重復(fù)使用火箭著陸結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析1)

袁 晗 王小軍 張宏劍 石玉紅 張 希 章 凌

(北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076)

(中國(guó)運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京 100076)

引言

運(yùn)載火箭作為人類(lèi)進(jìn)入太空的主要工具，高昂的發(fā)射費(fèi)用限制了人類(lèi)對(duì)太空的開(kāi)發(fā)和利用，運(yùn)載火箭的一次性使用是導(dǎo)致發(fā)射成本高昂的主要原因之一.因此對(duì)運(yùn)載器的重復(fù)使用，對(duì)于降低發(fā)射成本、提升人類(lèi)進(jìn)入太空能力具有十分重要的意義.余夢(mèng)倫[1]指出在現(xiàn)有的動(dòng)力、結(jié)構(gòu)等技術(shù)水平下，兩級(jí)入軌的重復(fù)使用運(yùn)載器較單級(jí)入軌的重復(fù)使用運(yùn)載器具有更高的可行性.美國(guó)、日本、歐洲等多個(gè)國(guó)家和地區(qū)對(duì)運(yùn)載器重復(fù)使用的多種技術(shù)方案進(jìn)行了諸多嘗試[2].美國(guó)的航天飛機(jī)是第一種實(shí)用化的重復(fù)使用運(yùn)載器，采用一級(jí)半入軌、軌道器水平返回的設(shè)計(jì)方案，但是其發(fā)射費(fèi)用遠(yuǎn)超預(yù)期，單次發(fā)射費(fèi)用高達(dá)3～4 億美元[3].美國(guó)的太空探索技術(shù)公司(SpaceX)的獵鷹9 號(hào)(Falcon-9)火箭為一種兩級(jí)入軌的運(yùn)載火箭，2015 年以垂直著陸的方式實(shí)現(xiàn)了一子級(jí)回收，并于2017 年成功實(shí)現(xiàn)了回收的火箭一子級(jí)的重復(fù)使用[4]，實(shí)現(xiàn)一子級(jí)重復(fù)使用后，其單次發(fā)射費(fèi)用從6120 萬(wàn)美元降低至4280 萬(wàn)美元[5].獵鷹9 號(hào)火箭在技術(shù)和經(jīng)濟(jì)上取得的成功，證明了兩級(jí)入軌、一子級(jí)垂直返回是一種實(shí)現(xiàn)運(yùn)載器重復(fù)使用的可行方案[6].

獵鷹9 號(hào)火箭在陸地和海上平臺(tái)垂直著陸時(shí)，通過(guò)腿式著陸緩沖機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)降低沖擊載荷和提高著陸穩(wěn)定的目的，火箭著陸過(guò)程的穩(wěn)定性是實(shí)現(xiàn)火箭垂直著陸的一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)[3].最早的垂直起降驗(yàn)證機(jī)為1993 年麥道公司(McDonnell-Douglas)研發(fā)的三角快帆(Delta Clipper)驗(yàn)證機(jī)[7]，對(duì)運(yùn)載器的垂直起降的制導(dǎo)、控制、著陸穩(wěn)定性和緩沖器性能等關(guān)鍵技術(shù)進(jìn)行了演示驗(yàn)證.歐洲、日本等國(guó)家和地區(qū)也正在開(kāi)展相應(yīng)的研究和演示驗(yàn)證工作[8].我國(guó)關(guān)于火箭垂直著陸緩沖機(jī)構(gòu)的研究起步相對(duì)較晚、研究相對(duì)較少.夏元明等[9]對(duì)金屬蜂窩材料的壓潰特性進(jìn)行了數(shù)值和實(shí)驗(yàn)研究，分析了多種設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)比吸能、峰值應(yīng)力等力學(xué)特性的影響，為蜂窩緩沖器的設(shè)計(jì)提供了參考.聶宏等[10-11]對(duì)采用油液/蜂窩混合式多級(jí)緩沖器的四腿式火箭垂直著陸過(guò)程進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)仿真分析，給出了5 種典型工況下速度的穩(wěn)定邊界，研究了緩沖器參數(shù)對(duì)著陸穩(wěn)定性的影響.楊文淼等[12]針對(duì)鋁蜂窩材料在壓縮過(guò)程中完全非彈性的特征，基于A(yíng)dams 平臺(tái)編寫(xiě)了鋁蜂窩緩沖材料的計(jì)算模型，并對(duì)采用鋁蜂窩緩沖器的四腿式火箭的垂直著陸過(guò)程進(jìn)行了仿真，分析了不同著陸模式下箭體的運(yùn)動(dòng)及可能出現(xiàn)的翻倒等風(fēng)險(xiǎn).畢春瑩等[13]設(shè)計(jì)了一種平行四邊形腿式著陸緩沖器，采用多剛體動(dòng)力學(xué)的方法，分別利用Matlab 進(jìn)行了編程建模和利用Adams 進(jìn)行仿真，分析了著陸穩(wěn)定對(duì)應(yīng)的參數(shù)邊界，二者得到的結(jié)論相似.

