二維衰減湍流的速度加速度結構函數1)

周澤友

(清華大學能源與動力工程系燃燒能源中心，北京 100084)

引言

在人們生活的三維世界中，從咖啡的溶解到威力巨大的臺風，湍流現(xiàn)象是隨處可見的.而在一些自然界與工程應用的三維流動中，由于邊界尺寸限制或者外力的作用，其中一個維度上的運動被抑制，流動呈現(xiàn)出近似二維流動的特征.例如大氣與海洋中的大尺度流動——由于地球半徑約為6400 km,而大氣層和海洋的厚度僅為10 km 左右,因此臺風等的大尺度運動往往可以被看作二維流動.無論是三維湍流還是二維湍流，湍流場都是一個耗散系統(tǒng).流場中的湍動能u2/2 會不斷被耗散，并需要不斷的能量補充來維持穩(wěn)定的流場.在局部均勻湍流場中，歐拉場的二階混合速度加速度結構函數(velocity-acceleration structure function,VASF)，表示兩個粒子間相對湍動能的變化速率，與尺度間的能量傳遞率相關[1-4]

其中，δu和δa為兩個粒子間的相對速度和相對加速度，代表系綜平均，下標R0表示是對相對距離R0在慣性區(qū)的粒子對進行條件統(tǒng)計；ε 為湍流場的能量傳遞速率，其符號表示能量傳遞的方向[4].當能量從大尺度傳到小尺度，ε >0；當能量從小尺度傳到大尺度，ε<0.

在三維湍流中，能量從大尺度向小尺度傳遞形成正向的能量級串[5]，能量耗散率ε >0,<0，并且兩者之間的常系數“?2”也在實驗中得到驗證[6].自然地，人們將式(1)推廣到二維湍流的能量慣性區(qū).在二維湍流中，渦量拉伸(vortex stretching)不復存在，湍動能的小尺度黏性耗散幾乎為零，此時大尺度的摩擦耗散起到主導作用.湍動能將從能量注入尺度LF向更大的摩擦耗散尺度Lα傳遞，形成反向的能量級串[7-9].此時ε<0，這一點已經在能譜[10]，三階結構函數[11]，尺度間的能量傳遞[12]等方面都得到了證實.但>0 則有待進一步的驗證.

二維湍流除了能量的反向傳遞，另一個重要物理過程是擬渦能(enstrophy，又稱為渦量擬能)ω2/2 的正向傳遞，其中ω 為渦量.外力在作用尺度LF以速率β 注入擬渦能，其不斷往小尺度傳遞，最終在黏性作用尺度η 下被黏性耗散掉.當初始距離在反向能量級串區(qū)，式(1)是成立的.當初始距離在正向擬渦能級串區(qū)，擬渦能傳遞率β 起主導.量綱分析可得

其中，R0為兩個粒子的相對距離，正的β 代表擬渦能從大尺度往小尺度進行傳遞，上式左右兩邊存在待定的常系數.式(2)只在均勻流場中成立，但實際中的許多湍流場是衰減的.也即擬渦能只在初始時刻或者初始位置上注入，隨后注入源消失.例如海洋上形成的強臺風，在登陸后由于耗散作用其氣旋強度會逐漸降低.

本文將對二維湍流的VASF 進行研究，并重點考察衰減對VASF 的影響.在第1 節(jié)推導二維湍流場中正向級串區(qū)和反向級串區(qū)的VASF 理論公式，發(fā)現(xiàn)除了式(1)或式(2)代表的能量或擬渦能在尺度間的傳遞項外，還存在衰減帶來的非均勻項.兩者一正一負，呈現(xiàn)競爭關系.第2 節(jié)介紹基于皂膜的二維衰減湍流的實驗裝置.為了獲取速度，特別是加速度，以及粒子位置隨時間的演化信息，本文采用拉格朗日粒子追蹤法對流場進行測量.并實現(xiàn)了在每一步時間匹配推進上，復雜度從N2到Nlog2N的算法優(yōu)化.第3 節(jié)對VASF 在正向擬渦能級串區(qū)的測量結果進行討論.實驗發(fā)現(xiàn)尺度間擬渦能傳遞項是正的，但非均勻項為負的，并且占主導作用.因此在二維衰減湍流中VASF 甚至可能會小于0，其符號也失去了表征渦量擬能傳遞方向的意義.第4 節(jié)對與VASF 密切相關的彌散過程進行討論，通過負的VASF 解釋了彌散過程后期變慢現(xiàn)象.最后一節(jié)對本文工作進行總結.

