計(jì)變量，機(jī)械臂末端振動(dòng)最小化作為目標(biāo)函數(shù)，建立數(shù)學(xué)模型為

表3 響應(yīng)面函數(shù)的設(shè)計(jì)點(diǎn)和響應(yīng)值Table 3 Design points and response values of the response surface function

根據(jù)式(31)獲得的最優(yōu)預(yù)緊力的大小為70 N，如圖11 所示.說明在本文實(shí)驗(yàn)條件下，預(yù)緊力為70 N 時(shí)，機(jī)械臂末端的振動(dòng)得到最大衰減，可以獲得較高的末端精度.

圖11 預(yù)緊力與響應(yīng)值關(guān)系曲線Fig.11 The curve of preloading forces and response values

5 結(jié)論

為抑制機(jī)械臂在運(yùn)動(dòng)過程中因臂桿柔性引發(fā)的結(jié)構(gòu)變形和彈性振動(dòng)，本文提出了臂桿剛度主動(dòng)控制方法.采用變形耦合法研究了機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)過程中臂桿徑向彎曲變形對(duì)軸向變形的影響，并基于假設(shè)模態(tài)法對(duì)柔性機(jī)械臂進(jìn)行離散化描述，結(jié)合Lagrange 方程建立了臂桿的變剛度動(dòng)力學(xué)模型.在此基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了基于臂桿剛度主動(dòng)控制方法的單自由度實(shí)驗(yàn)臺(tái)，通過調(diào)節(jié)臂桿內(nèi)繩索預(yù)緊力來調(diào)節(jié)臂桿剛度，研究了機(jī)械臂在不同預(yù)緊力下末端的振動(dòng)特性.實(shí)驗(yàn)和仿真結(jié)果表明，隨著預(yù)緊力的增加，本文提出的基于臂桿剛度主動(dòng)控制的方法可以有效抑制機(jī)械臂末端的振動(dòng)，提高機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性和末端定位精度.采用響應(yīng)面法建立了機(jī)械臂末端的振動(dòng)響應(yīng)與預(yù)緊力的關(guān)系，并基于內(nèi)部映射牛頓法的子空間置信域法優(yōu)化算法得到了響應(yīng)面內(nèi)的最優(yōu)預(yù)緊力.該研究可為機(jī)械臂的精細(xì)動(dòng)力學(xué)建模提供一定的理論參考，并為研究經(jīng)濟(jì)型低剛度材料的剛化問題提供了方向，以利用廉價(jià)低剛度材料取代目前所應(yīng)用的昂貴高剛度材料.