火箭垂直著陸的動(dòng)力學(xué)行為與月球著陸器的著陸具有一定的相似性，國(guó)內(nèi)外在月球著陸器著陸緩沖機(jī)構(gòu)和著陸穩(wěn)定性方面開(kāi)展了較多研究工作.目前關(guān)于著陸穩(wěn)定性的研究方法主要有能量法、動(dòng)力學(xué)仿真法和實(shí)驗(yàn)的方法，穩(wěn)定性分析中以翻倒為失效判據(jù)計(jì)算臨界速度.美國(guó)關(guān)于月球著陸器著陸穩(wěn)定性的研究集中于20 世紀(jì)60 年代至70 年代阿波羅計(jì)劃時(shí)期，主要研究方法為通過(guò)建立多剛體動(dòng)力模型進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真的方法和實(shí)驗(yàn)方法[14-15]，提出四條腿在穩(wěn)定性與重量上為最優(yōu)的方案[16].2000 年Doiron 等[17]總結(jié)了阿波羅計(jì)劃時(shí)期關(guān)于月球著陸器軟著陸過(guò)程的研究.國(guó)內(nèi)關(guān)于月球著陸器著陸穩(wěn)定性的研究是21 世紀(jì)以來(lái)伴隨“嫦娥”探月工程開(kāi)展的，楊建中等對(duì)月球著陸器的著陸穩(wěn)定問(wèn)題采用能量法進(jìn)行著陸腿跨距的總體方案設(shè)計(jì)[18]，采用多柔性體動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行著陸過(guò)程動(dòng)力學(xué)仿真及著陸腿設(shè)計(jì)[19]，并采用動(dòng)力學(xué)試驗(yàn)對(duì)仿真分析結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證[20]，能量法即要求著陸器瞬時(shí)著陸器的動(dòng)能小于翻倒過(guò)程越過(guò)質(zhì)心最高點(diǎn)所需的重力勢(shì)能.聶宏[21-22]采用瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)的方法對(duì)考慮了著陸器、地面柔性的著陸沖擊過(guò)程的進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)仿真，并進(jìn)行了著陸過(guò)程的實(shí)驗(yàn)研究.鄧宗全等[23-25]采用多剛體動(dòng)力學(xué)模型，給出了四腿桁架式月球著陸器著陸過(guò)程的顯式動(dòng)力學(xué)建模方法，并將零力矩點(diǎn)法引入到著陸穩(wěn)定性分析中.卿啟湘等[26]對(duì)著陸器采用多柔性體動(dòng)力學(xué)模型，分析了著陸器在剛性地面和月壤柔性地面的著陸過(guò)程，指出當(dāng)偏航角為22.5?時(shí)著陸穩(wěn)定性最為惡劣.

基于能量的方法具有簡(jiǎn)潔、對(duì)精細(xì)化的動(dòng)力學(xué)模型依賴(lài)較少的優(yōu)點(diǎn)，但是其結(jié)論較為保守，尤其是能量法將觸地時(shí)所有動(dòng)能均視為翻倒能，但動(dòng)力學(xué)仿真表明，當(dāng)著陸腿中含有塑性緩沖吸能材料時(shí)，著陸時(shí)豎直方向速度的大小對(duì)不翻倒對(duì)應(yīng)的參數(shù)邊界的影響較小[13].基于動(dòng)力學(xué)仿真的方法及實(shí)驗(yàn)的方法結(jié)論更為準(zhǔn)確，但是其分析過(guò)程對(duì)精細(xì)化的動(dòng)力學(xué)模型較為依賴(lài)，而在重復(fù)使用火箭的方案設(shè)計(jì)初期確定著陸腿的幾何參數(shù)時(shí)，由于對(duì)象尚未確定，往往難以建立精細(xì)的動(dòng)力學(xué)模型，所以難以采用動(dòng)力學(xué)仿真或?qū)嶒?yàn)的方法.火箭著陸問(wèn)題為含摩擦的多點(diǎn)碰撞問(wèn)題，基于廣義碰撞定律(generalized impact law)的運(yùn)動(dòng)學(xué)研究可以在方案設(shè)計(jì)初期，對(duì)著陸穩(wěn)定性分析提供借鑒.目前基于運(yùn)動(dòng)學(xué)方法對(duì)著陸器著陸穩(wěn)定性的研究較少，Brogliato 等[27]曾將廣義碰撞定律應(yīng)用于Rocking Block 問(wèn)題，討論了黏滯和無(wú)摩擦狀態(tài)下二維Rocking Block 問(wèn)題中碰撞后速度的取值范圍.

Rocking Block 問(wèn)題首先由Housner[28]在研究1962 年智利大地震時(shí)地震作用下地表的建筑物、室內(nèi)的家具等的晃動(dòng)問(wèn)題時(shí)提出.該問(wèn)題研究放置于平臺(tái)上受到平臺(tái)單邊約束的物體(稱(chēng)為浮放物體)在初始條件和平臺(tái)運(yùn)動(dòng)激勵(lì)下在平臺(tái)上晃動(dòng)，并與平臺(tái)發(fā)生多點(diǎn)碰撞.對(duì)二維的Rocking Block 問(wèn)題，碰撞通常采用兩點(diǎn)碰撞模型[27-36]或線(xiàn)碰撞模型[37].Shenton 等[29-30]分析了在平臺(tái)的晃動(dòng)激勵(lì)下浮放物體可能的運(yùn)動(dòng)模式，并給出了其動(dòng)力學(xué)方程；Lipscombe[31]對(duì)長(zhǎng)細(xì)比為1，2，4，8 的鋼制浮放塊，對(duì)兩點(diǎn)接觸的碰撞條件下的二維Rocking Block 問(wèn)題進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，觀(guān)察到了Free Rocking 和Half Rocking 兩種運(yùn)動(dòng)模式；王琪等[32-35]對(duì)含摩擦碰撞中黏滯--滑移狀態(tài)的判斷問(wèn)題，將其轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性互補(bǔ)問(wèn)題進(jìn)行求解，并采用該方法對(duì)含間隙滑移鉸和含支撐腿的浮放物體進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)仿真，驗(yàn)證了該法的精度和效率；張宏劍等[36]采用一種處理含摩擦多點(diǎn)碰撞問(wèn)題的方法(LZB 法[38-39])對(duì)Rocking Block 問(wèn)題進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)仿真，驗(yàn)證了動(dòng)力學(xué)角為含摩擦多碰撞沖擊問(wèn)題中描述能量傳遞效應(yīng)的有效參數(shù).張宏劍等[37]將LZB 法與離散方法結(jié)合，研究了線(xiàn)碰撞問(wèn)題，驗(yàn)證了該方法的收斂性.