1 理論

對于二維流場中的任意時刻上的任意兩點(x,t)和(x0,t0)，這里以及下文中的上標0表示另一個點的信息.這兩點距離為r=x?x0，中間位置為X=(x+x0)/2.時間間隔為τ=t?t0，平均時間為T=(t+t0)/2.兩點的速度為ui(x,t)和，加速度分別為ai(x,t)=和=.那么速度和加速度的混合結構函數為

其中相對加速度中的相對對流項為

上式中用到了空間坐標自變量(x,x0)與(X,r)的相互轉化[13]

同理可以得到相對加速度中的非穩(wěn)態(tài)項為

將式(4)和式(6)代入到式(3)，取其縮并，系綜平均得到

其中，U=(u+u0)/2 是流場的平均速度，Dii=和Diik=分別為二階和三階的歐拉速度結構函數.上式的推導是一個通用的表達式，并未用到任何假設.VASF 雖然是絕對坐標X和相對距離r的多元函數，但是這兩個自變量之間沒有顯著耦合(即使Dii,Diik是這兩個自變量的二元函數)，這為實驗數據的分析帶來了極大的便利.可以看到由3 部分組成.第1 項為時間的非穩(wěn)態(tài)項，在穩(wěn)態(tài)流場中為0.第2 項是非均勻項，在局部均勻流場中結構函數Dii只是相對距離r的函數，對當地絕對位置X微分為0.因此在穩(wěn)態(tài)局部均勻流場中，只剩下第3 項.同三階速度結構函數物理含義一樣，該項代表能量或擬渦能在尺度間的傳遞.第3 項在任意流場中是沒有普適表達式的.為進一步對該項進行分析，本文討論該項在不可壓均勻各向同性湍流的條件下的表達式.參考三維湍流中相關推導[14-16]，本文得到二維和三維湍流中該項的通用表達式

其中，d代表維數，在二維湍流中d=2，在三維湍流中d=3.，下標L表示相對速度在相對距離徑向方向的投影.進一步的，DLLL=為三階徑向速度結構函數，在能量和擬渦能慣性區(qū)分別為[16-17]

將式(9)代入式(8)，得到VASF 中的能量/擬渦能在尺度間傳遞項的表達式

式中，ε >0,β >0 代表著能量和擬渦能分別從大尺度傳向小尺度.在三維均勻各向同性湍流中，能量往小尺度傳遞，=?2ε <0.而在二維均勻各向同性湍流中，能量往大尺度傳遞，擬渦能往小尺度傳遞，所以兩個慣性區(qū)間>0 皆成立[18-19].

本文從相對速度和相對加速度的定義出發(fā),重現(xiàn)了在均勻各向同性湍流中式(1)和式(2)的VASF 表達式，并確定了在擬渦能級串慣性區(qū)表達式前的系數“1/2”.而在一般湍流場中，VASF更普適的表達式中包含時間維度(非穩(wěn)態(tài)項)，空間維度(非均勻項)，尺度維度(尺度間傳遞項)三者共同的影響.為比較這三項的相對大小，本文開展了基于皂膜的二維衰減湍流實驗研究.為此接下來一小節(jié)先對實驗裝置及流場測量方法進行介紹.