本文采用廣義碰撞定律，根據(jù)單邊約束條件和碰撞中的機(jī)械能損失，對(duì)平面運(yùn)動(dòng)著陸模式下火箭與平臺(tái)碰撞中廣義恢復(fù)系數(shù)的值域進(jìn)行了探討.本文首先對(duì)火箭和平臺(tái)建立剛體平面運(yùn)動(dòng)模型，將該種著陸模式下空間的四點(diǎn)碰撞問(wèn)題簡(jiǎn)化為平面的兩點(diǎn)碰撞問(wèn)題，然后根據(jù)動(dòng)力學(xué)方程和單邊約束條件，給出了廣義恢復(fù)系數(shù)的值域，然后討論了黏滯、光滑和滑動(dòng)摩擦條件下，F(xiàn)ree Rocking 和Half Rocking 兩種碰撞后運(yùn)動(dòng)模式廣義運(yùn)動(dòng)學(xué)恢復(fù)系數(shù)的值域，對(duì)于箭體與著陸平臺(tái)完全非彈性碰撞的情況，給出了由其幾何構(gòu)型所決定的廣義運(yùn)動(dòng)學(xué)恢復(fù)系數(shù)，最終提出了一種基于廣義碰撞定律的著陸穩(wěn)定性判別方法，簡(jiǎn)稱(chēng)GKILSC 法(generalized impact law based stable criterion method).

1 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

對(duì)于重復(fù)使用運(yùn)載火箭的著陸過(guò)程，依據(jù)四條著陸腿是否存在同時(shí)落地，可以分為4，2-2，1-2-1，1-1-1-1 共4 種著陸模式，其中4 模式表示4 條著陸腿同時(shí)落地；2-2 模式表示先有兩條腿同時(shí)落地，再有兩條腿同時(shí)落地；1-2-1 模式表示先有1 條腿落地，然后兩條腿同時(shí)著地，最后再有1 條腿落地，這里考慮了著陸腿的形變導(dǎo)致著陸過(guò)程中4 條腿的著陸點(diǎn)不恒共面；1-1-1-1 模式表示4 條腿不同時(shí)依次落地；其中2-2 模式和1-2-1 模式均為平面運(yùn)動(dòng)著陸模式，有研究通過(guò)三維動(dòng)力學(xué)仿真表明，2-2 模式較1-2-1 模式的穩(wěn)定性更差[25].本文將針對(duì)2-2 模式，基于剛體動(dòng)力學(xué)研究其著陸的穩(wěn)定性.

如圖1 所示，在2-2 著陸模式下，形如太空探索技術(shù)公司的獵鷹9 號(hào)火箭的倒三角式著陸腿(a)和型如藍(lán)色起源太空公司的新謝潑德火箭的平行四邊形式著陸腿(b)均可簡(jiǎn)化為圖1 中部所示的平面動(dòng)力學(xué)模型，在采用剛體動(dòng)力學(xué)分析時(shí)，兩種模型可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為(c)所示的剛體平面運(yùn)動(dòng)的通用等效模型.其質(zhì)心C距離著陸腿底部的軸向距離為h，著陸腿跨距為2b，質(zhì)量為m，繞過(guò)質(zhì)心且垂直于運(yùn)動(dòng)平面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jc.

圖1 2-2 著陸模式的通用等效模型Fig.1 Universal equivalent model of 2-2 landing mode

1.1 著陸過(guò)程動(dòng)力學(xué)模型

箭體與著陸平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)模型如圖2 所示，其質(zhì)心水平坐標(biāo)為xc，質(zhì)心距著陸平臺(tái)高度為yc，箭體傾角為θ，取描述系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)q=，1 點(diǎn)、2 點(diǎn)與著陸平臺(tái)的距離分別為δ1(q)，δ2(q).

圖2 運(yùn)載火箭著陸的動(dòng)力學(xué)模型Fig.2 Dynamics model of RLV landing

則箭體受到單邊約束

箭體可能在1 點(diǎn)和2 點(diǎn)受到約束面的作用力，設(shè)1 和2 兩點(diǎn)處的支撐力為Fn,1和Fn,2，摩擦力為Ff,1和Ff,2，則系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

同時(shí)約束面作用力Fn,1和Fn,2與δ1和δ2滿(mǎn)足線(xiàn)性互補(bǔ)條件[32-35]

1.2 切向力模型

諸多研究人員對(duì)碰撞中的摩擦現(xiàn)象提出了多種摩擦模型，例如庫(kù)倫摩擦模型、庫(kù)倫摩擦+黏性摩擦模型、Stribeck 摩擦模型等[40]，本文采用經(jīng)典庫(kù)倫干摩擦模型，其摩擦力Ff,i為

其中，F(xiàn)n,i為該點(diǎn)支撐力；μ為摩擦系數(shù)；vτ,i為碰撞兩點(diǎn)切向的相對(duì)速度；Sgn(·)為集值函數(shù)[35].

對(duì)于碰撞過(guò)程中的切向沖量Iτ,i=，在這里對(duì)碰撞過(guò)程中引入假設(shè).

假設(shè)1：若碰撞結(jié)束后vτ,i(t+)≠0，則在碰撞過(guò)程中vτ,i不連續(xù)為0，且碰撞過(guò)程中始終有

得切向沖量與法向沖量滿(mǎn)足

在碰撞過(guò)程中切向可能存在黏滯--滑移切換及滑移方向切換，對(duì)切向沖量與速度的關(guān)系產(chǎn)生影響，研究者們對(duì)處理碰撞過(guò)程中的黏滯--滑移問(wèn)題提出了諸多處理方法，可對(duì)該問(wèn)題中摩擦沖量的精確求解提供借鑒[32-35,38-39,41-42].但在庫(kù)倫干摩擦模型下恒有≤μIn,i，且在碰撞過(guò)程中vτ,i方向不切換的情況下，該不等式取等號(hào).