2 實驗方法和粒子跟蹤技術

二維湍流的研究，已經在理論和數值計算上開展了大量的工作[20-21].實驗上，Couder 提出了基于皂膜的實驗裝置[22]，并得到了廣泛應用[23-27].在前人工作的基礎上，本文搭建了皂膜流動實驗臺.其詳細描述可參考之前的報道[28-29]，本文在此進行補充說明.皂膜實驗裝置如圖1(a)所示.含2% Dawn 洗碗液的皂液沿著直徑為6 mm 的狹長噴嘴流出.在噴嘴出口處，兩根直徑為0.32 mm 的紅色尼龍繩組成了長X1=106 cm 的逐漸擴張平面.皂液在此逐漸展開形成皂膜，并被重力不斷加速.在長X2=194 cm，寬W=5 cm 的實驗段達到充分發(fā)展.最后流入下水箱，被蠕動泵送入上水箱，形成往復循環(huán).通過調整泵的流量，皂膜的平均速度可在1～3 m/s 的范圍內進行調整，根據干涉條紋和速度剖面測得皂膜的平均厚度在4～9μm 之間[29]，小于另外兩個維度四到六個量級，因此可以被視為二維湍流.本文的皂膜流量工況為40 ml/min，平均流速為2.7 m/s.

為了形成強湍流場，類似于三維風洞中插入平面柵格的方式，本文在皂膜上游處水平插入一排柵格，如圖1(a)中虛線方框中所示.柵格間距M=5 mm，組成柵格的圓棒直徑為1.14 mm.柵格的布置實物圖如圖1(b)所示，柵格是以一塊鋁板為基底，在表面通過線切割開半圓形槽，放入不銹鋼針作為圓柱小棒制成，并以磁鐵加以固定.圖中兩根豎直的亮線為構成皂膜的兩根尼龍繩，皂膜在兩根尼龍繩中間往下流動.

當皂膜流過柵格后，會形成強烈湍流脈動.本文在距離柵格為S=(12.5～67.5)M的下游位置對流場進行測量，如圖1(a)中的綠色區(qū)域.在對流場進行速度測量時，粒子圖像測速法(particle image velocimetry,PIV)是一個成熟和普遍使用的方法，該方法可以獲得速度的歐拉場.但利用歐拉速度場求取加速度時，涉及到對流項的空間求導，要求流場空間分辨率應達到擬渦能耗散尺度的量級.此外湍流中的非穩(wěn)態(tài)項?ui/?t和對流項uk?ui/?xk兩者十分接近且正負相反，利用這兩者的和得到的加速度不確定度往往極大[30].為此本文采用拉格朗日粒子追蹤法(lagrangian particle tracking,LPT)對速度和加速度進行測量[31].首先在皂液中加入直徑1μm 的示蹤粒子，粒子直徑小于皂膜厚度，因此可以忽略對皂膜的影響.一臺波長532 nm，功率為100 W 的脈沖激光器照亮待測流場區(qū)域中的示蹤粒子.如圖1(a)所示，兩臺高速相機沿流向依次排列，在保證分辨率的情況下獲得足夠長的流場視野.兩臺相機的合成分辨率為(2×)2560×472，可以拍得100 mm×12 mm 的狹長流場區(qū)域.通過移動相機和柵格的相對位置實現(xiàn)更長范圍內的測量.采用同步器將兩臺相機和激光器進行同步，采樣頻率為5000 Hz.整個實驗系統(tǒng)通過基于Qt環(huán)境下編寫的數據采集平臺進行控制，實現(xiàn)數據的自動采集、傳輸和存儲.

圖1 (a)二維水洞裝置圖，x 方向為重力方向，y 方向為水平方向，z 方向為皂膜厚度方向.皂膜平面由兩根直徑為0.32 mm 的尼龍繩組成.為了形成湍流場，在皂膜上游水平插入一排柵格.激光器照亮距離柵格為S 的下游綠色區(qū)域，該區(qū)域內的流場軌跡信息被兩臺高速相機捕捉.(b)柵格布置的實物圖.上方水平排列的圓柱小棒為柵格，豎直的亮線為尼龍繩，兩根尼龍繩中間為豎直往下流動的皂膜.由于532 nm 激光的散射，整個流場呈現(xiàn)綠色背景Fig.1 (a)Two-dimensional water tunnel setup, x axis is the gravity direction,y axis is the horizontal direction,z axis is the film thickness direction.The plane of soap film is consisted by two nylon ropes whose diameter are 0.32 mm.To create turbulent flow,we insert a comb in the upstream.The laser illuminates the downstream regions below the comb,whose flow trajectories are recorded by two high speed cameras.(b)The real image of comb equipment.The upper cylinders make up a comb,the vertical bright lines are nylon ropes,and the soap film flows down between the ropes.The whole flow are in green background,owing the scatter from 532 nm laser