2 基于廣義碰撞定律的分析

2.1 廣義碰撞定律

對(duì)于受到l個(gè)單邊約束的n維Lagrange 系統(tǒng)，該系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)為q，每個(gè)單邊約束為φi(q)≥0，1 ≤i≤l，同時(shí)系統(tǒng)具有對(duì)稱(chēng)正定的廣義質(zhì)量矩陣M(q).同時(shí)在該空間下對(duì)任意向量ν1，ν2定義內(nèi)積，則可定義每個(gè)單邊約束的單位法向量

若這l個(gè)單邊約束互相獨(dú)立，則在該Lagrange 系統(tǒng)中共有l(wèi)個(gè)約束面的法向量，且線(xiàn)性無(wú)關(guān).同時(shí)可找到n?l個(gè)單位向量tj，滿(mǎn)足正交性=0 和單位性=δij.則可構(gòu)造一組該Lagrange 系統(tǒng)的基向量{n1,n2,···,nl,t1,t2,···,tn?l}，對(duì)于該系統(tǒng)中的任意狀態(tài)p，可由該組基表出p=c1n1+c2n2+··· +clnl+d1t1+d2t2+··· +dn?ltn?l，其中c1,c2,···,cl≥0，即該Lagrange 系統(tǒng)為n維空間的一個(gè)廣義錐面.定義原坐標(biāo)到的坐標(biāo)變換矩陣=(n1,n2,···,nl,t1,t2,···,tn?l)T，進(jìn)一步定義廣義法向速度、廣義切向速度

當(dāng)約束面無(wú)摩擦?xí)r約束面無(wú)法提供切向力，設(shè)第i個(gè)單邊約束的法向約束力為Fn,i，其虛功為δWi=Fn,iδφi(q)，進(jìn)一步得系統(tǒng)受到的約束力的虛功δW=和廣義力.其中為一個(gè)n×l維的矩陣，此外系統(tǒng)受到廣義常規(guī)力，如重力等.則廣義坐標(biāo)下系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為.在t時(shí)刻系統(tǒng)發(fā)生碰撞，表示碰撞開(kāi)始時(shí)刻，t+表示碰撞結(jié)束時(shí)刻，則碰撞過(guò)程中有

在碰撞過(guò)程中，引入以下兩個(gè)假設(shè)[38-39]：

其中n=(n1,n2,···,nl)T，即n為的前l(fā)行.

對(duì)于含摩擦的碰撞，可定義一個(gè)切向恢復(fù)系數(shù)矩陣ετ，其元素eτ,ii=，即為碰撞前后速度之比.則其廣義碰撞定律為

系統(tǒng)無(wú)摩擦?xí)r其切向恢復(fù)系ετ=?In?l，這里In?l表示n?l維單位矩陣.

2.2 一般情況碰撞后速度分析

對(duì)于上述運(yùn)載火箭著陸問(wèn)題，由式(2)得

約束方程為式(1)，即φ1(q)=δ1(q)≥0，φ2(q)=δ2(q)≥0，由式(6)得正交化的單位向量

由式(7)、式(11)和 式(12)得

由式(10)得

在運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)，考察2 點(diǎn)與地面碰撞后保持與地面接觸qn,2=0，=0，1 點(diǎn)懸空且<0，如圖3 左側(cè)所示.

圖3 箭體與平臺(tái)的兩點(diǎn)碰撞過(guò)程Fig.3 Impact procedure between rocket and platform

在t時(shí)刻1 點(diǎn)與地面發(fā)生碰撞，即qn,1(t)=0，θ(t)=0，則在t時(shí)刻箭體與地面發(fā)生多點(diǎn)碰撞，在空間中為四條著陸腿與地面的四點(diǎn)碰撞，在簡(jiǎn)化的平面運(yùn)動(dòng)模型中為兩點(diǎn)碰撞，碰撞后運(yùn)動(dòng)如圖3 右側(cè)所示.碰撞前的速度為

由式(13)得碰撞前的廣義速度

由式(13)和式(17)得碰撞后箭體的速度

根據(jù)動(dòng)量定理和相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理得

由于在碰撞中Iτ,1與Iτ,2方向相同、作用在同一條直線(xiàn)上，且vτ,1=vτ,2，故Iτ,1與Iτ,2對(duì)箭體的影響為耦合的，令I(lǐng)τ=Iτ,1+Iτ,2，由式(15)、式(18)、式(21)，得到3 個(gè)沖量

單邊約束要求In,1≥0，In,2≥0，得不等式

摩擦沖量如式(5)所示，由于碰撞時(shí)刻θ(t)=0，令vτ(t)=vτ,1(t)=vτ,2(t)，有

由式(15)、式(18)得碰撞前后接觸點(diǎn)的切向速度

若碰撞過(guò)程為滑動(dòng)摩擦，即vτ(t+)≠0，切向恢復(fù)系數(shù)

同時(shí)vτ(t+)≠ 0 對(duì)μ 的上限有約束，按照vτ(t+)>0 和vτ(t+)<0 兩種情況進(jìn)行討論.

當(dāng)vτ(t+)>0，由式(25)、式(21)、式(24)得碰撞后接觸點(diǎn)的切向速度vτ(t+)=vx0?μ(1+en,1+en,21)ωb+(en,1?en,21)ωh>0，即要求μ滿(mǎn)足

當(dāng)vτ(t+)<0，同理可得vτ(t+)=vx0+μ(1+en,1+en,21)ωb+(en,1?en,21)ωh<0，即要求μ滿(mǎn)足

若為靜摩擦，碰撞后箭體與地面相對(duì)滑移速度為0，則有vτ(t+)=0，由式(25)得幾何約束

又由于vτ(t+)=0，則Sgn(vτ(t+))2 [?1,1].將式(24)、式(29)代入式(22)，得恢復(fù)系數(shù)en,1，en,21與μ間需滿(mǎn)足的關(guān)系

總結(jié)，廣義運(yùn)動(dòng)學(xué)恢復(fù)系數(shù)需滿(mǎn)足如下條件：

(1)碰撞過(guò)程中的機(jī)械能損失條件式(20)；

(2)運(yùn)動(dòng)的單邊約束條件式(19)；

(3)法向沖量的單邊約束條件式(23)；

(4)摩擦條件，對(duì)于滑動(dòng)摩擦，其切向恢復(fù)系數(shù)滿(mǎn)足式(26)，同時(shí)μ需滿(mǎn)足要求式(27)、式(28)；對(duì)于靜摩擦，需滿(mǎn)足式(29)和式(30).

3 典型運(yùn)動(dòng)模式分析

上文討論了無(wú)附加約束下恢復(fù)系數(shù)的值域，為碰撞后運(yùn)動(dòng)的一般情況，諸多分析和試驗(yàn)表明發(fā)生如圖3 所示的碰撞后，箭體通常有一條腿與著陸平臺(tái)保持接觸[27-31,35].若碰撞后1 點(diǎn)與平臺(tái)保持接觸，即en,1=0，en,21≥0，該運(yùn)動(dòng)模式稱(chēng)為Free Rocking；若碰撞后2 點(diǎn)與平臺(tái)保持接觸，即en,1≥ 0，en,21=0，該運(yùn)動(dòng)模式稱(chēng)為Half Rocking.兩種運(yùn)動(dòng)模式如圖4 所示.下面，本文將分別討論這兩種運(yùn)動(dòng)模式在碰撞前后保持黏滯、無(wú)摩擦、碰撞前滑動(dòng)碰撞后黏滯、碰撞前后保持滑動(dòng)摩擦4 種情況下其恢復(fù)系數(shù)、幾何參數(shù)、摩擦系數(shù)需滿(mǎn)足的條件.

圖4 兩種典型運(yùn)動(dòng)模式Fig.4 The two typical motion

3.1 Free Rocking 模式，碰撞前后保持黏滯

由于碰撞前后均為黏滯狀態(tài)vτ(t?)=vτ(t+)=0,摩擦為靜摩擦，由式(25)得eτ=?en,21.

由式(19)碰撞后單邊運(yùn)動(dòng)約束和式(20)機(jī)械能約束、式(23)沖量的單邊約束條件、式(30)靜摩擦條件得

3.2 Free Rocking 模式，無(wú)摩擦

無(wú)摩擦?xí)r認(rèn)為保持滑動(dòng)且μ=0，Iτ=0，由式(19)和式(20)、式(23)、式(26)得

綜上所述有en,212[max(0,ec2,1),1].若ec2,1>0，即b2

3.3 Free Rocking 模式，碰撞前滑動(dòng)、碰撞后黏滯

由于碰撞后為黏滯狀態(tài)，故摩擦為靜摩擦，且有vτ(t+)=0，由式(25)、式(19)和式(20)、式(23)、式(30)得

3.4 Free Rocking 模式，碰撞前后保持滑動(dòng)摩擦

對(duì)于滑動(dòng)摩擦，需要考慮vτ(t+)正負(fù)兩種情況.

當(dāng)vτ(t+)>0，由式(19)和式(20)、式(23)及vτ(t+)>0 的條件式(26)、式(27)得

需證明ec4,1≤ec4,2且ec4,2≥ 0 恒成立.由式(34)可知vx0>en,21ωh+μ(1+en,21)ωb，進(jìn)一步得

即恒有ec4,1

由式(34)可知μc4,1≤vx0/ωb≤μc4,2.故≤μc4,1均有μc4,1<μc4,2.

當(dāng)vτ(t+)<0，同理可得

同時(shí)，可證恒有ec4,3

3.5 Half Rocking 模式，碰撞前后保持黏滯

由于碰撞前后均為黏滯狀態(tài)，故摩擦為靜摩擦,且有vτ(t?)=vτ(t+)=0，由式(19)和式(20)、式(23)、式(25)、式(30)得

由式(36)的第2 式可知，Half Rocking 模式僅跨距較大時(shí)可能發(fā)生.

3.6 Half Rocking 模式，無(wú)摩擦狀態(tài)

無(wú)摩擦?xí)r認(rèn)為保持滑動(dòng)且μ=0,Iτ=0，由式(19)和式(20)、式(23)、式(26)得

與3.5 結(jié)論相似，由式(37)的第2 式可知，Half Rocking 模式僅在跨距較大時(shí)才可能發(fā)生.

3.7 Half Rocking 模式，碰撞前滑動(dòng)、碰撞后黏滯

由于碰撞后為黏滯狀態(tài)vτ(t+)=0，故摩擦為靜摩擦，由式(19)和式(20)、式(23)、式(25)、式(30)得

與3.5 節(jié)碰撞中保持黏滯相比，若碰撞前向左側(cè)滑動(dòng)vx0?ωh<0，Half Rocking 運(yùn)動(dòng)模式對(duì)跨距的要求更低；若碰撞前向右側(cè)滑動(dòng)vx0?ωh>0，Half Rocking 運(yùn)動(dòng)模式對(duì)跨距的要求更高.

3.8 Half Rocking 模式，碰撞前后保持滑動(dòng)摩擦

對(duì)于滑動(dòng)摩擦，需要考慮vτ(t+)正負(fù)兩種情況.

當(dāng)vτ(t+)>0，由式(19)和式(20)、式(23)、式(26)、式(27)得

需證明ec8,1≥0 恒成立.由μ<μc8,1得vx0/ωh>(1+en,1)μb/h?en,1，進(jìn)一步得

由en,1≥0 可證不等式右側(cè)≥0，則ec8,1≥0.故有.

當(dāng)vτ(t+)<0，同理可得

同時(shí)可證恒有ec8,2≥0，此.

由上述分析可知，在Half Rocking 運(yùn)動(dòng)中單邊約束式(23)將簡(jiǎn)化為幾何約束，且該種運(yùn)動(dòng)模式僅在跨距較大時(shí)才可能發(fā)生.

表1 2 種典型運(yùn)動(dòng)模式運(yùn)動(dòng)學(xué)恢復(fù)系數(shù)的值域和必要條件Table 1 The kinematic restitution coefficient and necessary condition of 2 typical behavior

表1 2 種典型運(yùn)動(dòng)模式運(yùn)動(dòng)學(xué)恢復(fù)系數(shù)的值域和必要條件(續(xù))Table 1 The kinematic restitution coefficient and necessary condition of 2 typical behavior(continued)

4 基于完全非彈性碰撞假設(shè)的箭體著陸

在工程中由著陸腿中通常添加吸能構(gòu)件，如鋁蜂窩緩沖器[9,12,18-23,26]、油液緩沖器[11,13]或混合緩沖器[10]，使得箭體與地面的碰撞接近完全非彈性碰撞.對(duì)于完全非彈性碰撞，碰撞后的運(yùn)動(dòng)模式為Free Rocking 或在縱向靜止[27]，即碰撞后其en,1=0，en,21為3.1～3.4en,21中的下界.下面將從3.1～3.4 的分析出發(fā)分析完全非彈性碰撞下其廣義運(yùn)動(dòng)學(xué)恢復(fù)系數(shù).