在獲得原始的粒子圖像后，首先通過亞像素定位獲得示蹤粒子在像素坐標系上的位置.第二步經過標定還原到真實的物理空間坐標系.對于單臺相機的二維標定，一般是假設皂膜平面和標定板平面重合.但在兩臺相機的二維標定中，可以求得皂膜平面和標定板平面的距離并調節(jié)使之真正重合.接下來一個重要的步驟是實現(xiàn)粒子在不同時刻的匹配，這是LPT算法的核心以及計算資源消耗最大的一步.每一個瞬時場都有數百個粒子，從上一個時刻到下一個時刻需要實現(xiàn)這上百個粒子的一一匹配.由于粒子的形態(tài)大小是無法區(qū)分的，因此一般是通過歷史的位置、速度和加速度場信息進行匹配[31].假設每個時刻粒子平均個數為N.若采用暴力匹配算法，對t時刻的Nt個粒子，需匹配t+1 時刻的Nt+1個粒子，每推進一個時間步的復雜度為N2.但本文注意到皂膜流場是長100 mm 的狹長形區(qū)域.流場的豎向脈動速度方差約為0.2 m/s，考慮到大約5 倍脈動速度的事件概率很低以致可忽略不計.那么在高達5000 Hz 的拍攝頻率下，粒子的位置波動為0.2×5/5000=0.2 mm.因此本文事先就可以預估出粒子下一個時刻的位置限定在±0.2 mm 范圍內，而不必在整個100 mm 的流場范圍內進行匹配.

基于上面的分析，本文提出實現(xiàn)粒子時間匹配的兩步走快速匹配算法.首先對每一個時刻內的流場粒子以x坐標為基準進行排序，例如快速排序等，復雜度為Nlog2N.其次在已經排序好的t+1 時刻流場中，通過二分查找等算法迅速完成±0.2 mm 位置范圍的定位，復雜度為log2N.對這±0.2 mm 預判區(qū)的粒子進行一一匹配，一般預判區(qū)內粒子個數為O(1).這一個步驟需要對t時刻的每一個粒子進行依次操作.因此每推進一個時間步的復雜度為

為此基于對特定流場的分析實現(xiàn)了快速的LPT 算法.其實也可以在亞像素定位步驟中，按照x坐標依次遍歷識別粒子，從而節(jié)省上述算法中的空間排序步驟.此外實際計算中，為了保證匹配準確率，本文會同時驗證t+1 時刻和t+2 時刻的粒子信息.為了表述方便，上文中只闡述根據t+1 時刻信息進行匹配的算法.但兩種算法都可以通過上面的思路進行改善，將推進復雜度從O(N2)降低至O(Nlog2N).匹配問題體現(xiàn)在生產生活中的方方面面，本文提出的O(Nlog2N)匹配算法是基于粒子位置信息的強預測性.對于有著同樣性質的問題，可以將本文思路進行推廣并應用.

在獲得流場軌跡信息后，最后一步是通過位置場進行速度和加速度場的計算.根據粒子軌跡信息，可以通過對空間位置的一次時間微分得到速度.進一步地，直接對空間位置的二次時間微分得到加速度，而不需要通過速度場再來計算加速度，從而LPT方法實現(xiàn)了加速度的準確測量.實際計算中，由于軌跡信息在時間上是離散的，一般是通過對位置信息卷積速度核函數和加速度核函數以分別得到速度和加速度[31].