4.1 不同速度組合下的運(yùn)動(dòng)學(xué)恢復(fù)系數(shù)

當(dāng)μ較大、碰撞時(shí)水平速度vx0絕對(duì)值較小，碰撞后可出現(xiàn)黏滯狀態(tài)，即vτ(t+)=0.當(dāng)vx0沿負(fù)向增大，則會(huì)出現(xiàn)vτ(t+)<0 的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，即在圖2 所示的坐標(biāo)系下，接觸點(diǎn)向左滑動(dòng)；反之當(dāng)vx0沿正向增大，則vτ(t+)>0 接觸點(diǎn)向右滑動(dòng)，接下來(lái)分別討論3 種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及其臨界情況.

對(duì)碰撞后接觸點(diǎn)向左滑動(dòng)和黏滯的臨界情況，μ與速度需滿(mǎn)足式(41)，定義此時(shí)的臨界速度比(vx0/ωh)ch1如式(42)，其中ec4,3由式(35)給出

若vx0/ωh<(vx0/ωh)ch1，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為碰撞后接觸點(diǎn)向左滑動(dòng)，en,21=ec4,3，eτ由式(35)給出.對(duì)碰撞后接觸點(diǎn)黏滯與向右滑動(dòng)的臨界情況，μ與速度需滿(mǎn)足式(43)，臨界速度比(vx0/ωh)ch2如式(44)

若vx0/ωh>(vx0/ωh)ch2，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為碰撞后接觸點(diǎn)向右滑動(dòng)，en,21=ec4,1，eτ由式(34)給出.

若(vx0/ωh)ch1≤vx0/ωh≤ (vx0/ωh)ch2，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為碰撞后黏滯，en,21=ec3,1，eτ由式(33)給出.由ec3,1，ec4,1，ec4,3的表達(dá)式可知ec4,3≤ec3,1≤ec4,1，即ec4,3和ec4,1分別為en,21的下界和上界.

3.1 中所分析的箭體與平臺(tái)碰撞前后接觸點(diǎn)均保持黏滯所示的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，為當(dāng)(vx0/ωh)ch2≥1 時(shí)，3.3 所分析的碰撞后黏滯的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在vx0/ωh=1 時(shí)的特殊情況；3.2 所分析的無(wú)摩擦的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，為當(dāng)μ=0 時(shí)，3.4 滑動(dòng)摩擦的特殊情況.

根據(jù)上述分析，考慮單邊運(yùn)動(dòng)約束en,21≥0，en,21與碰撞前速度比vx0/ωh的關(guān)系可總結(jié)如表2.

表2 完全非彈性碰撞中運(yùn)動(dòng)學(xué)恢復(fù)系數(shù)Table 2 Kinematic restitution coefficient in completely inelastic collision

由式(34)可知，當(dāng)μh≥b時(shí)ec4,1>1，即在向右滑動(dòng)時(shí)碰撞后角速度增大，即雖然碰撞后總機(jī)械能降低，但是在摩擦的作用下，使得箭體的角速度增大，進(jìn)而增大了箭體翻倒的可能，該種情況僅可能發(fā)生在摩擦沖量向左時(shí).由式(35)可知恒有ec4,3<1，即當(dāng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為箭體與平臺(tái)碰撞后向左滑動(dòng)時(shí)，碰撞后箭體的角速度必然降低.

本文雖然沒(méi)有對(duì)碰撞過(guò)程中接觸點(diǎn)黏滯--滑移的狀態(tài)切換過(guò)程進(jìn)行判斷，但在經(jīng)典庫(kù)倫干摩擦模型描述摩擦力的前提下≤μIn,i恒成立，由上述分析可知，結(jié)論ec4,3≤en,21≤ec4,1及ec4,3，ec4,1的取值與碰撞過(guò)程中對(duì)黏滯-滑移狀態(tài)的判斷方法無(wú)關(guān)，僅影響(vx0/ωh)ch2和ec3,1的取值.若對(duì)上述切換過(guò)程進(jìn)行動(dòng)態(tài)判斷，當(dāng)0

可見(jiàn)vx0/ω 較小，甚至為負(fù)，更有利于著陸穩(wěn)定，由于，故在圖3 所示的坐標(biāo)系下同號(hào)更有利于著陸穩(wěn)定.

表3 碰撞后停止的必要條件Table 3 Necessary condition of motionless after impact

4.2 翻倒評(píng)價(jià)準(zhǔn)則

本節(jié)討論當(dāng)1 點(diǎn)接觸平臺(tái)且˙θ<0 時(shí)，箭體是否向右側(cè)翻倒的問(wèn)題.在碰撞結(jié)束到翻倒過(guò)程中，1 點(diǎn)與地面保持接觸，接觸狀態(tài)可能為黏滯、保持滑動(dòng)、先滑動(dòng)后黏滯，同時(shí)滑動(dòng)需考慮兩個(gè)方向.本節(jié)基于能量法提出一種考慮摩擦的不翻倒的判斷方法.首先，不翻倒的充分條件為其的動(dòng)能小于翻倒所需的重力勢(shì)能，如式(45).這里為討論方便，動(dòng)能和和重力勢(shì)能均除以質(zhì)量

為便于分析，設(shè)一直線(xiàn)平移坐標(biāo)系P系(非慣性系)，其y軸固連于質(zhì)心，x軸與大地坐標(biāo)系重合，如圖5 所示.在該系中質(zhì)心水平速度=0，箭體受過(guò)質(zhì)心的重力、慣性力FI，過(guò)1 點(diǎn)的支撐力Fn,1、摩擦力Ff,1，翻倒過(guò)程中僅重力和Ff,1做功.