3 VASF實驗結果與討論

通過LPT測量，本文獲得了皂膜流場中粒子軌跡上的速度和加速度.進一步對軌跡進行時間排序，得到速度和加速度的歐拉場.假如本文對歐拉場中任取兩點來計算式(7)中的VASF 或者兩階及三階速度結構函數，那么得到的將是待測區(qū)域的統(tǒng)計特性的平均值.但皂膜流場的脈動速度在主流x方向是不斷衰減的，β 和ε 都是空間位置x的遞減函數.理想情況下，按照定義式(7)，要想計算各部分在當地位置x的值，需要選取x?r/2 和x+r/2 兩個點的速度進行計算.但實際上這樣的數據點極少，難以形成收斂的統(tǒng)計量.為了獲取收斂的結構函數，本文采用泰勒凍結假設.流場的脈動速度u雖然在不斷衰減，但平均速度U=2.7 m/s 幾乎保持不變.流場的湍流強度，因此滿足泰勒凍結假設[32].泰勒凍結假設并非適用于所有的流場，但在三維風洞中的運用已經得到廣泛的認可[33].Belmonte 等[34]在二維皂膜流動中，也已經驗證了泰勒凍結假設的正確性.該假設認為湍流場的信息被凍結著以對流速度進行傳遞，那么

因此速度的二階結構函數為

在風洞中使用熱線法測速時，也是利用泰勒凍結假設獲得在熱線當地位置處的結構函數[35]，自變量相對距離只包含時間距離.相同的，式(13)參與運算的是兩個在當地位置x的點的脈動速度信息，得到的是當地x的二階結構函數.唯一不同的是，這里自變量相對距離r?Uτ 既包含兩點之間的空間距離r，也包含時間距離τ.為了獲得當地位置x上的真實條件統(tǒng)計，空間波動范圍r的選取不宜太大.一般的，本文設置其最大值為r=0.2 mm，也即計算在位置x±0.2 mm 處的當地統(tǒng)計特性.r的范圍是根據擬渦能耗散率尺度選定的，其值為0.3～0.5 mm[28]，并隨著往下游的發(fā)展而逐漸增長.

圖2(a)展示的是利用泰勒凍結假設計算得到的，當地位置x的二階結構函數Dii(r;x).如右邊的顏色坐標所示，不同的顏色代表不同的當地位置x.在距離柵格下游的12.5M一直增長到67.5M，顏色也從深藍變?yōu)樯罴t.根據Kraichnan 的理論[7]，在正向擬渦能級串區(qū)，結構函數由β 控制.量綱分析得到Dii～β2/3r2.圖2(a)顯示在r

圖2 (a)運用泰勒凍結假設，計算當地下游位置x±0.2 mm 處的Dii 與尺度r 的關系.不同的顏色代表對應的距離柵格的距離x/M.兩臺相機一次的拍攝視野只有100 mm=20M.為獲得距離柵格更寬范圍的統(tǒng)計特性，本文通過移動柵格使相機距離柵格S/M=12,20,30 和50，分4 次實驗完成.(b)?<δuiδai>與尺度r 的關系，在正向級串區(qū)表現(xiàn)出r1.5 的冪次律.圖中的各顏色代表不同的空間位置，同(a)中一致.本圖和上圖的豎直實線為尺度r=0.35M，其與各種顏色線的交點即為各下游位置在r=0.35M 上的?<δuiδai>和DiiFig.2 (a)Using Taylor frozen flow hypothesis,we calculate the relationship between Dii and r in local downstream location x±0.2 mm.Different colors correspond to different separation below the comb x/M.The capture window of two cameras is 100 mm=20 M in each time.To obtain a wider regions statistics,we set the relative separation between camera and comb as S/M=12,20,30 and 50.(b)The relationship between ?<δuiδai>and r,which shows r1.5 power law in direct enstrophy range.The colors mean different downstream locations which are the same with(a).The vertical solid line lies in r=0.35M，whose cross points with different colorful lines are ?<δuiδai>and Dii in r=0.35M