圖5 直線(xiàn)平移坐標(biāo)系Fig.5 Straight-line translation coordinate

若不考慮摩擦，F(xiàn)f,1=0，不翻倒的條件為

定義摩擦角?μ=arctan(μ).當(dāng)>0 且翻倒過(guò)程中1 點(diǎn)相對(duì)著陸平臺(tái)始終向右滑動(dòng)，F(xiàn)f,1<0，在P系中摩擦力做正功，且若箭體質(zhì)心與1 點(diǎn)連線(xiàn)與豎直方向夾角αc1?μ箭體質(zhì)心加速度具有向下的分量，則Fn,1≤mg，故翻倒過(guò)程中≤μmg.在P系中考察箭體從θ=0 轉(zhuǎn)動(dòng)到跨過(guò)摩擦角的過(guò)程，若初始動(dòng)能和摩擦力做功小于重力勢(shì)能變化，則不會(huì)翻倒，不翻倒的條件為

式(45)～式(47)為不翻倒的充分條件，定義翻倒能量Efall和無(wú)量綱的穩(wěn)定系數(shù)γstable，不翻倒需滿(mǎn)足式(48)，靜止時(shí)γstable=1.

4.3 靜止平臺(tái)著陸穩(wěn)定性判別方法

第三章的分析均為分析火箭以2-2 模式著陸時(shí)箭體與著陸平臺(tái)的第二次碰撞，在本節(jié)中將考慮在2-2 著陸模式下箭體與著陸平臺(tái)的第一次和第二次碰撞，以碰撞后不翻倒為穩(wěn)定條件給出一種小姿態(tài)角下著陸穩(wěn)定性判別方法，碰撞均視為完全非彈性碰撞，其碰撞過(guò)程如圖6 所示，坐標(biāo)系與圖2 一致，其中表示第j次碰撞中i點(diǎn)的法向沖量.

圖6 箭體著陸碰撞過(guò)程Fig.6 Landing impact procedure of the rocket

首先假定第一次碰撞保持黏滯，碰撞時(shí)的切向沖量與法向沖量為

在前期設(shè)計(jì)時(shí)，在小姿態(tài)角著陸情況下難以判斷第一次碰撞發(fā)生在1 點(diǎn)還是2 點(diǎn)，故應(yīng)考慮兩種情況并取不利的情況作為著陸速度的限制.

該法為即為GKILSC 法.

5 算例

以文獻(xiàn)[10]中采用的四腿式火箭垂直著陸原理樣機(jī)為例，考察完全非彈性碰撞下火箭的著陸過(guò)程.該樣機(jī)在2-2 著陸模式下b=3.43 m，著陸腿展開(kāi)后質(zhì)心高度h=7.27 m，著陸體總質(zhì)量m=5400 kg，其中著陸腿重200 kg，μ=0.3，繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jc=1.354×105kg·m2.由式(42)、式(44)得

對(duì)于上述參數(shù)，由表2 得en,21與vx0/ωh的關(guān)系如圖7 所示.對(duì)其跨距進(jìn)行調(diào)整，分析跨距對(duì)恢復(fù)系數(shù)ec4,3，ec4,1及其對(duì)應(yīng)的臨界速度比(vx0/ωh)ch1，(vx0/ωh)ch2影響，半跨距b取2～6 m，由于著陸腿質(zhì)量?jī)H為200 kg，故可近似忽略跨距變化對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，結(jié)果如圖8 所示.對(duì)μ進(jìn)行調(diào)整，分析μ對(duì)恢復(fù)系數(shù)ec4,1，ec4,3及其對(duì)應(yīng)的臨界速度比影響，同樣保持其他參數(shù)與文獻(xiàn)[10]一致，μ取0 到0.8，結(jié)果如圖9 所示.

圖7 恢復(fù)系數(shù)與速度比Fig.7 Restitution coefficient and speed ratio

由圖8(a)可見(jiàn)ec4,1，ec4,3均隨跨距增大而減小，即隨跨距增大著陸過(guò)程更穩(wěn)定.由于，故當(dāng)ec4,3≤ 0 時(shí)表示當(dāng)vx0/ωh小于某個(gè)臨界速度比時(shí)en,21=0，即箭體停止搖晃.當(dāng)ec4,1≤ 0 時(shí)表示無(wú)論何種速度比碰撞后均停止搖晃.由圖8(b)可見(jiàn)兩個(gè)臨界速度比均隨跨距增大而減小，說(shuō)明隨跨距增大，發(fā)生碰撞后向右滑動(dòng)對(duì)速度比的要求降低，發(fā)生碰撞后向左滑動(dòng)對(duì)速度比要求升高.同時(shí)，在同樣的vx0/ωh下，en,21隨著b的增大而減小，直到en,21=0.

圖8 著陸腿跨距的影響Fig.8 Result of leg span

由圖9(a)可見(jiàn)，μ=0 時(shí)ec4,1=ec4,3=0.361 3,即ec2,1.隨著μ增大，ec4,3和(vx0/ωh)ch1減小，ec4,1和(vx0/ωh)ch2增大，即摩擦力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的影響增大，在摩擦較大的情況下應(yīng)盡量使得著陸前與同號(hào).由圖9(b)可見(jiàn)隨著μ增大，發(fā)生碰撞后黏滯的可能性增大.

采用上述穩(wěn)定性判別方法對(duì)上述模型計(jì)算其著陸的速度容許范圍，即γstable=0 對(duì)應(yīng)的著陸速度.不同下落速度的速度容許范圍見(jiàn)圖9(a)；取不同跨距，=?3 m/s，其他參數(shù)不變，速度容許范圍見(jiàn)圖9(b)；取不同的摩擦系數(shù)，=?3 m/s，其他參數(shù)不變，速度容許范圍見(jiàn)圖9(c).