同計算式(13)一樣，運用泰勒凍結假設，本文也計算了各下游位置的VASF，如圖2(b)所示.在二維均勻各向同性湍流中，式(10)表明無論在正向級串區(qū)還是反向級串區(qū)，VASF 的尺度間傳遞項，.但實驗結果顯示所有下游位置的所有尺度上VASF<0.而皂膜實驗是穩(wěn)態(tài)的，構成VASF 的第一項為零.因此這告訴人們構成VASF 的第二項，非均勻項不可忽略.并且非均勻項為負，即使尺度間傳遞項為正，但由于非均勻項絕對值更大，導致整體的VASF 為負.在正向級串區(qū)中，非均勻項

其中，DNN=為二階橫向結構函數，δuN為相對速度在垂直于相對距離方向上的橫向分量.由于皂膜平均速度U=2.7 m/s 幾乎保持不變，因此本文將空間變量換為時間變量x=Ut.在均勻各向同性二維湍流的正向級串區(qū)，Dii=4DNN/3.上式第二個關系是考慮到正向區(qū)的速度場是線性的，將相對速度進行泰勒展開并只保留第一階項，δru～ωr.最后一個關系是由于β=?d(ω2/2)/dt.可見非均勻項對VASF 是負的貢獻，與預期一致.此外在均勻各向同性湍流場中，其隨尺度的冪次律為r2.非均勻項與尺度間傳遞項雖然有著相反的符號，但有著相近的冪次律，也與圖2(b)實驗測得的綜合VASF 的r1.5冪次律十分接近.出現(xiàn)的冪次律偏差可能和Dii一樣，是由于有限慣性區(qū)間等因素導致.

通過上述的分析，本文發(fā)現(xiàn)實驗結果中負的VASF 很有可能是流場非均勻性導致.接下來，本文對此進行定量的計算和比較.對于VASF，實驗中可以直接測得在不同位置和不同尺度下的值，如圖2(b)所示.選定正向級串區(qū)的某一個尺度r=0.35M，圖2(b)中的豎向與各顏色曲線的交點，即為不同位置x處在r=0.35M的值.這些值如圖2(a)中的紅色圓圈所示，其隨著往下游的發(fā)展而逐漸衰減.對于組成VASF 三部分分量，如式(7)所示.其第一項為0.對于第二項，在均勻各向同性湍流中，本文可以得到其理論的表達式(14).而皂膜流場并不滿足均勻各向同性的條件，本文轉而采用實驗直接測量的方式.同VASF 一樣，圖2(a)中的豎向與各顏色曲線的交點，即為不同位置處Dii(x)=Dii(tU)在r=0.35M的值.對其進行對空間求導，可獲得非均勻項.其值小于0，本文對其取負號，如圖3(a)的綠色方塊.因為采樣點比較離散(分辨率為0.5 mm)，進行微分操作后數據點有一定的離散.但不難看出，非均勻項的值與VASF的值十分接近，且變化趨勢高度一致.進一步的，將兩者畫成散點圖，如圖3(b)所示，中間的實線表示兩者完全相等.而實驗數據幾乎落在直線附近，表明兩者幾乎相等，兩者的相關系數為0.905，平均值相差6%.在正向級串慣性區(qū)的其他尺寸，如r=0.15M和r=0.85M也觀察到同樣的現(xiàn)象.

圖3 (a)在尺度r/M=0.35 下，紅色圓圈為VASF，對其取負號使之為正.綠色方塊為構成VASF 的第二項，非均勻項，并也對其取負號.藍色星形為構成VASF 的第三項，尺度間傳遞項的實驗值.這三者在不同空間位置tU/M 的值.(b)縱坐標為?<δuiδai>的對數值，橫坐標為?<(Un/2)?Dii/?Xn>的對數值，數據基本都落在圖中等值線附近Fig.3 (a)In scale r/M=0.35,the red circles are VASF which have been multiplied by ?1.Green squares are inhomogeneous term which is the second term of VASF.Blue stars are the scale-to-scale transfer term which is the third term of VASF.We plot their values in different downstream location tU/M.(b)The ordinate is the logarithmic value of?<δuiδai>,the abscissa is the logarithmic value of?<(Un/2)?Dii/?Xn>,most of the data lies around the contour line

現(xiàn)對構成VASF 的第三部分，代表能量和擬渦能傳遞的(1/2)?Diik/?rk進行討論.流動的衰減主要是在主流x方向，因此本文可以通過對x方向求導，進而獲得非均勻項.但能量和擬渦能的傳遞在各個方向是同量級的，在均勻各向同性湍流場中是相等的，本文無法選擇球坐標系中某一個方向rk進行求Diik的微分.為評估該式大小，本文采用均勻各向同性湍流場中的結果.根據式(10)，在正向級串區(qū)，(1/2)?Diik/?rk=βr2/2=4DLLL/r.通過泰勒凍結假設,獲得DLLL(t;r=0.35M).從而得到(1/2)?Diik/?rk在尺度r=0.35M上的值，如圖3(a)中的藍色星形所示.可以看到代表擬渦能在尺度間傳遞的該項在各空間位置上都為正數.由于數據是在長度為±0.2 mm 的狹窄區(qū)域進行統(tǒng)計，并且三階矩收斂性較二階矩更差，因此數據的波動比較大.但依然可以看到藍色數據約為紅色和綠色數據的1/2～1/4.并且隨著往下游的衰減，相差會越來越大.可見在衰減的皂膜流場中，是非均勻項對VASF 占主導.

在二維衰減湍流中，尺度間的傳遞項始終為正.說明了即使是在衰減流場中，擬渦能也是往小尺度傳遞.衰減效應對二維湍流擬渦能的傳遞方向不會造成本質的影響.但衰減會對VASF 造成顯著的影響.由于非均勻項為負值，即使尺度間的擬渦能傳遞項為正值，VASF 仍為負值.在非均勻二維湍流中，本文從理論上發(fā)現(xiàn)不可以忽略非均勻項的效果，進一步從實驗上發(fā)現(xiàn)該項甚至會主導VASF.關于三維湍流中非均勻項對VASF 的影響還有待進一步研究.

4 彌散

VASF除了表征尺度間的能量/擬渦能傳遞，也和湍流場的彌散作用密切相關.彌散過程描述了粒子位置隨時間的演化.這是人們日常生活中的一種常見的物理現(xiàn)象.例如PM 2.5 顆粒在大氣中的運動，污染物在海洋中的擴散，病毒在人群中的傳播.研究彌散過程可以幫助人們理解、預測、還原追蹤這些過程.其可通過考察兩點的相對距離平方隨時間的演化來進行研究，其中x0(t)和x(t)分別為兩個粒子在時刻t的空間位置.下標R0表示對初始距離為R(0)=R0且在慣性區(qū)的兩個粒子做系綜平均.當彌散時間不太長時，本文對R(t)進行在t=0 時刻進行泰勒展開[6,37]

其中，δu0和δa0分別為t=0 時刻的相對速度和相對加速度.那么.本文接下來只選取在正向級串區(qū)的R0粒子對進行討論.主要是考慮到，在皂膜流場中，空氣阻力帶來的能量衰減主要集中在大尺度.此外若初始尺度R0在反向級串區(qū)，R(t)很快將會超過流場的相關尺度.此時兩個粒子不再相關，會進入Taylor 線性彌散區(qū)間，也即.

圖4 (a)在距離柵格20M～40M 范圍內，兩個粒子對的相對距離平方<(R(t)?R0)2>隨著時間的關系.不同的顏色代表不同的初始距離R0.子圖的黑色直線為(t/τF)2，并不是數據擬合曲線.(b)考慮VASF 對相對距離的影響后，補償的彌散關系Fig.4 (a)In the region which lies in 20M～40M below the comb,the dispersion relationship of two particles <(R(t)?R0)2>with time.Different colors correspond to different initial separations R0.The black line in sub-figure is(t/τF)2,which is not the fitting curve.(b)Considering the effect of VASF,the compensated dispersion relationships