圖9 摩擦系數(shù)的影響Fig.9 Result of friction coefficient

在小姿態(tài)角著陸時(shí)需要考慮第一次碰撞發(fā)生在1 點(diǎn)或2 點(diǎn)兩種情況并分別計(jì)算其γstable并對(duì)二者取不利情況，即取兩種情況γstable的較小值.則對(duì)任意著陸速度在著陸穩(wěn)定分析中其γstable與對(duì)應(yīng)的γstable相等，可見(jiàn)圖9 所示的穩(wěn)定速度邊界也具有這種對(duì)稱(chēng)性.由圖9(a)可見(jiàn)，在圖2 所建立的坐標(biāo)系下著陸前角速度與切向速度同號(hào)時(shí)著陸更穩(wěn)定，豎直下降速度對(duì)穩(wěn)定性的影響較為復(fù)雜，但穩(wěn)定區(qū)間差別較小，與動(dòng)力學(xué)仿真的結(jié)論相似[12].同時(shí)=?5 m/s 與?1 m/s 和?3 m/s 兩種速度在角速度與切向速度同號(hào)且較大時(shí)速度容許范圍邊界的趨勢(shì)不同，是由于其翻倒模式不同.以>0 為例，=?5 m/s 時(shí)其翻倒模式為首先在1 點(diǎn)發(fā)生碰撞后再發(fā)生第二次碰撞，隨后繞2 點(diǎn)翻倒；而=?1 m/s 或?3 m/s 時(shí)其翻倒模式為在2 點(diǎn)發(fā)生碰撞后繞2 點(diǎn)翻倒，不發(fā)生第二次碰撞.對(duì)于圖9(b)b=2 m 時(shí)，且較大時(shí)翻倒模式與圖9(a)=?5 m/s 時(shí)相同，同時(shí)由圖9(b)可見(jiàn)隨著陸腿跨距增大穩(wěn)定性增強(qiáng).由圖9(c)可見(jiàn)隨著μ增大在較大、較小時(shí)著陸更穩(wěn)定，在較小、較大時(shí)著陸更不穩(wěn)定，考慮到垂直著陸時(shí)水平速度通常較小，故μ增大有利于著陸穩(wěn)定.若干算例對(duì)應(yīng)的容許速度范圍的邊界沿水平軸無(wú)限延伸，此時(shí)為判據(jù)式(47)所示的情況，即始終保持滑動(dòng)也不會(huì)翻倒.

圖10 參數(shù)對(duì)速度容許范圍的影響Fig.10 Admissible speed domain in different parameters

圖10 參數(shù)對(duì)速度容許范圍的影響(續(xù))Fig.10 Admissible speed domain in different parameters(continued)

圖11 能量法與本文方法速度容許范圍的對(duì)比Fig.11 Admissible domain of speed comparison between Energy method and GKILSC method

6 結(jié)論

本文基于廣義碰撞定律，對(duì)重復(fù)使用運(yùn)載火箭在2-2 著陸模式下的著陸穩(wěn)定性問(wèn)題進(jìn)行了研究，本文首先將該種著陸模式下火箭與平臺(tái)的碰撞簡(jiǎn)化為平面運(yùn)動(dòng)兩點(diǎn)碰撞問(wèn)題，采用單邊約束條件刻畫(huà)豎直方向上的速度和沖量，采用經(jīng)典庫(kù)倫干摩擦模型刻畫(huà)切向沖量.同時(shí)考慮機(jī)械能的約束，給出了該著陸模式下火箭與平臺(tái)發(fā)生多點(diǎn)碰撞后速度的值域.

對(duì)于浮放物體實(shí)驗(yàn)中觀(guān)測(cè)到的Free Rocking 和Half Rocking 碰撞后兩種運(yùn)動(dòng)模式，分別考慮了滑動(dòng)摩擦和靜摩擦狀態(tài)下，給出了碰撞過(guò)程中恢復(fù)系數(shù)的值域.最后基于實(shí)際工程中碰撞為接近完全非彈性碰撞的情況，給出了碰撞后切向速度和角速度與碰撞前切向速度和角速度的表達(dá)式，并提出了一種著陸穩(wěn)定性的判別方法，該法形式較為簡(jiǎn)單，通過(guò)近似和簡(jiǎn)化避免了積分過(guò)程，適用于前期著陸穩(wěn)定性估計(jì).隨后通過(guò)算例分析了著陸腿跨距、摩擦系數(shù)對(duì)第二次碰撞中的廣義運(yùn)動(dòng)學(xué)恢復(fù)系數(shù)和著陸穩(wěn)定的速度容許范圍的影響，以及不同豎直速度、著陸腿跨距、摩擦系數(shù)在水平速度--角速度剖面上對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定要求的速度容許范圍.

結(jié)論表明：穩(wěn)定性隨著著陸腿跨距增大而提高，摩擦系數(shù)越大穩(wěn)定性受水平速度的影響越大，在水平速度的較小時(shí)穩(wěn)定性隨著摩擦系數(shù)增大而提高，豎直速度對(duì)穩(wěn)定性的影響較小.在圖2 所建立的坐標(biāo)系下，角速度與切向速度同號(hào)時(shí)，著陸穩(wěn)定性更好；當(dāng)角速度與切向速度異號(hào)時(shí)，第二次碰撞過(guò)程中存在摩擦沖量使得箭體轉(zhuǎn)動(dòng)速度增大的風(fēng)險(xiǎn)，使得穩(wěn)定性降低.

本文對(duì)碰撞過(guò)程中摩擦的分析為基于沖量的，沒(méi)有對(duì)接觸碰撞過(guò)程中接觸點(diǎn)的黏滯--滑移的狀態(tài)切換過(guò)程進(jìn)行判斷.但由于著陸過(guò)程中的最不利工況出現(xiàn)在碰撞后向左或向右滑動(dòng)，且由4.1 的分析可知本文的假設(shè)更為保守，故本文的研究工作適用于實(shí)際工程的運(yùn)載火箭著陸穩(wěn)定性分析，可用于指導(dǎo)工程設(shè)計(jì).