從子圖中可以看到在各個尺度上，相對距離平方都呈現(xiàn)出t2的增長規(guī)律，表明式(15)中的第一階t2項在初始時刻是明顯的主導作用.當用來歸一化縱坐標，各個尺度的數據都落在同一條黑色直線(t/τF)2上，進一步驗證了式(15)，并與Batchelor[39]提出的彌散過程中t2理論一致.但發(fā)展一段時間之后，例如t>0.8τF，可以看到相對距離平方的發(fā)展比t2要慢.這種變慢的彌散過程可以從主圖中更明顯地看出來，主圖是用來無量綱化縱坐標.假如式(15)中只有t2項，那么數據應該落在值為“1”的水平虛線上.但在t>0.2τF之后，出現(xiàn)了更加緩慢的增長.此時(R(t)?R0)2=1～2 mm，相對距離R(t)仍在慣性區(qū)范圍內，甚至還是在正向級串區(qū).兩個粒子還表現(xiàn)出相關性，大尺度的影響也應該很微弱.說明主要是式(15)中的t3項起到顯著影響.t3項和t2項的相對關系為

其中C1=O(1),C2=O(1)分別為VASF 和二階速度結構函數的常系數.可見在t=C2τF/C1時t3項將不可被忽略，這與本文的觀察一致.在二維均勻各向同性湍流場中，>0，從而t3項是正的，會使得后期的彌散過程比t2更快，與本文的實驗觀察相反.對于這一矛盾，本文可以通過上一節(jié)關于VASF 的討論來解釋.在衰減流場中，VASF 是負的非均勻項和正的尺度間傳遞項相互競爭的結果.若衰減效應足夠強烈，非均勻項足夠大，VASF 是可能小于零.因此本文在彌散過程中看到的負的VASF 和二維湍流中正的尺度間擬渦能傳遞兩者并不矛盾.

為了進一步驗證VASF對彌散過程的影響，本文繪制補償VASF的粒子相對距離平方隨時間的演化，如圖4(b)所示.可以看到各個尺度都很好的落在理論值“1”附近.出現(xiàn)的些許波動可能是由于粒子對的初始距離選取有一定的容差R0±0.5 mm.在t>0.5tF之后，粒子的相對距離R(t)≈10 mm，相關性逐漸減弱，轉到泰勒線性擴散區(qū)間.由于初始尺度R0越大，越快進入該區(qū)間，因此可以看到紅色曲線代表的大初始尺度也越早出現(xiàn)偏離.由此本文定量上解釋了彌散過程在后期變慢是由于負的VASF 項導致.

5 結論

一直以來，湍流場中的二階速度加速度結構函數(VASF)被認為與能量或者擬渦能在尺度間的傳遞相關.本文從加速度定義出發(fā)，發(fā)現(xiàn)VASF 除了尺度間傳遞項，還有非穩(wěn)態(tài)項和非均勻項.在穩(wěn)態(tài)的局部均勻各向同性湍流中，只有尺度間傳遞項.但實際湍流流動中，很多都是衰減的非均勻湍流.為研究非均勻項對VASF 的影響，本文搭建了基于皂膜的二維衰減湍流.通過LPT 測量方法及改進的Nlog2N的粒子匹配算法，獲得了速度場和加速度場.實驗數據顯示二維湍流尺度間傳遞項在正向級串區(qū)的尺度間傳遞項均為正，證實了擬渦能往小尺度傳遞，說明衰減并不影響其傳遞方向.采用泰勒凍結假設，得到當地空間位置的非均勻項.在衰減湍流中，非均勻項為負，并且大于正的尺度間傳遞項.因此是非均勻項主導二維衰減湍流的VASF，使之為負數.最后本文對與VASF 密切相關的彌散過程進行了討論，實驗觀察到兩個粒子相對距離平方先以t2冪次律增長，之后變?yōu)楦徛脑鲩L.這種緩慢增長可以用負的VASF 來解釋，也即是由于衰減放緩了彌散過程.總的來說，本文通過理論分析和LPT的實驗結果發(fā)現(xiàn)衰減不改變擬渦能的傳遞方向.但是衰減在VASF 和彌散過程等問題上會產生顯著的影響，在這些問題的討論上衰減作用將不可忽略.

致謝感謝徐海濤教授對本工作的指導和建議，感謝清華大學對本工作的資助.由衷感謝審稿人給出的寶貴意見使得本文得到進一步的改善.